割圓術(shù)素材的兩次教學(xué)改進(jìn)及分析

浙江省海鹽縣教研室 沈順良 （郵編：314300）

在一次高中選修課教研活動(dòng)中，我們對(duì)一節(jié)課的教學(xué)素材教學(xué)進(jìn)行了研究改進(jìn)，下面是改進(jìn)過(guò)程的呈現(xiàn)和分析，教學(xué)內(nèi)容是：人教A版2－2第1章第5節(jié)第1課時(shí).

1 割圓術(shù)素材的兩次教學(xué)改進(jìn)

1.1 第一次的割圓術(shù)素材的教學(xué)處理

首先給出曲邊梯形的定義，并提出本節(jié)課的主題：求曲邊梯形的面積.

我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)經(jīng)歷中有沒(méi)有用直邊圖形來(lái)計(jì)算曲邊圖形面積這樣的例子？

然后教師介紹割圓術(shù)：

我們?cè)?jīng)用正多邊形逼近圓的方法，利用正多邊形的面積求出圓的面積，這就是割圓術(shù).

三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)：“… 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”

當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積.

在割圓術(shù)中為什么用正多邊形的面積計(jì)算圓的面積？為什么要逐次加倍正多邊形的邊數(shù)？（學(xué)生回答有困難）

能不能類(lèi)比割圓術(shù)的思想和操作方法把曲邊梯形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直邊梯形的面積問(wèn)題？進(jìn)而盡可能有規(guī)律地減少誤差，使得“直邊梯形”的面積越來(lái)越接近曲邊梯形的面積？

學(xué)生分組討論（學(xué)生討論探究時(shí)感覺(jué)問(wèn)題跨度太大，花費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，效果不夠理想）

問(wèn)題與思考 上述教學(xué)過(guò)程是將割圓術(shù)的整體過(guò)程詳細(xì)介紹，然后類(lèi)比探究.在整個(gè)過(guò)程中，割圓術(shù)完整過(guò)程的介紹有較大的信息量，也有豐富的方法思想內(nèi)涵，再加上一般曲邊梯形及曲邊梯形面積的概念.一方面是量太大，另一方面教學(xué)的主要方式是教師的介紹，所以缺乏學(xué)生的思考，因此兩個(gè)“為什么”自然難以回答，更難以類(lèi)比割圓術(shù)的方法和思想去解決一般曲邊梯形的面積問(wèn)題.能否將割圓術(shù)的豐富內(nèi)涵分解成幾部分，邊介紹邊引導(dǎo)學(xué)生去探究曲邊梯形面積問(wèn)題.

1.2 第一次改進(jìn)后的割圓術(shù)素材處理

教師先介紹三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)：“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”

再直接給出曲邊梯形和曲邊梯形的面積兩個(gè)概念（省略），并提出本課課題.

學(xué)生分組討論該如何去近似求曲邊梯形的面積，在學(xué)生小組展示后比較怎么樣的方案較合理？（學(xué)生感覺(jué)困難）

大家覺(jué)得這種分割、逼近解決曲邊圖形面積的方法是不是有點(diǎn)熟悉呢？我們?cè)?jīng)用正多邊形逼近圓的方法，利用正多邊形的面積求出圓的面積，這就是割圓術(shù).

教師再次介紹三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)：“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”

……

當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積.

在割圓術(shù)中為什么用正多邊形的面積計(jì)算圓的面積？為什么要逐次加倍正多邊形的邊數(shù)？（可能是為了便于計(jì)算，為了使近似值能越來(lái)越接近圓的面積）

能不能類(lèi)比割圓術(shù)的思想和操作方法把曲邊梯形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直邊梯形的面積問(wèn)題？怎樣調(diào)整進(jìn)而盡可能有規(guī)律地減少誤差，使得“直邊梯形”的面積越來(lái)越接近曲邊梯形的面積？（學(xué)生分組討論或感覺(jué)困難，也很少類(lèi)比割圓術(shù)的方法）.

問(wèn)題與思考 上述教學(xué)是將割圓術(shù)的介紹過(guò)程分解了，邊講故事邊引導(dǎo)探究.但由于割圓術(shù)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有些陌生，并且圓的分割與曲邊梯形的分割形式是有些不同，因此教師介紹了割圓術(shù)中的各個(gè)片斷，學(xué)生仍難以類(lèi)比割圓術(shù)去解決對(duì)應(yīng)的求曲邊梯形面積的問(wèn)題.

