曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)*

邢家省，王擁軍

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)*

邢家省，王擁軍

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

考慮曲面上法曲率最值和最值切方向的直接求法問(wèn)題，給出了直接的導(dǎo)出方法，得到最值和最值切向量的特征值、特征向量的性質(zhì)和2最值切向量的正交共軛性質(zhì).

法曲率的最值;最值切方向;特征值;特征向量;共軛正交方向;法曲率的歐拉公式

對(duì)曲面上法曲率最值的研究，一般是通過(guò)曲面上的正交和共扼的2切方向［1］或考察Weingarten變換的特征值和特征向量［2-3］，再運(yùn)用法曲率的歐拉公式證明法曲率的最大值和最小值的存在性及求法，進(jìn)而引入高斯曲率和平均曲率及其計(jì)算公式［1-3］.

在文獻(xiàn)［4-8］相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)法曲率的最值和最值切向量問(wèn)題給出直接的求法，并由此出發(fā)給出2最值切向量的正交性和共軛性，給出最值和最值切向量的特征值、特征向量的性質(zhì).

1 法曲率的最值和最值方向的直接求法

在曲面Σ:r=r(u，v)上一點(diǎn)P處，沿切方向(d)=du:dv上的法曲率kn為［1－3］

設(shè)n是曲面Σ在P點(diǎn)的法向量，采用文獻(xiàn)［1－6］中的常用記號(hào).考慮法曲率kn的最大值、最小值的直接求法問(wèn)題.

這樣一來(lái)，關(guān)于法曲率的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次分式的最值問(wèn)題.

將(2)式化為一元二次方程Lλ2+2Mλ+N－kn(Eλ2+2Fλ+G)=0，即(L－knE)λ2+2(M－knF)λ+N－knG=0，它關(guān)于λ的一元二次方程有實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)

設(shè)k1，k2(k1≤k2)是一元二次方程的2個(gè)根，由二次函數(shù)的理論，則有不等式(3)的解集為k1≤kn≤k2.

根據(jù)一元二次方程的韋達(dá)定理，可得到高斯曲率和平均曲率的計(jì)算公式.

方程(4)式的判別式為

故當(dāng)且僅當(dāng)NE－LG=ME－LF=0時(shí)，判別式為0，即

曲面上滿足(5)式的點(diǎn)稱為臍點(diǎn)，否則稱為非臍點(diǎn).

在一個(gè)非臍點(diǎn)處，判別式Δ＞0，方程(4)總有2個(gè)不相等的實(shí)根，曲面在這一點(diǎn)總有2個(gè)不相等的法曲率，且分別是法曲率的最大值和最小值.

在臍點(diǎn)，若令L=cE，M=cF，N=cG，則任意方向的法曲率kn=c(常數(shù))，而方程(4)變?yōu)?kn－c)2=0，但這個(gè)關(guān)系無(wú)非表示任意方向的法曲率相等.

2 法曲率最值和最值方向的直接求法及最值方向的正交和共軛性

利用k1，k2(k1≤k2)是方程(4)的2個(gè)根，給出其為法曲率的最值的另一種直接方法［4］.

由于

因此可知:若L－k1E≥0，則有kn(du，dv)≥k1，若L－k1E＜0，則有kn(du，dv)≤k1;同理，若L－k2E＞0，則有kn(du，dv)≥k2，若L－k2E≤0，則有kn(du，dv)≤k2，而k1≤k2.從而，有k1≤kn(du，dv)≤k2.

.進(jìn)而，在非臍點(diǎn)處，有

在非臍點(diǎn)處，(8)式的解給出曲面上的2族曲線，曲線上的切方向使法曲率達(dá)到最值.

這正是曲面上2方向du∶dv(dr=rudu+rvdv)和δu∶δv(δr=ruδu+rvδv)正交的充要條件dr·δr=0.

這正是曲面上2個(gè)方向du∶dv(dr=rudu+rvdv)和δu∶δv(δr=ruδu+rvδv)在曲面上共軛的充要條件dn·δr=0，其中dn=nudu+nvdv.

于是，在非臍點(diǎn)處，由方程(8)的2個(gè)根所確定的切方向du∶dv和δu∶δv是互相正交和共軛的.

反過(guò)來(lái)，由2切方向的正交和共軛條件，也可以推導(dǎo)出方程(8)［1，7］.

綜上所述，得到如下結(jié)果:

定理2在曲面上的非臍點(diǎn)處，曲面上存在2個(gè)切方向使得法曲率分別取到最大值和最小值，并且這2個(gè)切方向必是曲面上正交且共軛的2切方向.法曲率的最值和最值方向分別由方程(4)和(8)的根所確定.

在曲面上的臍點(diǎn)處，曲面上各切方向的法曲率相等，曲面上正交的2切方向也是曲面上的共軛的2切方向.

定理3曲面上存在正交且共軛的2個(gè)切方向，使得法曲率分別達(dá)到最大值和最小值.

為求出最值方向滿足的方程，文獻(xiàn)［4］中導(dǎo)出(8)式的計(jì)算量較大，現(xiàn)給出如下幾種簡(jiǎn)便辦法.

將(9)式化簡(jiǎn)，也可以得到(8)式.

