高中數(shù)學(xué)概念對解題思維形成的影響

安徽省銅陵市第一中學(xué) 李 晟 （郵編：233000）

什么是概念？概念是對客觀事物的本質(zhì)屬性的概括和反映.只有當(dāng)人們認(rèn)識了事物的本質(zhì)屬性，才能給該事物一個恰當(dāng)?shù)拿Q，這個名稱就是反映該事物本質(zhì)屬性的概念.因此，在解題過程中，數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用往往對整個解題思維的形成有著支點(diǎn)的作用.下面就高中數(shù)學(xué)概念對解題思維形成的影響做一點(diǎn)淺顯的探索.

1 概念的理解不透徹對解題思維的形成造成障礙

數(shù)學(xué)概念的理解對學(xué)生而言是難點(diǎn).尤其是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些概念難點(diǎn)，往往在整個高中階段的學(xué)習(xí)全部結(jié)束后有部分學(xué)生仍然是云里霧里，不知所云的.我們認(rèn)為，概念的理解難點(diǎn)在于部分概念是全新的，是學(xué)生沒有接觸過的，因此在這部分概念的教學(xué)中就需要我們教師去著重的、詳細(xì)的講解.尤其是對每一個可能出現(xiàn)的理解歧義的地方作準(zhǔn)確的、明確的解釋.例如，在對函數(shù)y＝f（x）這個符號的理解上，很多學(xué)生到了高三都不清楚這個符號的具體含義，導(dǎo)致了在涉及到這個符號的解題過程中一錯再錯.在現(xiàn)行課本中明確的給出了y＝f（x）的解釋：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f（x），x∈A.也就是說，y＝f（x）即“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示.然而對這個概念，很多學(xué)生在解決如下習(xí)題的時候還是產(chǎn)生了困惑.

例1 已知函數(shù)y＝f（2x＋1）的定義域是（1，5），求函數(shù)y＝f（x－3）的定義域.

常見的錯誤有：①因?yàn)?＜2x＋1＜5，所以0＜x＜2，所以－3＜x－3＜－1.

因此，函數(shù)y＝f（x－3）的定義域是（－3，－1）.

②因?yàn)?＜x＜5，所以3＜2x＋1＜11，所以0＜x－3＜8.

因此，函數(shù)y＝f（x－3）的定義域是（0，8）.等等.

其實(shí)，這些錯誤形成的本質(zhì)原因是當(dāng)y＝f（x）這個符號改變?yōu)閥＝f（2x＋1）時，括號里面的式子的意義沒有理解清楚.概念教學(xué)中我們經(jīng)常對學(xué)生解釋y＝f（x）中的x是函數(shù)的自變量，但并沒有對x的另一身份給出明確的說法.如果我們做了如下解釋：y＝f（2x＋1）是一個函數(shù)，這個函數(shù)的自變量是x，而2x＋1是法則f作用的對象.這樣，對于符號y＝f（x）中的x的兩重身份（x既是自變量，又是法則f作用的對象）學(xué)生就很清楚了.而這道例題就不至于產(chǎn)生解題思維上的混亂了.例題中法則f是同一個法則，所以f作用的對象的范圍是一定的，即2x＋1和x－3的范圍是一樣的.解題過程如下：

因?yàn)?＜x＜5，所以3＜2x＋1＜11，所以3＜x－3＜11，所以6＜x＜14.

因此函數(shù)y＝f（x－3）的定義域是：（6，14）.

而形成這樣清晰的認(rèn)識后，對這一類y＝f（x）符號的理解問題在解題思維上就不會再產(chǎn)生理解錯誤了.例如若y＝f（x＋2）是奇函數(shù)，則我們得到的關(guān)系式是：f（－x＋2）＝－f（x＋2），而不是f（－x－2）＝－f（x＋2）.因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x＋2）的自變量是x，而x＋2是法則f作用的對象.奇函數(shù)的定義式是f（－x）＝－f（x），這里x指的是自變量，也即函數(shù)的奇偶性是針對自變量而言的.

而有些概念在教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)解釋定義中的具體詞句的意義.否則容易造成學(xué)生狹隘地理解概念，進(jìn)而影響解題思維的形成.例如在概率中幾何概型的定義是這樣的：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

而在這個定義中，對事件發(fā)生的概率計(jì)算何時使用面積比并沒有很清晰的說明.大多數(shù)學(xué)生會對面積比形成一種很狹隘的理解，認(rèn)為只有在已經(jīng)形成的二維圖形中才能使用面積比.實(shí)際上，幾何概型中的事件發(fā)生的概率計(jì)算何時用長度比，何時用面積比應(yīng)該是依據(jù)對事件發(fā)生時需要知道的變量個數(shù)來確定究竟是何種比值（即事件發(fā)生若只需要一個變量即可確定，則用長度比，若事件發(fā)生需要兩個變量才可確定，則用面積比）.以下面這個習(xí)題為例，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對定義中的詞句做準(zhǔn)確理解，進(jìn)而應(yīng)用到解題過程中去.

例2 如圖，在已知四分之一圓AOB中，隨機(jī)作兩條射線OC和OD，與AOB交于C、D兩點(diǎn).則∠AOC＋∠BOD＜30°的概率是多少？

設(shè) ∠AOC＝x，∠BOD＝y(tǒng)，則0＜x＜，0＜y＜，而事件∠AOC＋∠BOD＜30°則要求x＋y＜.

