含磨損故障的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性

王曉筍，巫世晶，周旭輝，胡基才

(1.武漢大學(xué) 動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，武漢 430072;2.武漢第二船舶研究所，武漢 430064)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是目前機(jī)械系統(tǒng)中使用最為廣泛的傳動(dòng)方式，其通過(guò)輪齒嚙合實(shí)現(xiàn)載荷和運(yùn)動(dòng)的傳遞［1］。而由于其內(nèi)部存在的齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度和內(nèi)部誤差激勵(lì)等非線性因素，使得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的負(fù)載運(yùn)行的過(guò)程中呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特征。Kahraman等［2－4］考慮了齒側(cè)間隙和軸承間隙等非線性因素，建立單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)單自由度、二自由度和三自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用解析法和數(shù)值法對(duì)模型進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在的跳躍不連續(xù)和混沌等典型非線性現(xiàn)象。Theodossiades等［5］和 Raghothama 等［6］分別采用多尺度法和增量諧波平衡法對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了求解，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)存在的亞諧波共振和超諧波共振現(xiàn)象。劉夢(mèng)軍等［7］采用數(shù)值積分的方法研究了單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)所具有的分岔與混沌現(xiàn)象。Kahraman 等［8］和 Parker等［9］分別建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)系統(tǒng)，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試獲得的幅頻特性曲線驗(yàn)證了系統(tǒng)存在的跳躍不連續(xù)現(xiàn)象。Cai等［10－11］考慮了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性支撐力，通過(guò)數(shù)值積分的方法研究了嚙合阻尼和激勵(lì)頻率對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

而輪齒在運(yùn)行的過(guò)程中由于受到載荷和齒面潤(rùn)滑狀態(tài)的影響，齒面會(huì)出現(xiàn)不間斷的磨損現(xiàn)象。齒面磨損的直接結(jié)果是導(dǎo)致齒面金屬材料的非均勻去除［12］，但同時(shí)也會(huì)進(jìn)一步引起齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)與噪聲的加劇［13］，由此可能使得輪齒的動(dòng)載荷急劇增加，并由此可能引起輪齒受到更大的沖擊載荷作用，最終將導(dǎo)致輪齒折斷。分析含有磨損故障特征的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性是揭示齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在出現(xiàn)磨損之后會(huì)出現(xiàn)早期失效的有效途徑之一。為此，本文考慮了齒面磨損可能引起的直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特性參數(shù)的變化，建立了含有齒面磨損故障的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值特性分析，以變步長(zhǎng)積分方法計(jì)算獲取了系統(tǒng)的分岔圖和對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜，由此分析系統(tǒng)在某個(gè)關(guān)鍵參數(shù)變化時(shí)的全局非線性動(dòng)力學(xué)特性。同時(shí)，通過(guò)Poincaré映射、功率譜對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)的周期、擬周期和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入細(xì)致地研究，揭示系統(tǒng)由周期經(jīng)分岔進(jìn)入混沌的途徑以及非線性系統(tǒng)內(nèi)部所蘊(yùn)含的一些普適性規(guī)律。

1 三自由度動(dòng)力學(xué)的模型

一對(duì)直齒輪的三自由度平移－扭轉(zhuǎn)耦合的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，模型中θ表示角位移，y表示豎直方向位移，k表示剛度，c表示阻尼，I表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m表示質(zhì)量，R為基圓半徑，T表示扭矩，F(xiàn)表示力，e表示內(nèi)部誤差激勵(lì)。下標(biāo)g1，g2，b1，b2分別代表主從動(dòng)齒輪和主從動(dòng)齒輪的支撐軸承，h表示嚙合齒輪對(duì)，eq代表等效。符號(hào)“—”表示帶有量綱的變量。為消除系統(tǒng)內(nèi)存在的剛體位移，引入輪齒之間動(dòng)靜態(tài)傳遞誤差之差，由此建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三自由度動(dòng)力學(xué)方程如式(1)所示。

圖1 三自由度直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Three-degree-of-freedom dynamic model of a spur gear pair transmission system

