關(guān)于矩陣方程求解的討論

謝世偉， 張明虎

（石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院a.管理系；b.信息工程系，河北 石家莊 050081）

現(xiàn)行的高等院校教材《高等代數(shù)學(xué)》［1］《高等代數(shù)》［2］《線 性 代 數(shù) 》［3］《工 程 數(shù) 學(xué) 》［4］中，均 有 形 如AX＝B，XA＝B，AXC＝B（A為可逆矩陣）的矩陣方程，但給出解題方法的并不多，特別是對XA＝B和AXC＝B兩種方程均未給出解法，這便存在一個在教學(xué)中如何為學(xué)生解答的問題.我們從適應(yīng)高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)要求的角度出發(fā)，來探討這些形式的矩陣方程的解法，特別是只用初等變換（簡稱行變換）的求解方法，以便于學(xué)生理解和掌握.

1 矩陣方程AX＝B的解X＝A－1 B的求法

方法1：先求出矩陣A的逆矩陣A－1，由即可求得A－1（E 為單位矩陣），然后計算矩陣乘法A－1B，得出結(jié)果X＝A－1B.

2 矩陣方程XA＝B的解X＝BA－1的求法

方法1：先求出A－1，然后計算BA－1，得出結(jié)果X＝BA－1.

例1 解矩陣方程

解以上矩陣方程為XA＝B的形式，用方法2解答，解題過程如下：

在解題過程中的具體列變換過程如下：（1）做C1－2C2，然后做C3＋C2；（2）做C1＊1／3，然后做C2－C3；（3）做C2＋C1；（4）做C1與C2位置互換，再做C2與C3位置互換.其中，C1，C2，C3分別代表矩陣的第一列、第二列和第三列.

方法3（行變換法）：這種方法的基本原理是，X＝BA－1，則XT＝［A－1］TBT＝［AT］－1BT，據(jù)此可先求出XT，再寫出X＝［XT］T＝BA－1，即由［AT｜BT］得到XT＝［A－1］TBT，進(jìn)而得到結(jié)果X＝BA－1.

用方法3解例1矩陣方程的過程如下：

3 方程AXC＝B的解X＝A－1 BC－1的求解方法

方法1：先分別求出A－1，C－1，然后得到 X＝A－1BC－1.

例2 解矩陣方程：

解用方法3的求解過程如下：

視方程為AXC＝B，

在解題過程中，每一步具體行變換為：（1）做r2－2r1，再做r3－3r1；（2）做r2－r3；（3）做r1－2r2，再做r3＋4r2；（4）做r1－r3.其中，r1，r2，r3分別代表矩陣的第一行、第二行和第三行.

4 分析與說明

（1）求解矩陣方程AX＝B，可看作是同時對線性方程組AX＝b1，AX＝b2，…，AX＝bn求解，B＝［b1，b2，…，bn］，bi為列矩陣（i＝1，2，…，n，下略），A為可逆矩陣.反之，一個線性方程組AX＝bi可以看作矩陣方程AX＝B中B＝bi的特例.

（2）由（1）決定了用初等行變換求解AX＝bi與AX＝B在原理上的同一和解法上的類似.

原理：①A－1［A＋E］＝A－1A＋A－1E＝E＋A－1，

據(jù)原理①，先求A－1，然后求X＝A－1bi或X＝A－1B；

（3）我們使用的教材大都略去了原理②及做法，因為AX＝bi可以看作B＝bi的特例.但從認(rèn)識規(guī)律（從個別到一般）以及AX＝bi與AX＝B的關(guān)系上說，原理②及作法應(yīng)保留且先給出.另外，ˉA＝［A｜bi］的使用是討論非齊次線性方程組AX＝b的解的預(yù)演，是AX＝b只有唯一解的特殊情形.

（4）矩陣方程AX＝B可以看作XTAT＝BT，亦即XA＝B形態(tài)的方程.反之，XA＝B也可以看作ATXT＝BT，亦即AX＝B形態(tài)的方程.這是用行變換求解形如XA＝B方程的根本原理.由此可知，上述的用行變換求解XA＝B的方法的實質(zhì)是用行變換求出ATXT＝BT的解XT，進(jìn)而得到原題的解X.

以上所談解題方法及例題的解答過程（要求）是否合理，是否符合高職高專教學(xué)實際，是否存在觀點和科學(xué)性錯誤，還需要相關(guān)專家的指導(dǎo)和在教學(xué)實踐中加以驗證.

［1］姚慕生.高等代數(shù)學(xué) ［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003：73.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù) ［M］.北京：高等教育出版社，2005：202.

［3］石有印，胡長春.線性代數(shù) ［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，2010：52.

［4］石寧，高惠，王敏.工程數(shù)學(xué) ［M］.北京：中國水利水電出版社，2010：31－32.