基于模態(tài)綜合和移頻方法的中頻段模態(tài)計算

李興泉，鄧兆祥，李英強(qiáng)，章竟成，王騰騰

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶 400030;2.汽車噪聲振動和安全技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶 400039;3.重慶長安鈴木汽車有限公司，重慶 401321)

固定界面模態(tài)綜合方法將復(fù)雜結(jié)構(gòu)劃分為若干個子結(jié)構(gòu)，采用各子結(jié)構(gòu)的靜力模態(tài)和低階主模態(tài)對該子結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階變換，再將各子結(jié)構(gòu)降階矩陣綜合成系統(tǒng)降階動力學(xué)方程，即可求解系統(tǒng)低階動態(tài)特性［1-2］。相對于傳統(tǒng)有限元方法，模態(tài)綜合方法僅保留少數(shù)低階子結(jié)構(gòu)主模［3］，因此，其構(gòu)建的系統(tǒng)動力學(xué)方程階數(shù)較低，更適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的低頻動態(tài)特性計算。但對于劃分成多個子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，其界面自由度多，這影響了系統(tǒng)動力學(xué)方程的求解效率。為了進(jìn)一步降低界面自由度的數(shù)量，部分文獻(xiàn)采用特征約束模態(tài)進(jìn)行界面自由度降階，即基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法［4-6］該方法減少了系統(tǒng)方程中的界面自由度數(shù)，提高了模態(tài)綜合方法計算效率。但在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計問題中，常常只需要計算某頻段處的振動特性。文獻(xiàn)［3］研究表明，各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對較高頻率的系統(tǒng)模態(tài)有重要影響，這說明即使只需要計算系統(tǒng)中頻段模態(tài)，也要保留各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)，這使中頻段模態(tài)的計算效率不高。在傳統(tǒng)有限元方法計算系統(tǒng)中頻模態(tài)時，可以采用移頻方法來提高結(jié)構(gòu)振動特性的計算效率［7-8］。SHYU 等［9-10］采用該移頻方法來計算靜力模態(tài)，提出了準(zhǔn)靜力模態(tài)方法，該準(zhǔn)靜力模態(tài)考慮結(jié)構(gòu)慣性質(zhì)量的影響，提高了模態(tài)綜合的求解精度，但文中仍然采用原來的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，這導(dǎo)致經(jīng)過坐標(biāo)變換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣不解耦，影響了模態(tài)綜合的計算效率。文獻(xiàn)［3］在此基礎(chǔ)上采用移頻后的剛度矩陣計算子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，這使坐標(biāo)變換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣實(shí)現(xiàn)了解耦，文中還研究表明:采用移頻方法后，子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對系統(tǒng)中頻段模態(tài)的影響較小，因此低階的主模態(tài)可以截斷，這提高了系統(tǒng)中頻模態(tài)的計算效率。但在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段振動特性計算中，界面自由度多，此時系統(tǒng)界面自由度對應(yīng)的特征約束模態(tài)的截斷問題也顯得相當(dāng)重要，如何減少特征約束模態(tài)的數(shù)量，以進(jìn)一步提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動特性的計算效率，未見相關(guān)文獻(xiàn)報道。本文推導(dǎo)了低階特征約束模態(tài)對系統(tǒng)中頻模態(tài)的影響，并采用移頻技術(shù)來解決了低階特征約束模態(tài)的截斷問題，提高了模態(tài)綜合方法對復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段特性計算的效率。

1 特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法

本文是研究采用特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時，低階特征約束模態(tài)的截斷問題，因此，首先對該模態(tài)綜合方法進(jìn)行簡單介紹。

基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法，是在固定界面模態(tài)綜合方法的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)質(zhì)量和剛度矩陣中界面自由度對應(yīng)的部分進(jìn)行特征分解及降階變換，再由降階后的界面矩陣組集成系統(tǒng)降階動力學(xué)方程，從而求解系統(tǒng)低階振動特性。假設(shè)固定界面模態(tài)綜合方法計算的廣義坐標(biāo)下無阻尼系統(tǒng)動力學(xué)方程為［1-2］:

式中:下標(biāo)O和T分別為所有主模態(tài)對應(yīng)的自由度標(biāo)號和界面自由度標(biāo)號，MOO、KOO分別為所有子結(jié)構(gòu)主模態(tài)對應(yīng)的系統(tǒng)降階質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，MTT、KTT分別為所有界面自由度對應(yīng)的系統(tǒng)界面質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，Q表示系統(tǒng)模態(tài)坐標(biāo)。

由于各子結(jié)構(gòu)只取少數(shù)低階主模態(tài)，這使主模態(tài)對應(yīng)的矩陣MOO和KOO的維數(shù)遠(yuǎn)小于所有子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度之和，則式(1)所示的降階系統(tǒng)動力學(xué)方程的維數(shù)遠(yuǎn)小于有限元模型的自由度數(shù)，系統(tǒng)低頻振動特性計算更容易，這是模態(tài)綜合方法更適合于復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動特性計算的原因。