引入標(biāo)稱尺度bc和時(shí)間尺度t=ωn，無(wú)量綱廣義坐標(biāo)表示為ybi=bi/bc(i=1，2)，δ=/bc，可以得到方程式(1)的無(wú)量綱形式如式(2)所示。

Kahraman等［2］通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，軸承的間隙與齒輪的齒側(cè)間隙均可以用分段非線性函數(shù)描述，其中主動(dòng)軸軸承和從動(dòng)軸軸承的間隙可以描述為:

齒側(cè)間隙可以描述為:

2 齒面磨損故障特征的引入

2.1 齒面累積磨損量的計(jì)算

為研究齒面磨損對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，首先采用Archard公式［12］計(jì)算齒面動(dòng)態(tài)磨損特性，主要考慮輪齒嚙合的動(dòng)載荷、嚙合點(diǎn)滑移速度等計(jì)算輪齒負(fù)載運(yùn)行一定周期之后的累積磨損量，其中主從動(dòng)齒輪齒面的累積磨損量可以描述為:

式中:uj(j=1，2)為主從動(dòng)齒輪的滾動(dòng)速度，k和p分別為當(dāng)前嚙合點(diǎn)的動(dòng)態(tài)磨損系數(shù)和最大接觸力，α為當(dāng)前嚙合點(diǎn)處Hertz接觸寬度。

2.2 輪齒嚙合剛度的計(jì)算

根據(jù) Weber-Banaschek公式［17］，單個(gè)輪齒中線和嚙合線的交點(diǎn)(圖2中P點(diǎn))在嚙合線方向的變形量包括彎曲剪切變形量 δZ，基礎(chǔ)部分變形量 δR和由于輪齒接觸而產(chǎn)生的載荷作用點(diǎn)到 P點(diǎn)的接近量 δpW。δZ，δR和 δpW可以分別采用式(6a)，(6b)和(6c)計(jì)算獲取。一對(duì)輪齒嚙合時(shí)，輪齒在嚙合線方向總體變形量與嚙合剛度分別用式(6e)和(6f)表示。

圖2 輪齒的幾何參數(shù)Fig.2 Geometry parameters of Gear Tooth

式(6(a)～(d))各參數(shù)如圖2所示，E為等效彈性模量，b為齒寬，ρ1和ρ2為接觸點(diǎn)的當(dāng)量圓柱體半徑。

齒面累積磨損造成漸開(kāi)線齒廓的變化，為此在式6((a)～(c))中引入從動(dòng)齒輪的齒面累積磨損量H1和H2，由此計(jì)算出現(xiàn)磨損之后輪齒的嚙合剛度。

2.3 算例

取主動(dòng)齒輪齒數(shù)z1=30，從動(dòng)齒輪齒數(shù)z2=40，模數(shù) m=4，齒寬 b=0.03，標(biāo)準(zhǔn)壓力角 φ =20°，輸入力矩Tin=60 N·m，輸出負(fù)載為T(mén)out=80 N·m，主從動(dòng)齒輪彈性模量 E1=E2=207 GPa，a=1.33 ×10－8(m2/N)，磨損系數(shù) k=5 × 10－16(m2/N)［12］，通過(guò)式(5)計(jì)算獲得輪齒運(yùn)行105次之后的累積磨損量沿嚙合線的分布如圖3所示，在節(jié)點(diǎn)附近的單齒嚙合區(qū)間內(nèi)磨損量最小，因?yàn)閱锡X嚙合區(qū)間內(nèi)雖然載荷由單個(gè)輪齒承擔(dān)，但滑移速度較小，因而最終的累積磨損量相對(duì)較小;在靠近齒頂處的雙齒嚙合區(qū)間1和靠近齒根處的雙齒嚙合區(qū)間2的磨損量則相對(duì)較大，特別在齒頂處累積磨損量是整個(gè)輪齒上最大的。