作出如右圖形：

圖中陰影部分面積占正方形面積的百分比即是事件∠AOC＋∠BOD＜30°的概率.

2 概念的靈活運(yùn)用可以拓展思路，有助于解題思維的形成

對概念完全理解了，并不意味著學(xué)生就可以很好地運(yùn)用概念來形成解題思路，進(jìn)而拓展解題思維.高中階段的很多比較巧妙的方法實(shí)際上是和定義戚戚相關(guān)的.數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)學(xué)是一個原則，無數(shù)內(nèi)容；一個方法，到處有用.”“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.”這段話我們把它用在定義概念的靈活使用上是再合適不過了.定義是數(shù)學(xué)的一個原則，也是數(shù)學(xué)解題的一種方法！退，退到定義和概念上來，解題往往有著意想不到的絕妙效果.

本題若是用方程來計(jì)算曲線間的相互關(guān)系將是非常復(fù)雜的.這里∠F1PF2的外角平分線的方程PN并不好計(jì)算，運(yùn)算量會非常的大.而如果我們考慮使用橢圓的第一定義來解決這個求軌跡的問題，就非常簡單了.

如圖，將F2M延長交F1P的延長線于N點(diǎn).

因?yàn)镻M是∠F1PF2的外角平分線，而F2M⊥PM，

所以PF2＝PN，MN＝MF2.

由橢圓的第一定義可知：PF1＋PF2＝2a＝10，因此，有NF1＝PF1＋PN＝PF1＋PF2＝10.而OF＝OF，MN＝MF，故OM＝NF＝5，即1221點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為5的圓.

這種解法對學(xué)生的思維要求比較高，但平時如果訓(xùn)練得當(dāng)?shù)脑?，對學(xué)生的解題思維的拓展是非常有幫助的，既開闊了學(xué)生的解題視野，又培養(yǎng)了學(xué)生“巧解”難題的能力.

在高中圓錐曲線內(nèi)容中，圓錐曲線的統(tǒng)一定義是解決一類過焦點(diǎn)的弦的相關(guān)問題的不二法門.通過統(tǒng)一定義的轉(zhuǎn)化，往往可以把有關(guān)弦的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的平面幾何問題，進(jìn)而為求解尋求一種極為簡單有效的方法.

我們再來看下面這個例子的幾種解法.

解法1 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

AB的方程為：y＝（x－c）.

聯(lián)立雙曲線方程得：

又b2＝c2－a2，代入 ④，得：e＝.

解法2 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AF＝ex1－a，BF＝ex2－a.

因?yàn)椋?，故ex1－a＝4（ex2－a），故3a＝4ex2－ex1①

因?yàn)閗AB＝，故x1－x2＝｜AB｜，

故2（x1－x2）＝ex1＋ex2－2a②

①代入②，得：

6（x1－x2）＝3（ex1＋ex2）－2（4ex2－ex1）.

化簡，得e＝.

解法3 如圖，設(shè)直線AB交雙曲線的右準(zhǔn)線l于E，過A、B分別作AC⊥l于C，BD⊥l于D.

因?yàn)閗AB＝，故 ∠E＝30°，AC＝AE，

第一種解法是最常見的，在解析幾何中我們常常會把直線和圓錐曲線的很多位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程組以后的代數(shù)計(jì)算問題.幾何上的相等關(guān)系（＝4）會轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的等量關(guān)系（y1＝－4y2），進(jìn)而計(jì)算出需要的結(jié)果.但這種解法一般來說運(yùn)算量比較大，稍不注意就會出錯.第二種解法利用了雙曲線的焦半徑公式，計(jì)算量有所減小，但本質(zhì)上和第一種解法是一樣的，仍然屬于用坐標(biāo)代數(shù)運(yùn)算去代替了幾何中的圖形之間的變換關(guān)系.而第三種解法是比較簡便的一種算法.這里利用了雙曲線的第二定義（即圓錐曲線的統(tǒng)一定義），把題目中所給的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到了一組平行線中，利用比例線段很快地就得出了結(jié)果.比較上面的三種解法，我們發(fā)現(xiàn)第三種解法明顯要簡單一些，利用定義可以大大的簡化運(yùn)算.這就是定義的妙用了！

數(shù)學(xué)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，也是抽象?它是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的基石，正確地理解和形成一個數(shù)學(xué)概念，必須明確這個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵 —— 對象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍.一般來說，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來揭露其本質(zhì)特征的.所以我們在解題的過程中如果對概念的理解更加深刻一些，把握更加準(zhǔn)確一些，運(yùn)用更加靈活一些，那么就會把解題思維拓展得更寬，就會尋找到更好的簡單有效的解題方法，就會讓我們發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)樂趣！

1 邢素芳.數(shù)學(xué)概念淺談［J］.內(nèi)蒙古教育綜合教育基礎(chǔ)版，2010年（4）

2 張靜.關(guān)于對高中數(shù)學(xué)解題思路的探索［J］.現(xiàn)代閱讀（教育版），2012年（4）

3 童守軍.應(yīng)重視圓錐曲線定義的靈活應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1994年（5）

4 范妍.重視數(shù)學(xué)概念建構(gòu)，優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 -教研版，2009年（7）

5 林承初.定積分概念的推廣及其幾何物理意義［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006年（2）