類比推理一例

江蘇省鎮(zhèn)江中學 陸建根 （郵編：212017）

推理與證明是新課程標準中新增的內(nèi)容.在本章中，要求學生結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，對合情推理、演繹推理以及數(shù)學證明的方法進行概括與總結(jié)，體會合情推理、演繹推理以及數(shù)學證明在數(shù)學結(jié)論發(fā)現(xiàn)、證明與數(shù)學體系建構(gòu)中的作用.這樣處理是為學生進一步加深對推理與證明的理解，掌握推理與證明的基本方法，提高數(shù)學思維的能力，形成對數(shù)學較為完整的認識.而要真正加深學生對這些內(nèi)容的理解，關(guān)鍵在于教師在平時的教學中能抓住典型的例題進行深刻的剖析，引導學生去探究，去經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，從而掌握數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本方法，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

現(xiàn)以蘇教版必修4《平面向量》2.2.3“向量的數(shù)乘”例4為例，運用類比推理作適當?shù)耐茝V，供參考.

特別地，當O與C重合時，記為點P，如圖2，

而上式顯然成立，所以結(jié)論成立.

證明 延長AO交平面BCD于P，連結(jié)PA、PB、PC，設(shè)PA與平面BCD所成的角為θ，則由推廣2知

④式兩邊同乘以

上式顯然成立，所以結(jié)論成立.

上述類比推理把線性的性質(zhì)推廣到平面、空間，這是結(jié)論的類比，而且證明方法也是層層推進，一脈相承，所以也是方法的類比.

由推廣1可以得到的以下性質(zhì)：

設(shè)a、b、c是ΔABC的 ∠A、∠B、∠C所對的邊，若點P是ΔABC內(nèi)一點，ΔBPC、ΔAPC、ΔAPB的面積分別記為Sa、Sb、Sc則：

類比上述結(jié)論，我們可以得到推廣2的若干性質(zhì)：

數(shù)學學習的目的不僅僅是記住幾個公式，會做幾道題目，而是要發(fā)展學生的數(shù)學思維能力.教材的很多內(nèi)容是教師培養(yǎng)學生推理能力的很好的素材，關(guān)鍵在于我們老師如何去發(fā)掘.教師不要跟學生一起在茫茫題海中去撈題，而是要在學生匆匆做題時帶著學生停下來，去想一想，悟一悟，一起做些探究.若能有所發(fā)現(xiàn)，則學生對原有知識的理解會上一個臺階，哪怕沒有新的發(fā)現(xiàn)，對學生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也是一個鍛煉.

1 單墫.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2－2［M］.江蘇：江蘇教育出版社，2010

2 高中數(shù)學教學參考書數(shù)學選修2－2［M］.江蘇：江蘇教育出版社，2010

3 林國夫.三角形“四心”的向量特征及應用［J］.數(shù)學通報，2010