圖3 嚙合齒輪對(duì)齒面累積磨損量Fig.3 Accumulated surface wear of gear pair

采用式(6(a)－(f))計(jì)算獲得齒輪對(duì)嚙合剛度如圖4所示，齒輪對(duì)嚙合剛度與磨損量一樣分為雙齒嚙合區(qū)間1、單齒嚙合區(qū)間和雙齒嚙合區(qū)間2?？紤]嚙合齒輪對(duì)長(zhǎng)期負(fù)載運(yùn)行之后出現(xiàn)較為嚴(yán)重的磨損，對(duì)比未磨損的齒輪對(duì)嚙合剛度和出現(xiàn)磨損之后的嚙合剛度可以發(fā)現(xiàn)，沿漸開(kāi)線齒廓不均勻分布(如圖4所示)磨損量使得單個(gè)輪齒的嚙合剛度在齒頂和齒根位置減小，但在節(jié)點(diǎn)處變化相對(duì)較小。

圖4 未磨損與出現(xiàn)磨損的輪齒時(shí)變嚙合剛度Fig.4 Time-varying mesh stiffness of worn and unworn gear pair

3 非線性系統(tǒng)的數(shù)值特性分析

在建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，時(shí)變嚙合剛度通常進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化處理，將圖4所示的嚙合剛度以一系列三角函數(shù)和的形式進(jìn)行描述，從而便于求解處理。本文采用Raghothama等［6］提出的式(7)表達(dá)時(shí)變嚙合剛度，由于齒面磨損引起的嚙合剛度的變化通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)主要體現(xiàn)在εr在上。通過(guò)對(duì)圖4的磨損齒輪對(duì)的嚙合剛度進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以得到一系列的εr在值，本文取r=3。

系統(tǒng)的諸多非線性因素會(huì)引起系統(tǒng)可能出現(xiàn)周期、擬周期和混沌響應(yīng)，為全面獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，本文采用了典型的定性和定量分析方法，其中分岔圖采用基于閃頻(Stroboscopic)原理，能夠觀察系統(tǒng)隨某一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)變化經(jīng)由周期進(jìn)入混沌的途徑，也可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域和混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域;但對(duì)于系統(tǒng)是否為擬周期或混沌運(yùn)動(dòng)通過(guò)分岔圖則不易判斷，而對(duì)于多自由度系統(tǒng)是否處于超級(jí)混沌狀態(tài)也不能夠由分岔圖加以判斷，為此，需要利用李雅普諾夫指數(shù)譜進(jìn)行區(qū)分，本文引入 Wolf等［14］提出的 GRAMSCHMIDT正交化方法計(jì)算多自由度系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。其它定性分析方法，如自相關(guān)功率譜和Poincaré映射等則能夠準(zhǔn)確描述系統(tǒng)在某一特定參數(shù)設(shè)置下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，可作為分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)譜計(jì)算結(jié)果的重要驗(yàn)證方法。

本文所建立的三自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，為此采用變步長(zhǎng)的Gill積分方法對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(式(2))進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算。非線性系統(tǒng)對(duì)于初值具有敏感性特征，同時(shí)系統(tǒng)在起始階段還具有瞬態(tài)響應(yīng)。為確保數(shù)值計(jì)算的結(jié)果為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將開(kāi)始的800個(gè)周期的解舍棄，利用800周期之后數(shù)值積分結(jié)果獲取分岔圖、Poincaré映射和功率譜曲線。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(式(2))中的各個(gè)參數(shù)取值分別為 ζ11= ζ22=0.01，ζ33= ζ23=0.012 5，ζ33=0.05，k11=k22=1.25，F(xiàn)b1=Fb2=0.1，F(xiàn)m=0.3，F(xiàn)aH=0.6，bb1=bb2=0，bc=bh=0.12 mm，ε1=0.3，ε2=0.1，ε3=0.05。對(duì)式(2～4)進(jìn)行數(shù)值積分求解，選取的初始條件為初始位移為0.1，初始速度為0，系統(tǒng)的無(wú)量綱激勵(lì)頻率Ω從0.7增加到2.7，獲得系統(tǒng)的分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜如圖5所示。Eckmann［15］歸納出走向混沌的3種途徑:Feigenbaum途徑，Ruelle-Takens-Newhouse途徑和Pomeau-Manneville途徑。從計(jì)算的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著激勵(lì)頻率Ω的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)了多個(gè)周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間，而上述3種進(jìn)入混沌的典型途徑在分岔圖上都可以發(fā)現(xiàn)，但是系統(tǒng)由于系統(tǒng)內(nèi)部存在著多種間隙，進(jìn)入混沌主要通過(guò)倍周期分岔以及不同形式的擬周期經(jīng)由鎖相進(jìn)入混沌的途徑。