前面引入曲邊梯形概念感覺(jué)不夠自然，特別是其中曲邊為什么要放在直角坐標(biāo)系內(nèi)？

為什么是要用y＝f（x）來(lái)表示有些突然.學(xué)生對(duì)于直接出來(lái)的一般曲邊梯形感覺(jué)比較抽象，還是和第一次相似，拘泥于曲邊梯形概念的教學(xué)，因此讓學(xué)生去解決一般曲邊梯形的面積.是否可以將以直代曲的化歸和求曲邊梯形的面積的探究從特殊到一般.

1.3 第二次改進(jìn)后的割圓術(shù)素材處理

我們之前學(xué)習(xí)了三角形、長(zhǎng)方形、梯形等平面圖形的面積.現(xiàn)在我們來(lái)看在平面直角坐標(biāo)系下由f（x）＝x＋2與直線x＝1、x＝2、x軸圍成的是什么圖形？面積是如何得到的？

如果把f（x）＝x＋2換成如上中圖這樣的函數(shù)圖像，如何求圍成的圖形面積？（用切割法化為矩形和梯形的面積相加，運(yùn)用的是化歸思想）.

如果把折線段換成曲線y＝f（x），那么此時(shí)圍成的面積又該如何求呢？給出曲邊梯形定義并提出本題課題.

如何求拋物線＝x2與直線x＝1、y＝0、x軸所圍成的平面圖形的面積（近似值也行）？

（四人一小組討論）

方案一和二分別在局部用矩形替代了小的曲邊圖形，而方案三是用梯形的面積和代替平面圖形的面積，它們都能求得曲邊圖形面積的近似值.

……

一般對(duì)于地，由直線x＝a、x＝b（a≠b）、y＝0和曲線y＝f（x）所圍成的平面圖形的面積應(yīng)該如何來(lái)求？

……

回顧求曲邊梯形面積的整個(gè)過(guò)程，你能否概括出求這個(gè)曲邊梯形面積的方法嗎？（分割、近似替代、求和、取極限.）

課堂小結(jié) 本堂課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？用什么辦法解決了求曲邊梯形的面積？具體的步驟是怎樣的？在解決過(guò)程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？

我們今天的研究和一個(gè)很有名問(wèn)題“割圓術(shù)”的研究非常相似，顯現(xiàn)了同學(xué)們繼承了中華民族優(yōu)秀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽也經(jīng)歷了這樣探究過(guò)程，他在《九章算術(shù)》中描述：“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣…”，其中的正多邊形分割，剛好切合了今天我們的——等分分割，當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積：體現(xiàn)以直代曲，近似替代，無(wú)限逼近.

……

思考 這是特殊到一般分步探究后的割圓術(shù)故事安排，學(xué)生在特殊到一般的引導(dǎo)下，首先明確了化歸思想引領(lǐng)下的以直代曲，然后在解決特殊問(wèn)題的探究中一方面運(yùn)用以直代曲，另一方面通過(guò)逼近求近似值.由于分成了幾個(gè)步驟，學(xué)生的合作探究解決成為自然.

在問(wèn)題解決后安排割圓術(shù)，一方面有利于不同問(wèn)題解決中的相同思想方法的突出，另一方面更是利用這樣的機(jī)會(huì)滲透數(shù)學(xué)歷史和中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展史的教育.

2 兩次教學(xué)改進(jìn)的分析

2.1 教學(xué)素材處理要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知

從學(xué)生的原有認(rèn)知看，雖然聽(tīng)說(shuō)過(guò)劉徽割圓術(shù)但時(shí)間已久，學(xué)生大多遺忘而難以想到.

從認(rèn)知水平看，割圓術(shù)中包含了分割和以直代曲、逼近等思想方法，還有等分等，有較高的要求.從知識(shí)聯(lián)系看，割圓術(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有些陌生，其中圓的分割與曲邊梯形的分割形式上有所不同.