得到使法曲率取到最值的方向du∶dv滿足方程

方程(10)的判別式為

在一個(gè)非臍點(diǎn)，判別式Δ＞0，方程(10)總有2個(gè)不相等的實(shí)根，曲面在這一點(diǎn)總有2個(gè)不相同的方向，法曲率在這2個(gè)方向分別達(dá)到最大值和最小值.在臍點(diǎn)處，方程(10)變成恒等式，即任意方向上的法曲率相等.

從方程(10)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到如下結(jié)果:

定理4［7］曲面在非臍點(diǎn)處，法曲率的最值方向du∶dv是方程(10)的根.

由方程(10)的2個(gè)解所確定的切方向du∶dv和δu∶δv，其上的法曲率值分別是法曲率的最大值和最小值，并且2個(gè)切方向dr=rudu+rvdv與δr=ruδu+rvδv互相正交且共軛.

3 法曲率最值和最值方向的特征值及特征向量性質(zhì)

由(6)式可知，最值方向滿足

因?yàn)榉匠探M(11)，(12)有非零解，所以

將(13)式展開，得到最值的方向du∶dv滿足方程

將(11)，(12)式寫為矩陣形式，得

因此k1，k2必滿足特征方程|kI－A－1B|=0，|B－kA|=0，

已經(jīng)知道特征方程(14)只有2個(gè)不相等的實(shí)根，或者只有2個(gè)相等的實(shí)重根［1－3］.

綜合以上推導(dǎo)可得，若特征方程(14)有2個(gè)不相等的實(shí)根k1，k2，設(shè)k1＜k2，則k2是法曲率的最大值，k1是法曲率的最小值.若特征方程只有2個(gè)相等的實(shí)重根k1，k2，k1=k2，則法曲率為常值.

定理5法曲率的最值和最值方向分別是矩陣A－1B的特征值及特征向量;矩陣A－1B的特征值及特征向量分別是法曲率的最值和最值方向.

因?yàn)榉ㄇ实淖钪敌≈祂1和最大值k2是特征方程|λI－A－1B|=0的2個(gè)根，所以

于是高斯曲率

平均曲率

于是dr·δr=0，dn·δr=0，其中dn=nudu+nvdv，即dr，δr是曲面上互相正交且共扼的切方向.

曲面在臍點(diǎn)處，任何切方向的法曲率等于常數(shù)，自然存在2個(gè)切方向互相正交且共軛.

定理6曲面在非臍點(diǎn)處，使法曲率分別達(dá)到最大值和最小值的2切方向互相正交且共軛;曲面上存在正交且共軛的2個(gè)切方向，使得法曲率達(dá)到最大值和最小值.

由(11)，(12)式，可得

由(15)和(16)式，可得－(nudu+nvdv)=ki(rudu+rvdv)，即得dn=－kidr.

2個(gè)切方向dr=rudu+rvdv與δr=ruδu+rvδv互相正交且共軛，即dr·δr=0，dn·δr=0，其中dn=nudu+nvdv.

因?yàn)閐n在切平面上，所以有dn//dr，進(jìn)而導(dǎo)出羅德里格斯定理［1－3］和Weingarten變換的引入［2－3］.

對(duì)矩陣A－1B的特征值和特征向量的考察，由此導(dǎo)出引入Weingarten變換與考察Weingarten變換的特征值和特征向量的問(wèn)題［2，3］.

4 法曲率的Euler公式的條件及證明方法

定理7［2－3，6，8］設(shè)dr=rudu+rvdv和δr=ruδu+rvδv是曲面上正交且共軛的2單位切方向，2方向上的法曲率分別為k1，k2，曲面上一單位切方向v與dr的夾角記為θ，kn為切方向v的法曲率，則有kn=k1cos2θ+k2sin2θ，這個(gè)公式稱為法曲率的Euler公式.

證明 由于dr=rudu+rvdv與δr=ruδu+rvδv正交且共扼，由條件可知

利用法曲率的Euler公式，即得曲面上正交且共軛的2切方向是法曲率的最值方向，其上的法曲率就是法曲率的最值［2－6］.

［1］ 梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.第4版.北京:高等教育出版社出版，2008:87-105.

［2］ 陳維桓.微分幾何［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2006:139-143;229-241.

［3］ 彭家貴，陳 卿.微分幾何［M］.北京:高等教育出版社，2002:43-47;110-117.

［4］ 華羅庚，著.高等數(shù)學(xué)引論(第2冊(cè))［M］.王 元，校.北京:科學(xué)出版社，2009:284-311.

［5］ 馬 力.簡(jiǎn)明微分幾何［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004:27-38.

［6］ 王幼寧，劉繼志.微分幾何講義［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2003:113-127.

［7］ 邢家省.法曲率最值的直接求法［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，33(4):11-15.

［8］ 朱曉英.歐拉公式的再推導(dǎo)［J］.無(wú)錫教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，20(3):67-71.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

Properties of Extreme Value and Extreme Value Tangent Vector of Normal Curvature on Surface

XING Jia-sheng，WANG Yong-jun
(Department of Mathematics，LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China)

The direct method of finding the extreme value of normal curvature and the extreme value vector are considered.A direct derivation method is proposed，and its properties as matrix characteristic value and characteristic vector are obtained.

extreme value of normal curvature;extreme value tangent vector;characteristic value;characteristic vector;conjugate and orthogonal tangent vector;Euler’s formula of normal curvature

O186.11

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.01.002

1007-2985(2013)01-0006-05

2012-09-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171013)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽(yáng)人，北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何研究.