拖靶垂向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)的求解

王成軍 李世秋 鄭成軍

(遼寧興城92419部隊(duì) 125106)

拖靶系統(tǒng)是一類特殊的飛行器系統(tǒng)。拖靶系統(tǒng)主要包括拖帶飛機(jī)、拖纜和無動(dòng)力的拖靶。其中拖帶飛機(jī)一般為有人駕駛飛機(jī)，拖纜是一根長度約幾千米而直徑只有幾毫米的鋼纜，拖靶多為外形類似導(dǎo)彈的無動(dòng)力飛行器。拖靶系統(tǒng)的工作特點(diǎn)是用有動(dòng)力的拖帶飛機(jī)，通過拖纜牽引著拖靶飛行。

拖靶系統(tǒng)的應(yīng)用基本上為軍事應(yīng)用，即用拖靶來模擬來襲的導(dǎo)彈類飛行器，以為各種反導(dǎo)彈武器系統(tǒng)提供防御和打擊的目標(biāo)。由于在工作結(jié)束后，如果拖靶未被擊中，則可以通過纏繞拖纜將拖靶收回，所以拖靶可以多次使用，具有很高的性價(jià)比。目前，美英等國家生產(chǎn)和應(yīng)用的拖靶已經(jīng)具有多種型號(hào)并且形成系列。

在拖靶的設(shè)計(jì)中，最關(guān)鍵的是高度控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，而拖靶垂向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)是高度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。我國的拖靶設(shè)計(jì)生產(chǎn)起步較晚，目前很少見關(guān)于拖靶系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面的報(bào)道。

1 拖靶的受力分析

考慮到拖靶實(shí)際供靶飛行中基本上是一個(gè)縱向的等速直線運(yùn)動(dòng)，且滾轉(zhuǎn)角速度為零，則可以把拖靶置身于慣性坐標(biāo)系中，按剛體平面運(yùn)動(dòng)來分析。拖靶受力圖如圖1示。

圖1 拖靶受力分析圖

0－拖靶牽引點(diǎn)，即原點(diǎn)

01－拖靶重心

O2－壓力中心

R－牽繞點(diǎn)到軸線距離

Xcp－壓力中心到原點(diǎn)水平距離

Ycp－壓力中心到原點(diǎn)垂直距離

Xg－重心到原點(diǎn)水平距離

L－升力

D－阻力

T0－牽引點(diǎn)拉力

θ0－拉力相對(duì)來流的傾角

mg－拖靶重量

α－拖靶迎角（攻角）

根據(jù)受力分析，可以看出，拖靶受力的垂向分量（向上為正）包括重力-mg、牽引點(diǎn)拉力的分量TH和升力L，當(dāng)拖靶存在垂向的速度時(shí)（拖靶的垂向速度遠(yuǎn)小于水平速度），垂向上還有阻力D的分量Dy。

2 建立拖靶垂向運(yùn)動(dòng)的微分方程

根據(jù)牛頓第二定律，在垂直方向上可以得到

其中H為拖靶的高度。

在這個(gè)微分方程中，重力mg是不變的。下面計(jì)算其他三個(gè)分量。

2.1 計(jì)算TH

由于拖纜是長度約為幾千米的鋼纜，不能作為一個(gè)剛體來看待，而且拖靶系統(tǒng)是一個(gè)包括飛機(jī)、拖纜和拖靶在內(nèi)的多體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，因此牽引點(diǎn)的拉力計(jì)算十分復(fù)雜。在此，我們根據(jù)小擾動(dòng)假設(shè)，計(jì)算在平衡狀態(tài)附近的張力。首先，可以用靜態(tài)方法計(jì)算出幾個(gè)平衡點(diǎn)附近不同狀態(tài)下的拖纜張力值，然后進(jìn)行線性化處理。方法如下：

設(shè)靶翼角z0＝0時(shí)，即高控系統(tǒng)不工作狀態(tài)下，對(duì)應(yīng)的拖靶飛行高度為H0，

相應(yīng)的，設(shè)H0處拖纜拉力的垂直分量為TH0，

則 TH0＝ mg，

設(shè)HL處拖纜拉力的垂直分量為THL

那么基于線性假設(shè)，對(duì)于靶高H處，拖纜拉力的垂直分量

2.2 計(jì)算升力L

由于拖靶飛行時(shí)的攻角很小，而且拖靶的氣動(dòng)外形基本為上下對(duì)稱，所以靶體和尾翼的升力可以忽略不計(jì)，即拖靶的升力主要來自舵翼。根據(jù)飛行力學(xué)的原理，升力的計(jì)算公式為

2.3 計(jì)算Dy

氣動(dòng)阻力的垂直分量與垂向速度有關(guān)。設(shè)拖靶的水平速度為vx，由于拖靶飛行的靜穩(wěn)定性較大，當(dāng)拖靶具有垂向速度時(shí)，拖靶能夠迅速使迎角變?yōu)榱?，即?duì)垂向速度的阻尼主要來自氣動(dòng)阻力在垂向上的分量。因?yàn)榇瓜蛩俣葹?Hvy˙= ,則速度方向與水平面的夾角為

則有

阻力DqSCD= ，其中CD為拖靶的阻力系數(shù)。

由于在拖靶的超低空飛行階段，拖靶的水平速度Vx是基本恒定的，所以可以認(rèn)為拖靶受到的空氣阻力的垂直分量與垂向速度成正比。

2.4 建立微分方程

將上述的計(jì)算結(jié)果代入到微分方程中，可以得到

在平衡點(diǎn)附近，上面微分方程中的系數(shù)可以認(rèn)為是常數(shù)，這樣就得到了一個(gè)線性化的數(shù)學(xué)模型，從而可以采用經(jīng)典的線性系統(tǒng)理論來進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)。

3 傳遞函數(shù)的確定

對(duì)拖靶的線性化模型采用Laplace變換進(jìn)行處理，即用各個(gè)系數(shù)在拖靶飛行的平衡工作點(diǎn)處的值來近似代替實(shí)際值，然后對(duì)該微分方程進(jìn)行拉氏變換，就可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據(jù)Laplace變換的特性，可以得到

即

即可得到：

從舵翼角z到高度H的傳遞函數(shù)

從零位舵翼角高度H0到高度H的傳遞函數(shù)

4 結(jié)束語

拖靶的垂向運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)是設(shè)計(jì)拖靶高度控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。以拖靶為研究對(duì)象，通過受力分析，得到拖靶的垂向運(yùn)動(dòng)微分方程，再根據(jù)線性系統(tǒng)理論中的小擾動(dòng)假設(shè)，就能夠從靜態(tài)出發(fā)，研究平衡點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)特性。應(yīng)用這種方法，在拖靶的設(shè)計(jì)階段得到的傳遞函數(shù)，為拖靶高度控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了定量分析的手段，對(duì)其設(shè)計(jì)工作意義重大，為分析實(shí)際拖靶的飛行狀態(tài)提供了重要的工具。

[1] 王一飛.TW-1拖靶纜繩張力與形狀參數(shù)的計(jì)算. 南京航空學(xué)院學(xué)報(bào)，1992

[2] 胡壽松.自動(dòng)控制原理. 科學(xué)出版社，2001

[3] 吳森堂.飛行控制系統(tǒng). 北京航空航天大學(xué)出版社，2005

[4] 方振平.航空飛行器飛行動(dòng)力學(xué). 北京航空航天大學(xué)出版社，2005