第一次割圓術(shù)素材處理教學(xué)時(shí)，由于信息量大要求也較高，影響了學(xué)生的類(lèi)比探究，學(xué)生思考“在割圓術(shù)中為什么用正多邊形的面積計(jì)算圓的面積？”、“為什么要逐次加倍正多邊形的邊數(shù)？”、“我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)經(jīng)歷中有沒(méi)有用直邊圖形來(lái)計(jì)算曲邊圖形面積這樣的例子？”，學(xué)生接受感到困難.第一次的改進(jìn)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)割圓術(shù)的內(nèi)涵比較陌生，因此大多是沒(méi)有類(lèi)比割圓術(shù)而是直接求曲邊梯形的面積，而且割圓術(shù)中的逼近介紹不僅沒(méi)有起到類(lèi)比作用，反而影響到曲邊梯形面積探究中從化歸到逼近的連續(xù)性.第二次的改進(jìn)教學(xué)關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和水平，從已學(xué)知識(shí)到新問(wèn)題的解決，探究中由特殊到一般，從曲邊梯形概念的角度，以f（x）＝x＋2與直線x＝1、x＝2、x軸圍成的梯形為起點(diǎn)，到“折線梯形”，再到曲邊梯形，并且都放在直角坐標(biāo)系中，較自然地得到曲邊梯形概念及研究的坐標(biāo)系背景.從求面積近似值的角度，以學(xué)過(guò)的矩形、梯形面積為基礎(chǔ)，到拋物線y＝x2與直線x＝1、y＝0、x軸所圍成的平面圖形的面積，再到一般的曲邊梯形面積的解決.從精確要求來(lái)看，從熟悉圖形面積的精確值，到通過(guò)分割轉(zhuǎn)化為已知圖形的近似值，最后到極限下的精確值.學(xué)生在特殊到一般的引導(dǎo)下，首先明確了化歸思想引領(lǐng)下的以直代曲，然后在解決特殊問(wèn)題的探究中一方面運(yùn)用以直代曲，另一方面通過(guò)逼近求近似值.由于分成了幾個(gè)步驟，學(xué)生的合作探究解決成為自然.

2.2 教學(xué)素材處理要關(guān)注方法與思想的有效滲透

割圓術(shù)素材中蘊(yùn)含了分割化歸（以直代曲）、逼近、等分計(jì)算等豐富的方法和思想，第一次教學(xué)中，割圓術(shù)介紹中雖然將蘊(yùn)含其中的多種思想方法強(qiáng)調(diào)了，但畢竟是介紹的方式學(xué)生缺少體驗(yàn)，學(xué)生難以類(lèi)比探究后面的曲邊梯形面積，也很少有思想方法的滲透.

第一次改進(jìn)中，教師雖然設(shè)法讓學(xué)生去感受割圓術(shù)各環(huán)節(jié)中的思想方法，并類(lèi)比運(yùn)用于曲邊梯形面積的探究，但對(duì)于類(lèi)比解決一般曲邊梯形還是跨度過(guò)大.第二次改進(jìn)中，教師在各角度都關(guān)注了特殊到一般數(shù)學(xué)思想的滲透，在此過(guò)程中，學(xué)生將陌生的曲邊圖形通過(guò)分割化歸為熟悉的矩形、梯形問(wèn)題，也蘊(yùn)含了化歸和以曲代直的數(shù)學(xué)思想，在由近似到精確的過(guò)程中，包含了逼近和極限的思想.由于上述思想的滲透是分解在概念得到、分割、逼近、求極限及小結(jié)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，最后的割圓術(shù)介紹正是突出了以曲代直、逼近、極限等的類(lèi)比，因此方法與思想的滲透效果更有效.

2.3 教學(xué)素材處理要關(guān)注情感態(tài)度價(jià)值觀的教學(xué)

三維目標(biāo)要求數(shù)學(xué)教學(xué)中要關(guān)注情感態(tài)度價(jià)值觀的教學(xué)，通過(guò)典型例子的教學(xué)，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌，感受數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.

在前面第一次教學(xué)及改進(jìn)中，割圓術(shù)素材教學(xué)處理更多意在幫助類(lèi)比探究曲邊梯形的面積，在情感態(tài)度價(jià)值觀方面滲透較少.第二次的教學(xué)改進(jìn)則是在曲邊梯形面積問(wèn)題解決后安排割圓術(shù)素材教學(xué)，除了不同問(wèn)題解決中相同思想方法的突出，更是利用這樣的機(jī)會(huì)滲透了數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展就在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)機(jī).

1 劉紹學(xué)等編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)2－2》教師教學(xué)用書(shū)［M］.北京：人民教育出版社，2007年1月