Clifford分析中Isotonic函數(shù)向量的一類線性邊值問題＊

鄢盛勇

（成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川成都 611130）

Clifford分析中Isotonic函數(shù)向量的一類線性邊值問題＊

鄢盛勇

（成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川成都 611130）

研究了Clifford分析中Isotonic函數(shù)向量的一類帶位移、帶共軛的線性邊值問題.通過設(shè)計積分算子將邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程，借助積分方程理論和不動點(diǎn)原理證明了問題解的存在性，并給出解的積分表達(dá)式.

Clifford分析；Isotonic函數(shù)向量；線性邊值問題

Clifford分析是近代分析的重要分支，它有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值，如在Maxwell方程、Yang－Mill場理論以及量子力學(xué)等方面都應(yīng)用了它的一些結(jié)論［1］.文獻(xiàn)［2－7］利用Plemelj公式解決了高維空間中某些邊值問題.文獻(xiàn)［8－12］研究了定義于R2m中子區(qū)域而取值于復(fù)Clifford代數(shù)Cm且滿足＋＝0的Isotonic函數(shù)，得到其柯西積分公式、Plemelj公式，并建立其與多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)、Hermitean單演函數(shù)、雙正則函數(shù)的緊密聯(lián)系.文獻(xiàn)［12］還解決了Isotonic函數(shù)的線性邊值問題.在此基礎(chǔ)上，筆者討論了Isotonic函數(shù)向量的一類帶位移帶共軛的線性邊值問題

其中α（x）是?Ω到自身的同構(gòu)映射，證明了其解的存在唯一性，并給出解的積分表達(dá)式.

1 預(yù)備知識與記號

2 Isotonic函數(shù)與Isotonic柯西型積分

3 問題的的解法

Ω，?Ω如前所述，A（x），B（x），C（x），D（x）∈Hβ（?Ω，Cm）為給定的p維函數(shù)向量，α（x）為?Ω上的Haseman位移［13］，現(xiàn)要找在Ω±內(nèi)Isotonic的，在上連續(xù)，且滿足邊界條件（1）和Φ－（∞）＝0的p維函數(shù)向量Φ（x）.稱此邊值問題為問題LR.

首先將此邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程.將（2），（3）式代入（1）式，得

這樣求解邊值問題LR轉(zhuǎn)化為了求解積分方程組（4）.

定理3 對任意函數(shù)g∈（?Ω，C2m），有

其中Bδ（x）表示中心在x且半徑為δ的超球.當(dāng)y∈?Ω＼B2δ（x）時，有2δ≤｜y－x｜≤｜y－z｜＋δ，故｜z－y｜≥δ，｜y－x｜≤2｜z－y｜，｜z－y｜－1≤2｜y－x｜－1，從而有

所以當(dāng)γ＜1時，算子Q是Hβ（?Ω，Cm）到自身的壓縮映射.由不動點(diǎn)定理可知，存在唯一一個屬于Hβ（?Ω，Cm）的p維函數(shù)向量F0滿足奇異積分方程（4），因此問題LR存在唯一的解Φ（x）（如（5）式所示），顯然滿足Φ－（∞）＝0.由文獻(xiàn)［11］知Φ（x）的每一個分量函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，從而Φ（x）在內(nèi)連續(xù).

［1］ BRACKX F，DELANGHE R，SOMMEN F.Clifford Analysis［M］.Pitman，London：Res.Notes Math.，1982：76.

［2］ HUANG Sha.Nonlinear Boundary Value Problem for Biregular Functions in Clifford Analysis［J］.Science in China Ser.A，1996，39（3）：1 152－1 164.

［3］ QIAO Yu－ying.A Boundary Value Problem for Hypermonogenic Functions in Clifford Analysis［J］.Science in China Ser.A.Mathematics，2005，48：324－332.

［4］ 謝永紅，楊賀菊.Clifford分析中無界域上向量值函數(shù)的非線性邊值問題［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2010，25（2）：163－171.

［5］ 鄢盛勇.四元數(shù)分析中一類帶共軛帶位移的邊值問題［J］.廣西民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，17（3）：49－53.

［6］ 鄢盛勇.Clifford分析中無界域上正則函數(shù)的非線性邊值問題［J］.懷化學(xué)院學(xué)報，2011，30（5）：1－4.

［7］ 鄢盛勇.四元數(shù)分析中正則函數(shù)的非線性帶位移邊值問題［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（4）：475－482.

［9］ ABREU－BLAYA R，BORY－REYES J.A Martinelli－Bochner Formula on Fractal Domains［J］.Arch.Math.，2009，92：335－343.

［10］ ABREU－BLAYA R，BORY－REYES J，D，et al.A Holomorphic Extension Theorems Using Clifford A nalysis［J］.Complex Anal.Oper.Theory，2011，5：113－130.

［11］ 庫 敏，杜金元，王道順.Clifford分析中Isotonic柯西型積分的邊界性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，54（2）：177－186.

［12］ 李 婧.復(fù)Clifford分析中Isotonic函數(shù)的性質(zhì)及其邊值問題［D］.石家莊：河北師范大學(xué)，2010.

［13］ 路見可.解析函數(shù)邊值問題教程［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

A Class of Linear Boundary Value Problem for Isotonic Functional Vector in Clifford Analysis

YAN Sheng－yong
（Department of Mathematics，Chengdu Normal University，Chengdu 611130，China）

This paper discusses a class of linear boundary value problem with conjugate value and a kind of shift for isotonic functional vector in Clifford analysis.Firstly，the author gives some integral operators and tansform the problem into an integral equation problem.Applying the integral equation method and Schauder fixed－point theorem，the author proves the existence of the solution for the problem，and gives the integral representation of solution.

Clifford analysis；isotonic functional vector；linear boundary value problem

O175.5

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.02.002

1007－2985（2013）02－0007－05

2012－12－02

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)資助項目（212147）

鄢盛勇（1975－），男，四川井研人，成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，碩士，主要從事函數(shù)論與偏微分方程的邊值問題研究.