圖5 隨激勵(lì)頻率變化的分岔圖與對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜Fig.5 The bifurcation diagram and the corresponding Lyapunov exponents of the system with the excitation frequency as the vary parameter

3.1 倍周期分岔途徑

通過(guò)倍周期序列進(jìn)入混沌是非線性系統(tǒng)的常規(guī)途徑，其特點(diǎn)為系統(tǒng)的響應(yīng)的周期數(shù)目隨參數(shù)變化而不斷加倍，最終進(jìn)入混沌。從分岔圖中可以發(fā)現(xiàn)，在激勵(lì)頻率區(qū)間 Ω∈［1.34，1.4］這個(gè)區(qū)間內(nèi)存在這一個(gè)倍周期分岔序列(按照激勵(lì)頻率從大到小的變化趨勢(shì))。

圖6 系統(tǒng)的Poincaré映射Fig.6 Poincaré maps

圖7 系統(tǒng)的功率譜Fig.7 The power spectrums

系統(tǒng)從周期1運(yùn)動(dòng)開(kāi)始(圖6(a))，經(jīng)過(guò)不多的周期加倍，經(jīng)歷周期2(圖6(b))，周期4(圖6(c))，周期8(圖6(d))和周期16(圖6(e))，最終系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)(圖6(f))。在Poincaré映射上，周期n運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)這n個(gè)不動(dòng)的離散點(diǎn)，而功率譜則對(duì)應(yīng)著在1/n基頻及m/n(m為正整數(shù))處存在尖峰(圖7(a)～(e))。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)之后，Poincaré映射上出現(xiàn)了奇怪吸引子(圖6(f))，功率譜曲線則表現(xiàn)為具有噪聲背景的連續(xù)譜，同時(shí)在1/8及m/8基頻處存在尖峰，表明了系統(tǒng)訪問(wèn)奇怪吸引子8個(gè)不同區(qū)域的嚴(yán)格周期性(圖7(f))。通過(guò)相軌線、Poincaré映射和功率譜的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜的正確性。

3.2 擬周期分岔途徑

通過(guò)擬周期分岔進(jìn)入混沌是系統(tǒng)存在的主要途徑之一，在分岔圖上可以觀察到多個(gè)經(jīng)由擬周期分岔途徑進(jìn)入混沌的區(qū)域，而各個(gè)不同區(qū)域其具體的分岔途徑又存在差異，下面選取兩個(gè)具有代表意義的擬周期途徑進(jìn)行分析。

3.2.1 擬周期分岔途徑1

在區(qū)間 Ω∈［1.2，1.22］存在著一個(gè)典型的擬周期進(jìn)入分岔的途徑，當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)頻率Ω=1.22時(shí)，系統(tǒng)處于周期2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖8(a)所示，此時(shí)Poincaré映射上是兩個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)，功率譜上對(duì)應(yīng)m/2倍基頻處存在著尖峰圖9(a)。隨著激勵(lì)頻率的變化，當(dāng)Ω=1.217 2時(shí)，穩(wěn)定的焦點(diǎn)失去穩(wěn)定性，并經(jīng)由Hopf分岔變成兩個(gè)吸引環(huán)圖8(b)，此時(shí)，除了在m/2倍基頻處存在著尖峰，分析其頻域特性，如圖9(b)所示，系統(tǒng)的頻域上存在1/7，2/9，3/11，9/23 等一系列不可約頻率分量，而通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)這些頻率分量之間存在著以下關(guān)系:

這表明在系統(tǒng)的擬周期頻域區(qū)間的頻率分量之間滿足周期相加法則［16］(period-adding law)。繼續(xù)改變激勵(lì)頻率，系統(tǒng)Poincaré映射上的吸引環(huán)呈現(xiàn)面積不斷增大的趨勢(shì)(圖8(b))，再次觀察功率譜曲線(圖9(b))可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的響應(yīng)上出現(xiàn)了更多的頻率分量。隨后Poincaré映射上的吸引環(huán)開(kāi)始發(fā)生變形(圖8(c))和環(huán)面上的自纏繞(圖8(d))，系統(tǒng)的功率譜上出現(xiàn)了更多不可公約的特征頻率(圖9(c)～(d))。環(huán)面上的擬周期運(yùn)動(dòng)逐漸失去穩(wěn)定性，此時(shí)稍有擾動(dòng)就會(huì)過(guò)渡到另外一個(gè)周期解，擬周期運(yùn)動(dòng)中的兩頻率之比將從無(wú)理數(shù)變成與之接近的有理數(shù)，當(dāng)Ω=1.207現(xiàn)，系統(tǒng)出現(xiàn)了周期8響應(yīng)(圖8(e))，頻率譜上(圖9(e))也出現(xiàn)了m/8基頻處出現(xiàn)了尖峰。最終通過(guò)多周期鎖相進(jìn)入混沌狀態(tài)(圖7(f))，系統(tǒng)的功率譜變成了具有噪聲背景的連續(xù)譜(圖9(f))，對(duì)應(yīng)在Poincaré映射上也出現(xiàn)了具有分維數(shù)的奇怪吸引子。特別的，在功率譜上面對(duì)應(yīng)m/2基頻處也存在著尖峰，代表系統(tǒng)周期性的訪問(wèn)Poincaré映射上的兩個(gè)混沌區(qū)間。這種經(jīng)過(guò)周期運(yùn)動(dòng)→擬周期→鎖相→混沌是系統(tǒng)進(jìn)入混沌的常規(guī)途徑之一。

3.2.2 擬周期分岔途徑2

在區(qū)間 Ω∈［1.8，1.82］也存在擬周期分岔進(jìn)入混沌的途徑，隨著激勵(lì)頻率Ω的改變，Poincaré映射上首先出現(xiàn)的是多周期離散點(diǎn)(圖10(a));此時(shí)系統(tǒng)處于周期13運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，接著周期運(yùn)動(dòng)通過(guò)Hopf分岔被擬周期運(yùn)動(dòng)替代，Poincaré映射出現(xiàn)了具有扭曲纏繞特性的T1環(huán)面(圖10(b));不穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng)再次進(jìn)入P107多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即鎖相(圖10(c));隨后是進(jìn)一步扭曲變形的T1環(huán)面(圖10(d));不穩(wěn)定擬周期運(yùn)動(dòng)再次被P94多周期運(yùn)動(dòng)所替代(圖10(e));從圖10可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)經(jīng)歷了多次類(lèi)似擬周期和多周期鎖相的交替出現(xiàn)，即具有扭曲T1環(huán)面的擬周期運(yùn)動(dòng)(圖10(f))→P81多周期鎖相(圖10(g))→扭曲T1環(huán)面的擬周期運(yùn)動(dòng)(圖10(h))→P136多周期鎖相(圖10(i))→扭曲T1環(huán)面的擬周期運(yùn)動(dòng)(圖10(j))→P55多周期鎖相(圖10(k))。最終系統(tǒng)在經(jīng)歷上述多次擬周期→多周期鎖相之后，在Poincaré映射出現(xiàn)了具有連續(xù)功率譜的混沌運(yùn)動(dòng)(圖10(l))。這種經(jīng)歷多次擬周期→多周期鎖相的通向混沌的演化路徑是非常規(guī)通路，說(shuō)明了含有磨損故障齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)由擬周期運(yùn)動(dòng)通向混沌的復(fù)雜性和多樣性。

