基于提高運(yùn)算求解能力的例題選取

安徽省懷遠(yuǎn)縣包集中學(xué) 宋在馥 （郵編：233442）

培養(yǎng)能力，已成為數(shù)學(xué)教育者的共識(shí)和自覺追求.數(shù)學(xué)能力包括空間想像能力、運(yùn)算求解能力等六種.而達(dá)成這些能力的基礎(chǔ)無疑是提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力.“運(yùn)算求解能力是要求會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理……是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合……運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.”

培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主戰(zhàn)場(chǎng)是課堂，而例題是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的主要載體，因此例題的選取對(duì)實(shí)施培養(yǎng)運(yùn)算求解能力這一目標(biāo)，顯得尤為重要，下面談?wù)劰P者在教學(xué)中為提高運(yùn)算求解能力，在例題選取方面的思考與嘗試：

1 通過例題，引發(fā)對(duì)基礎(chǔ)的重視

例1 己知f（x）＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin（＋φ）（0＜φ＜π），圖象過點(diǎn)（）.（1）求φ的值；（2）將函數(shù)y＝f（x）圖象上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮為原來的，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)y＝g（x）在［0］的最大值與最小值.

做法與想法 這是道常規(guī)題，沒有吸引學(xué)生眼球的地方，僅要求對(duì)公式、法則等基礎(chǔ)知識(shí)與方法熟練.若僅僅講解一遍毫無價(jià)值.筆者先讓學(xué)生自己做，然后小組互查，并就每步的錯(cuò)誤做出統(tǒng)計(jì)，公布結(jié)果.哪知聽罷結(jié)果令學(xué)生目瞪口呆：完全做對(duì)的僅有15%，而出現(xiàn)的錯(cuò)誤卻五花八門.在cos2x降冪、sin＋φ）化簡(jiǎn)、兩角和公式、特殊值求特殊角、橫坐標(biāo)變化與ω的關(guān)系、換元法、作圖、最值的確定等方面均出現(xiàn)了錯(cuò)誤，當(dāng)告訴學(xué)生這是一道12分的高考題，學(xué)生變得神情莊重起來，意識(shí)到基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的缺漏和掌握的重要性.以后的課堂采取記公式、特殊值競(jìng)賽，疑難問題辯論，建立糾錯(cuò)本等方式以引發(fā)興趣，強(qiáng)化基礎(chǔ).

2 通過例題，強(qiáng)調(diào)通性通法

做法與想法 通過學(xué)生的嘗試得出四種解法：

法四 仿法二構(gòu)造三角形，用平面幾何方式求解.

本題的選擇，不僅是看重它的一題多解，更看重的是這些解法都是解決向量問題的通性通法，毫無“魔術(shù)師”的突然與神奇.但現(xiàn)在的教輔資料里、教師的課堂上卻充斥著這樣的“突然與神奇”，誘使學(xué)生偏離了重視通性通法的軌道，使學(xué)生拿到題目便去構(gòu)想奇思妙解.通過本題的研討，讓學(xué)生明白：基礎(chǔ)強(qiáng)化了，通法熟練了，攻堅(jiān)克難便成為了可能.

3 通過例題，學(xué)會(huì)“翻譯”條件

做法與想法 先讓學(xué)生思考，幾乎無人能動(dòng)筆，原因是視條件為“天書”，這時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生分析運(yùn)算條件，理解其本質(zhì).便設(shè)計(jì)了以下問題，有了以下問答：

師：f（x1）會(huì)在什么范圍內(nèi)？生：在f（x）的值域內(nèi)（記值域?yàn)镕）.

師：g（x2）會(huì)在什么范圍內(nèi)？生：在g（x）的值域內(nèi)（記值域?yàn)镚）.

師：集合F與G有什么關(guān)系？

生：（經(jīng)充分討論后）得出F?G.

師：此題如何解決？

生：分別求出f（x）與g（x）的值域，由F?G可求出a.

師：請(qǐng)同學(xué)們仿上述條件，給題目重新設(shè)置條件，并進(jìn)行“翻譯”.經(jīng)同學(xué)們的反復(fù)討論，教師點(diǎn)撥，得出以下結(jié)論：

對(duì)于f（x1）＝g（x2）：若?x1∈［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則F＝G；

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則F?G；

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則G?F；

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則F∩G≠ ?.

對(duì)于f（x1）≤g（x2）：若?x1∈［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）max≤g（x）min.

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）max≤g（x）max.

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）min≤g（x）min.

若 ?x1∈ ［m，n］，?x2∈ ［a，b］，則f（x）min≤g（x）max.

這些條件的成功“翻譯”，使學(xué)生信心大增，以后又陸續(xù)地給出一些“天書”類的條件，讓學(xué)生“翻譯”，使學(xué)生分析條件的能力逐步得以提高.

4 通過例題，學(xué)會(huì)探究解題的方向

例4 線段AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝2，P為線段CB上的一動(dòng)點(diǎn)，讓線段AC、BC分別繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，A、C重合于D，設(shè)CP＝x，記ΔCPD面積為f（x）.

（1）求f（x）的定義域；（2）求f′（x）的零點(diǎn).

做法與想法 先讓學(xué)生試作，幾分鐘后依然一片寂靜，察看結(jié)果，僅有幾人求出定義域.問其故，有的在求f（x）的解析式上受阻，有的在求導(dǎo)上受阻.復(fù)雜的運(yùn)算、復(fù)雜的式子，讓學(xué)生一片茫然.教師感到已達(dá)“憤悱”之境，適時(shí)提醒：我們往往忙于出發(fā)，常常忘了為什么出發(fā).現(xiàn)在再看看應(yīng)達(dá)到的目的：求定義域與求f′（x）的零點(diǎn).與學(xué)生共同回顧，求定義域的兩種情況：給出解析式求定義域與實(shí)際問題背景下求定義域，前者只須保證f（x）有意義，后者要滿足實(shí)際情況.由構(gòu)成三角形的條件可求出x∈ （2，4）.再問f′（x）零點(diǎn)的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的極值點(diǎn)，而CD無限接近于CA和CB時(shí)，ΔCPD面積都接近于0，因此在D從A運(yùn)動(dòng)到CB上的過程中必有一處使ΔCPD面積達(dá)到最大.問題再次轉(zhuǎn)化為求ΔCPD面積最大時(shí)的x，因CP＋PD＝6，P點(diǎn)在以D、C為焦點(diǎn)，以6為長(zhǎng)軸的橢圓上（為什么想到橢圓，正應(yīng)了前面講的“基礎(chǔ)熟練，方法自生”）當(dāng)PD＝PC＝3，x＝3即為f′（x）的零點(diǎn).解罷此題，同學(xué)們深深體會(huì)到解題受挫時(shí)，常?；仡櫼幌滤蠼Y(jié)果是什么，往往會(huì)啟發(fā)我們調(diào)整解題方向，從而打開解題思路.

培養(yǎng)運(yùn)算求解能力，應(yīng)該貫穿整個(gè)教學(xué)的始終.以上僅是平時(shí)教學(xué)中嘗試的幾例，在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的教學(xué)，既要“仰望星空”（對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的價(jià)值追求），又要“腳踏實(shí)地”（從每節(jié)課做起，從每道題做起，從每個(gè)學(xué)生做起，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能），腳步堅(jiān)實(shí)了，我們才能走得更好，走得更遠(yuǎn).

1 劉瑞霞.2012年高考數(shù)學(xué)試題及解法賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012（7）

2 姜靈靈.抓住本質(zhì) 回歸基礎(chǔ) 探究徹底［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（9）