但在式(1)中，系統(tǒng)界面質(zhì)量矩陣MTT和剛度矩陣KTT的維數(shù)仍然等于結(jié)構(gòu)的界面自由度，對于劃分成多個子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，界面自由度多，界面質(zhì)量和剛度矩陣的維數(shù)仍然較大，這影響了由式(1)計算系統(tǒng)低頻振動特性的計算效率。

針對系統(tǒng)界面矩陣維數(shù)較大的問題，文獻(xiàn)［4］等提出了采用特征約束模態(tài)來對系統(tǒng)界面矩陣進(jìn)行降階的方法，以提高模態(tài)綜合的計算效率。該方法的基本原理為:界面質(zhì)量矩陣MTT和剛度矩陣KTT是將結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度靜力聚縮到界面自由度上的矩陣。對于結(jié)構(gòu)的低頻特性計算問題，可以只取表征結(jié)構(gòu)中低頻振動特性的模態(tài)來對質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行降階，以減小振動特性的計算量。為此，先對式(1)中的界面矩陣進(jìn)行特征分解:

式中，λc為特征值，Θc稱為特征約束模態(tài)［4］，取前m階特征約束模態(tài)Θcm(m＜T)，并對界面矩陣進(jìn)行降階坐標(biāo)變換:

式中變換后，Kcm和Mcm都是m維的方陣，遠(yuǎn)小于界面自由度數(shù)T。對式(1)中矩陣副對角元素進(jìn)行相應(yīng)變換，即可重新構(gòu)成系統(tǒng)降階動力學(xué)方程:

求解該方程并進(jìn)行振型回代，即可得到系統(tǒng)中低頻模態(tài)頻率，這就是基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法。相對于式(1)，式(4)所示的系統(tǒng)動力學(xué)方程的界面對應(yīng)的自由度大為減小，提高了復(fù)雜結(jié)構(gòu)低頻動態(tài)特性計算的效率。

2 低階特征約束模態(tài)的影響

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動設(shè)計中，通常只關(guān)心某一中頻段的振動特性。采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計算中頻段模態(tài)時，保留了所有的中低頻主模態(tài)和特征約束模態(tài)，這影響了復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)的計算效率。文獻(xiàn)［3］研究了子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)對系統(tǒng)中頻模態(tài)有重要影響，并采用了移頻技術(shù)來對低頻主模態(tài)進(jìn)行截斷。但對于特征約束模態(tài)與系統(tǒng)中頻段模態(tài)的關(guān)系，以及低階特征約束模態(tài)的截斷問題未見相關(guān)報道，下面將對這些問題展開研究。

首先研究基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法中，低階特征約束模態(tài)對中頻段模態(tài)的影響。為此，將式(3)中所選取的特征約束模態(tài)Θcm分為需要保留的特征約束模態(tài)Θcma和準(zhǔn)備截掉的模態(tài)Θcmb兩部分。由這兩部分特征約束模態(tài)重新進(jìn)行變換，則變換后式(4)所示的系統(tǒng)降階方程可以重新寫為:

式中，Mcma、Mcmb分別為特征約束模態(tài)Θcma和Θcmb對應(yīng)系統(tǒng)降階界面質(zhì)量矩陣，系統(tǒng)界面剛度矩陣的相應(yīng)部分的意義相同。對上式的第三行展開，則模態(tài)坐標(biāo)Qmb可表示為:

以上分析表明，當(dāng)需要計算系統(tǒng)中頻段模態(tài)時，低階特征約束模態(tài)不能夠截斷，這使采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時計算效率不高。

3 移頻及低階特征約束模態(tài)截斷

在傳統(tǒng)有限元方法計算系統(tǒng)中頻模態(tài)時，可以采用移頻方法來提高結(jié)構(gòu)振動特性的計算效率［7-8］。SHYU等［9-10］將該移頻方法應(yīng)用到了固定界面模態(tài)綜合方法上，提出了準(zhǔn)靜力模態(tài)方法，但子結(jié)構(gòu)矩陣坐標(biāo)變換時仍然采用移頻前的主模態(tài)，這使變換后的剛度矩陣不解耦，系統(tǒng)特性計算效率仍然不夠高。文獻(xiàn)［3］進(jìn)一步采用移頻后的剛度矩陣計算了子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，并對低階主模態(tài)進(jìn)行截斷。但在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段振動特性計算中，界面自由度多，此時系統(tǒng)界面自由度對應(yīng)的特征約束模態(tài)的截斷問題也顯得相當(dāng)重要，如何減少特征約束模態(tài)的數(shù)量，以進(jìn)一步提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動特性的計算效率，未見相關(guān)文獻(xiàn)報道。下面將采用移頻方法，對低階特征約束模態(tài)的截斷問題進(jìn)行研究。

