人教A版“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”教材研讀

安徽省六安中學(xué) 陸學(xué)政 劉清堯 （郵編：237005）

備好課是上好課的先決條件，而教學(xué)設(shè)計是備課的一種現(xiàn)代發(fā)展，是教師的基本功，也是制約教師專業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵要素.精心備課（設(shè)計）是精致教學(xué)的源泉，是教師提高課堂教學(xué)能力的首要途徑，其中的一項重要工作就是研讀教材.這既是一個從宏觀角度領(lǐng)會教材的學(xué)科特點、確立教材的地位作用的過程，又是一個從微觀角度揣摩教材的編寫意圖、品味教材的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)的過程，也是一個從操作角度凸現(xiàn)教學(xué)的重點難點、分析學(xué)生的實際情況、醞釀教學(xué)的具體策略的過程.

恰逢筆者之一的劉清堯老師準(zhǔn)備開設(shè)校級公開課，課題是人教A版選修2－1“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”，以下就是筆者研讀教材時的主要思考.

1 “橢圓的簡單幾何性質(zhì)”的地位與作用

（1）從學(xué)科特點的角度來看.解析幾何的基本問題之一是根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”則是學(xué)生第一次較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)在解析幾何中如何用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)，既包括研究哪些方面的性質(zhì)，也包括利用何種方法手段進(jìn)行研究；既有形的直觀，更有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn).這對后續(xù)根據(jù)方程研究雙曲線、拋物線乃至一般曲線的幾何性質(zhì)都具有“示范”與“標(biāo)桿”作用.應(yīng)在這個高度上整體把握本節(jié)課的教學(xué).

（2）從知識方法的角度來看.一方面，橢圓的基本量a、b、c、e被賦予了簡明的幾何意義，便于從不同的側(cè)面把握橢圓的圖形特征，橢圓的幾何性質(zhì)與其它知識相聯(lián)系，對于研究圓錐曲線中的范圍、最值等問題都有重要意義；另一方面，本節(jié)內(nèi)容蘊含了函數(shù)觀點、不等式方法、方程思想、變量代換、數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學(xué)思想方法，典型而豐富，教學(xué)時應(yīng)“小中見大”，適時提煉上述思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（3）從學(xué)生發(fā)展的角度來看.對橢圓簡單幾何性質(zhì)的研究有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象概括、推理論證、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度和思維習(xí)慣.教學(xué)時應(yīng)立足于引導(dǎo)學(xué)生自己提出要研究的問題、確定研究的方法、評價研究的成果、完善研究的過程，以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的最大化.

2 “橢圓的簡單幾何性質(zhì)”教材研讀

2.1 第43頁正文前兩段及旁白

研讀這一段教材，可以得出對本節(jié)課的兩點總體認(rèn)識：

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)的直接基礎(chǔ)是橢圓的定義（幾何特征）及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，任務(wù)是利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它的幾何性質(zhì)，這恰恰涵蓋了解析幾何研究的兩個主要問題：根據(jù)條件求曲線方程，通過方程研究曲線性質(zhì).

（2）由于是初次研究曲線的幾何性質(zhì)，學(xué)生往往對研究哪些方面不甚了解，難以整體把握具體的研究角度，教師應(yīng)發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，幫助學(xué)生明確：曲線的幾何性質(zhì)，一般包括曲線的形狀、大小、對稱性、位置等，并且是利用曲線的方程進(jìn)行研究的.

因此，引入新課時，教師要讓學(xué)生思考：解析幾何主要研究哪兩個問題？對于橢圓，已經(jīng)研究了什么，還需要研究什么？如何研究？

2.2 第43頁“觀察”

研讀教材此欄目，可以透視出編者的如下意圖：

（1）橢圓的諸多幾何性質(zhì)中，離心率的引入需要研究兩個乃至多個橢圓（橢圓的扁平程度是一個相對概念），而范圍、對稱性、頂點只需研究單個橢圓，根據(jù)“由易到難”的原則，本欄目先解決單個橢圓的幾何性質(zhì)問題，離心率的學(xué)習(xí)則相對獨立.

（2）研究橢圓的幾何性質(zhì)，不能直接從方程入手，而是“先直觀后抽象”、“先感性后理性”，即先對橢圓的形狀從直觀上進(jìn)行觀察，“猜想”出橢圓的范圍、對稱性、頂點等幾何性質(zhì).又因為“形缺數(shù)時難入微”，所以必須“用思維幫助眼睛”，即利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過嚴(yán)格的代數(shù)推理驗證“猜想”.這樣做，充分體現(xiàn)了“由形到數(shù)，以數(shù)促形”，降低了思維的起點和坡度，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維特點.

因此，利用課件或?qū)嵨锝叹?，引?dǎo)學(xué)生“觀察”、“發(fā)現(xiàn)”、“猜想”是必不可少的，教師絕不能包辦代替.另外，這些性質(zhì)被學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的先后順序也可能不同，教學(xué)中要盡量順應(yīng)學(xué)生的思路，不能完全拘泥于教材的順序.