圖8 系統(tǒng)的Poincaré映射Fig.8 Poincaré maps

圖9 系統(tǒng)的功率譜Fig.9 Power spectrus

同時(shí)，還可以發(fā)現(xiàn)嵌套在擬周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間內(nèi)相鄰的多周期運(yùn)動(dòng)之間周期數(shù)存在一個(gè)有趣的現(xiàn)象，相鄰三個(gè)周期運(yùn)動(dòng)中間一個(gè)的周期數(shù)等于第一個(gè)和第三個(gè)周期運(yùn)動(dòng)周期數(shù)之和，當(dāng)Ω=1.807 5，系統(tǒng)處于周期13運(yùn)動(dòng)(圖10(a));而當(dāng)Ω=1.814 8，系統(tǒng)處于周期94運(yùn)動(dòng)(圖10(e))，在這兩個(gè)周期窗口之間，當(dāng) Ω=1.813 6，存在著一個(gè)周期107運(yùn)動(dòng)區(qū)間(圖10(c))，而107=13+94。同時(shí)，系統(tǒng)另外三個(gè)嵌套在擬周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間的多周期窗口也滿足上述規(guī)律，當(dāng)Ω=1.816 8，系統(tǒng)處于周期81運(yùn)動(dòng)(圖10(g));而當(dāng)Ω=1.821，系統(tǒng)處于周期55運(yùn)動(dòng)(圖10(k))，在這兩個(gè)周期窗口之間，當(dāng)Ω=1.818 8，存在著一個(gè)周期136運(yùn)動(dòng)區(qū)間(圖10(i))，而136=81+55。從分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜上還可以發(fā)現(xiàn)，在系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)之后，混沌振動(dòng)區(qū)間內(nèi)依然間或出現(xiàn)了大量的多周期窗口，這種交替出現(xiàn)的混沌、多周期運(yùn)動(dòng)最終導(dǎo)致了超級(jí)混沌運(yùn)動(dòng)的出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜具有［+，+，－，－，－，－］的形式。

圖10 系統(tǒng)的Poincaré映射Fig.10 Poincaré maps

4 結(jié)論

本文結(jié)合Archard和Weber-Banaschek公式分別研究了齒面動(dòng)態(tài)磨損特性和由此引起的輪齒時(shí)變嚙合剛度的動(dòng)態(tài)變化，從而在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中可以引入齒面磨損故障特性。

建立了考慮磨損的三自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的多間隙非線性動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)譜、Poincaré映射和功率譜等定性和定量分析方法對(duì)系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行了研究。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)了多間隙的齒輪動(dòng)力學(xué)模型內(nèi)部所蘊(yùn)含的豐富非線性現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)以倍周期分岔為代表的常規(guī)進(jìn)入混沌的途徑，也發(fā)現(xiàn)了以交替出現(xiàn)的擬周期→鎖相為途徑的非常規(guī)途徑，說(shuō)明了含有磨損故障的多間隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性特性的復(fù)雜性和多樣性。

發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)在擬周期運(yùn)動(dòng)時(shí)功率譜上的不可約頻率分量之間滿足頻率相加法則，也發(fā)現(xiàn)了嵌套在擬周期運(yùn)動(dòng)窗口內(nèi)部的三個(gè)相鄰多周期運(yùn)動(dòng)之間滿足兩邊的周期運(yùn)動(dòng)周期數(shù)之和與中間的周期運(yùn)動(dòng)周期數(shù)相等的規(guī)律。這都表明在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型也滿足非線性系統(tǒng)的諸多普適性規(guī)律。

通過(guò)分岔圖和對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜還可以發(fā)現(xiàn)具有［+，－，－，－，－，－］的混沌振動(dòng)區(qū)間和具有［+，+，－，－，－，－］的超級(jí)混沌振動(dòng)區(qū)間總共大致存在7個(gè)。而一般齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的工作區(qū)間選取在亞臨界和超臨界區(qū)間，本文研究系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)特性隨系統(tǒng)激勵(lì)頻率的變化規(guī)律，能夠?yàn)辇X輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化提供依據(jù)。

本文在考慮齒面磨損對(duì)于動(dòng)力學(xué)方程的影響只是考慮了對(duì)于時(shí)變嚙合剛度的變化幅值的影響，而實(shí)際上齒面磨損可能還會(huì)引起齒側(cè)間隙、齒面誤差激勵(lì)幅值等其它動(dòng)態(tài)特性參數(shù)的變化，為此需要定量的研究齒側(cè)間隙和齒面誤差激勵(lì)等隨磨損的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，今后將進(jìn)行更加深入和系統(tǒng)的研究。

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