假設(shè)需要計算結(jié)構(gòu)某中頻段內(nèi)的模態(tài)，該頻段內(nèi)系統(tǒng)本身的圓頻率為ω，該頻段的中心圓頻率為ω0。根據(jù)傳統(tǒng)有限元計算中移頻方法的基本思想，對子結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程進(jìn)行移頻處理:

式中:x表示子結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)，k和m為子結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)下的剛度和質(zhì)量矩陣。為移頻后的系統(tǒng)模態(tài)圓頻率，其表達(dá)式為:

式中，下標(biāo)i和j分別為內(nèi)部自由度和界面自由度標(biāo)號，mii為子結(jié)構(gòu)所有內(nèi)部自由度對應(yīng)的質(zhì)量矩陣，其它矩陣的意義類似。

移頻之后，子結(jié)構(gòu)的靜力模態(tài)變?yōu)?

準(zhǔn)靜力模態(tài)中考慮慣性質(zhì)量的影響，提高了系統(tǒng)模態(tài)的計算精度。但在子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中如果仍然采用移頻前的主模態(tài)，將會使坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣不解耦，這將影響系統(tǒng)模態(tài)的計算量［9］。因此，需要對子結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣中的內(nèi)部自由度對應(yīng)的部分重新計算主模態(tài)，即求解如下特征方程。

式中:λ為子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的特征值，φ為子結(jié)構(gòu)主模態(tài)。取子結(jié)構(gòu)的前k階主模態(tài)構(gòu)成向量矩陣:

由移頻后的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和準(zhǔn)靜力模態(tài)，即可構(gòu)成子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為:

由該移頻后的坐標(biāo)變換矩陣，就可以對子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行變換，如對剛度矩陣的變換過程為:

式中，轉(zhuǎn)換后的剛度矩陣的對角元素的表達(dá)式為:

式(15)表明，移頻后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣經(jīng)過坐標(biāo)變換后，對角元素為0，即剛度矩陣實(shí)現(xiàn)了解耦，這使后面模態(tài)綜合的計算效率較高。

由各子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)變換后的質(zhì)量和剛度矩陣，按基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法構(gòu)建系統(tǒng)降階動力學(xué)方程。則(5)式所示的系統(tǒng)動力學(xué)方程可以重新表示為:

式(16)中，同樣將前m階特征約束模態(tài)對應(yīng)的系統(tǒng)界面自由度分為保留的部分a和準(zhǔn)備截掉的部分b，以研究移頻后各特征約束模態(tài)的貢獻(xiàn)。

將式(16)的第三行展開，并將式(17)代入，則式(6)可重新寫為:

以上推導(dǎo)表明，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段模態(tài)計算問題，采用移頻技術(shù)后，低階特征約束模態(tài)都可以截斷，需要保留的高階特征約束模態(tài)也更少。相對于不采用移頻方法，參與計算的特征約束模態(tài)數(shù)減小，提高了模態(tài)綜合方法對中頻段問題的計算效率。

4 算法驗證

圖1所示的白車身有限元模型中，采用網(wǎng)格尺寸為20 mm的殼單元來建立個板件有限元模型，并采用梁單元來模擬焊點(diǎn)。共有201 231個節(jié)點(diǎn)，138 032個單元，其中包括117 539個四邊形單元，14 951個三角形單元和5 542個梁單元。各板件的厚度及材料參數(shù)均由廠家提供。

圖1 白車身有限元模型Fig.1 Prototype vehicle mode

在車身上發(fā)動機(jī)右安裝點(diǎn)處施加一單位激勵，頻率為0～400 Hz，采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計算車身0～400 Hz頻率范圍內(nèi)的模態(tài)，并采用模態(tài)疊加法計算了駕駛員座椅處地板上的振動加速度。在160～190 Hz的中頻段上，該點(diǎn)Z方向的振動加速度響應(yīng)曲線有明顯的峰值。本文采用移頻方法，來計算該中頻段內(nèi)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性，以驗證移頻方法對提高復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動響應(yīng)特性計算效率的有效性。在計算過程中采用NASTRAN軟件的DMAP語言編寫求解序列，并在一臺雙核2G內(nèi)存的計算機(jī)上進(jìn)行計算。

在160～190 Hz的中頻段上，其中心頻率為ω0=175 Hz。以該中心頻率對子結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程進(jìn)行移頻處理，并對移頻后的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和特征約束模態(tài)進(jìn)行截斷。表1列出了是否采用移頻方法時，特征約束模態(tài)、子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)截斷的頻率及保留的模態(tài)數(shù)。