2.3 性質(zhì)1——“范圍”

教材指出，學(xué)生“看出”范圍是不難的，重點是利用方程（代數(shù)方法）去“推導(dǎo)”范圍，這里蘊含著兩個重要信息：

（2）“以形助數(shù)”.在用代數(shù)方法得出x、y的取值范圍后，要及時回到圖形，體會“范圍”的幾何意義.這里，除了矩形框以外，教材在圖中特別標(biāo)出了橢圓的“特征三角形”——RtΔB2OF2，該三角形以a為斜邊長、b和c為直角邊長，蘊含了關(guān)系式a2＝b2＋c2以及cos∠OF2B2＝＝e（離心率）.四個這樣的直角三角形合并后，與矩形框一起構(gòu)成了橢圓的“內(nèi)部支架”和“外部框架”，對理解與掌握橢圓的基本知識并形成網(wǎng)絡(luò)、解決橢圓的有關(guān)問題都具有重要的價值.

2.4 性質(zhì)2——“對稱性”

“對稱”在很多學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)中仍然停留在“翻折或旋轉(zhuǎn)后重合”的籠統(tǒng)印象，尚不能自如地從數(shù)學(xué)的角度對圖形對稱性的本質(zhì)進(jìn)行精確度量.若這個問題得不到有效解決，教材的編寫意圖則難以實現(xiàn).事實上，圖形對稱性的本質(zhì)是點的對稱性，即曲線上任意一點P關(guān)于某點（直線）的對稱點P′仍在該曲線上.反映在解析幾何中，涉及到求對稱點的坐標(biāo)、根據(jù)點的坐標(biāo)是否滿足曲線方程來判斷該點是否在曲線上，這是處理對稱性問題的關(guān)鍵，是教材利用標(biāo)準(zhǔn)方程揭示橢圓為什么關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點對稱的根基.

2.5 性質(zhì)3——“頂點”

這里，雖然涉及了三個概念：頂點、長軸與短軸，但是它們的地位有所不同.具體來說，教材明確指出了橢圓頂點的定義：橢圓與其對稱軸的交點（與坐標(biāo)系選取無關(guān)）.只是在標(biāo)準(zhǔn)方程下，橢圓的對稱軸為x軸、y軸，所以，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程不難求出橢圓的頂點坐標(biāo).而橢圓的長軸與短軸是頂點的“衍生物”，只需結(jié)合具體圖形能正確指認(rèn)即可，不必嚴(yán)格定義（定義的語言表述也比較拗口）.教材這樣處理是合適的，教學(xué)中要注意準(zhǔn)確把握尺度.

2.6 性質(zhì)4——“離心率”

離心率的教學(xué)是本節(jié)的難點.仔細(xì)研讀教材后，筆者有以下幾點認(rèn)識：

（1）“思考”欄目必要而合理.

（2）教材中離心率概念的形成顯得突兀，第46頁的“探究”應(yīng)提前而不能滯后.

如圖，若有學(xué)生提出固定a、看b的大小來比較扁平程度時，教師可追問：對于a、b分別都不等的兩個橢圓，如何比較呢？學(xué)生自然想到用比值，類似于通分那樣將分母化為相同后再比較新的分子的大小.另外，教師可適時提示學(xué)生：類比用三角函數(shù)刻畫直線的傾斜程度，在特征三角形（RtΔBFO）中，有；在 RtΔBAO中，也有這些量都可以用來刻畫橢圓的扁平程度.然后依據(jù)“就簡原則”，可以考慮采用.只有這樣，才能充分尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生的思維“自然地流淌”，才能為提出離心率的概念、也為分析離心率大小與橢圓扁平程度的關(guān)系奠定堅實基礎(chǔ).

（3）教材第45頁中的“邊空”，教學(xué)時應(yīng)充分利用.

限于篇幅，關(guān)于教材例習(xí)題的研讀與教學(xué)處理從略.

3 結(jié)語

為什么要研讀教材？實在是因為教材常常會被教師粗淺地理解，粗放地使用，也因為教材有時會抑制教師教學(xué)過程的生動性和主動性.新課改以來，類似于“不是教教材，而是用教材教”這樣的口號耳熟能詳，但真正能落到實處的教師并不多見，原因在于：要想創(chuàng)造性地使用教材，首先必須深刻地理解與領(lǐng)會教材，沒有理解就沒有創(chuàng)造.我們既不能盲從教材，更不能對教材的博大精深視而不見，而應(yīng)提倡對教材的批判性占有.這些，都需要在精心備課的過程中深入地研讀教材、品味教材.而現(xiàn)實情況又如何呢？正如華東師范大學(xué)周彬教授所說：目前，教師花在批改作業(yè)上的時間往往是最多的，至于花在備課（研讀教材）上的時間，不是說最少，但實在是虧欠太多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)配不上其應(yīng)有的重要程度.

1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教A版選修2－1）［M］.人民教育出版社，2009，5

2 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書教師教學(xué)用書（人教A版選修2－1）［M］.人民教育出版社，2009（6）

3 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.人民教育出版社，2003（4）

4 徐光考，蔣燕飛.橢圓離心率的創(chuàng)造性教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（1，2）

5 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（第二版）［M］.北京師范大學(xué)出版社，2008（4）