對一道高中數(shù)學教師綜合素質(zhì)大賽題的思考——兼談編制數(shù)學題的方法

安徽省合肥市第六中學 侯曙明 苗大文 （郵編：230001）

合肥市第二屆高中數(shù)學教師綜合素質(zhì)大賽暨第十屆高中數(shù)學優(yōu)秀課比賽（預(yù)賽）日前落幕，比賽內(nèi)容為“六個一”（解一道題，命一道題，說一節(jié)課，評一節(jié)課，上一節(jié)課，談一體會），其中，在“命一道題”環(huán)節(jié)中，給出了下列問題：

試問ΔMON的面積SΔMON是否為定值？

在題設(shè)條件下，再編制若干個正確的新命題.

（每個正確的新命題給10分）

賽后發(fā)現(xiàn)，在命題環(huán)節(jié)中，參賽教師普遍表現(xiàn)不太理想，反映出教師編制命題的能力欠缺，對問題的背景認識不足，命題的視野不寬，方法單調(diào).本文首先針對上述命題，編制一系列新命題，然后談一點編制命題的方法和策略.

1 命題編制

首先，容易證明如下的

引理 設(shè)M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），kOM，kON都存在，則下列關(guān)系成立：

由上述引理，可以得到

證明 設(shè)M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），則

證 明 ｜MN｜2＝ （acosα－acosβ）2＋（bsinα－bsinβ）2＝a2（cos2α＋cos2β－2cosαcosβ）＋b2（sin2α＋ sin2β－ 2sinαsinβ） ＝a2（1 －2cosαcosβ）＋b2（1 －2sinαsinβ）＝a2＋b2－2（a2cosαcosβ＋b2sinαsinβ）＝a2＋b2＋2（a2－b2）sinαsinβ，所以｜MN｜2－（a2＋b2）｜＝2（a2－b2）｜sinα｜｜sinβ｜＝（a2－b2）·2｜sinα｜｜cosα｜＝（a2－b2）｜sin2α｜≤a2－b2，

（2）四邊形OMPN是平行四邊形.

（2）由（1）易知，四邊形OMPN顯然是平行四邊形.

證明 設(shè)M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），

根據(jù)橢圓的對稱性結(jié)合命題4和命題5，下列兩個命題是正確的.

2 一點思考

中學一線教師經(jīng)常出卷，從單元測驗到期中、期末考試卷，還有高考模擬卷.通常是組題為主，很少創(chuàng)編新題.創(chuàng)編新題的確有難度，相信各位老師都有切身感受，這是一個值得好好研究的課題.下面結(jié)合命題實踐，談?wù)劸幹泼}的一些體會.

（1）通過類比編制命題.類比是以比較為基礎(chǔ)，通過比較，找出兩個不同對象的某些屬性的相似點或近似程度的思維方法.利用類比的這一特性，通過類比和比較，我們可以在一些相近的知識點上創(chuàng)編出新題來.如2003年北京卷第18題就是由圓中的“蝴碟定理”，考慮到圓所具有的對稱性，將圓換成橢圓或其他對稱圖形，“蝴碟定理”是否仍然成立？于是就有了那道經(jīng)典題，一時傳為美談.高考中的這類創(chuàng)編題不勝枚舉.

（3）通過特殊與一般的關(guān)系編制命題.從特殊到一般，再由一般到特殊是人們認識客觀世界的基本過程之一.近年來高考命題特別是自主命題以來，一些植根于高等數(shù)學的試題，取其特殊化的情況，也是命題專家常用的手法.如1996年全國卷第25題是函數(shù)與不等式的結(jié)合題，是馬爾科夫定理的一個特例；1999年全國卷第10題和2005年全國卷Ⅰ第5題，兩道立體幾何選擇題都是牛頓—辛普生公式的特例；2012年安徽卷理科第21題的背景是計算方法中的不動點理論，此所謂“高觀點、低切入”.現(xiàn)在的中學教師都受過良好的高等教育，很多都具有研究生學歷，高觀點下的創(chuàng)編新題應(yīng)該是有基礎(chǔ)的.

（4）通過變更命題條件和結(jié)論、推廣命題編制命題.命題由條件和結(jié)論構(gòu)成，將條件和結(jié)論進行適當?shù)慕M合可構(gòu)成新命題，其中，構(gòu)造逆命題是最常用的手段；推廣命題更是涵蓋了原命題，結(jié)論更加深入，也是編制命題常用手段.本文中的命題7實際上是命題6的逆命題，沿著上面探討的遞進過程看它不是一個難題，但如果作為一個獨立命題就有一定的難度.該命題條件簡潔，結(jié)論優(yōu)美，是一道不錯的命題.

筆者參與過各類考試試卷的命制，我們以為課本中的例、習題、高考題、競賽題是我們“取之不盡、用之不竭”的素材，這些命題是教材編寫專家和命題專家深思熟慮的結(jié)果，值得我們?nèi)W習、思考和研究.通過對這些問題的進一步開發(fā)，可以編制出有針對性的、新穎別致的新命題，供教學使用.對教師而言，編制命題的過程體現(xiàn)了研究性學習的過程，是知識體系由封閉到開放的過程，也是提高命題能力的過程，是促進教師專業(yè)化發(fā)展的一個渠道，是優(yōu)秀教師的成長之路.