表1 模態(tài)頻率范圍及階數(shù)對比Tab.1 Modal frequency range and modal numbers comparison

表1中，fcc、fi、fs分別表示特征約束模態(tài)、主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)保留的頻率范圍，Ncc、Ni、Ns表示各模態(tài)在其頻率范圍內(nèi)保留的模態(tài)階數(shù)。

在表1中，第一行表示未采用移頻方法的基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法的計算結(jié)果。按照模態(tài)疊加方法的原理，要計算最高頻率到190 Hz的響應(yīng)加速度，需要2倍以上的系統(tǒng)模態(tài)來進(jìn)行疊加，因此取系統(tǒng)模態(tài)為400 Hz。在基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法中，需要保留系統(tǒng)最高計算頻率的2倍頻率范圍內(nèi)的主模態(tài)和2.5倍頻率范圍內(nèi)的特征約束模態(tài)［5］，因此保留了子結(jié)構(gòu)0～800 Hz以內(nèi)的主模態(tài)和0～1 000 Hz以內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài)。

表1的第二行表示采用移頻方法后的計算結(jié)果。在采用移頻方法計算的各階模態(tài)中，相當(dāng)于考慮了關(guān)心頻段的中心頻率175 Hz處的慣性質(zhì)量的影響，因此，可以取較窄頻段內(nèi)的模態(tài)來進(jìn)行振動響應(yīng)的計算。文獻(xiàn)［3］中推薦保留關(guān)心頻段寬度的2倍頻帶范圍內(nèi)的主模態(tài)來進(jìn)行模態(tài)綜合計算。本文需要計算160～190 Hz頻段范圍內(nèi)的振動響應(yīng)，則保留該頻帶寬度的2倍頻段內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài)，即保留130～220 Hz范圍內(nèi)的系統(tǒng)模態(tài);相應(yīng)地，取2倍系統(tǒng)模態(tài)頻段寬度，即85～265Hz內(nèi)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和特征約束模態(tài)來進(jìn)行振動特性的計算。

由表1可見，采用移頻方法后的計算結(jié)果中(第二行)，需要保留的特征約束模態(tài)頻率范圍fcc，由移頻前的0～100 Hz減小到80～270 Hz，保留的特征約束模態(tài)數(shù)Ncc由1134階減少到了179階。說明采用移頻方法后實(shí)現(xiàn)了低階特征約束模態(tài)的截斷，也保留了更少的高階模態(tài)數(shù)，這與移頻方法的理論推導(dǎo)結(jié)果一致。同時，采用移頻方法后，保留的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)頻率范圍fi和系統(tǒng)模態(tài)頻率范圍fs，以及它們對應(yīng)的模態(tài)數(shù)Ni和Ns，也都相應(yīng)地減小。說明采用移頻方法后，提高了模態(tài)綜合方法的計算效率。

采用移頻方法后，駕駛員座椅處地板上的振動加速度響應(yīng)如圖2所示。

圖2 振動加速度響應(yīng)對比Fig.2 acceleration computation error comparison

在圖2中，實(shí)線為基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計算的加速度響應(yīng)，虛線為采用移頻方法后的模態(tài)綜合方法的加速度響應(yīng)。由圖可見，在160～190 Hz的關(guān)心頻段范圍內(nèi)，振動加速度響應(yīng)具有較高的計算精度，離中心頻率175 Hz越遠(yuǎn)，響應(yīng)的計算精度逐漸變差。

在中頻段振動特性的計算時間上，采用基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法計算時需要44分鐘，采用移頻方法后僅需要24分鐘。這是因為采用移頻方法后，由于保留的特征約束模態(tài)、子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)的頻率帶寬度都較窄(如表1中第二行所示)，這減小了系統(tǒng)動力學(xué)方程的維數(shù)，提高結(jié)構(gòu)中頻段振動響應(yīng)的計算效率。

由以上分析可見，在基于特征約束模態(tài)降階的模態(tài)綜合方法的基礎(chǔ)上，采用移頻方法對系統(tǒng)中頻段振動響應(yīng)進(jìn)行計算時，在保證較好的計算精度的同時，減小了計算時間，說明本文采用的移頻方法計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段模態(tài)時具有較高的計算效率。

5 結(jié)論

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的中頻段模態(tài)計算時，理論推導(dǎo)表明:傳統(tǒng)的模態(tài)綜合方法的低階特征約束模態(tài)對系統(tǒng)中頻模態(tài)有影響，不能截斷;采用移頻方法后，低階特征約束模態(tài)和子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的低頻部分都能截斷。該方法對白車身有限元模型的中頻段振動特性的計算結(jié)果表明:采用移頻方法后，有效減少了需要保留的特征約束模態(tài)和子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的階數(shù)，縮短了計算時間。說明本文所采用的移頻方法提高了復(fù)雜結(jié)構(gòu)中頻段振動特性計算的效率。

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