結構參數(shù)對機翼非線性顫振系統(tǒng)混沌運動特性的影響

張 惠，楊智春，張新平，周 建，谷迎松

(1.西北工業(yè)大學 航空學院結構動力學與控制研究所，西安 710072;2.中航陜西飛機工業(yè)(集團)公司設計院，陜西 漢中 723213)

機翼的混沌運動是飛機在達到一定飛行速度后，在氣流激勵下由于結構的彈性力、慣性力和氣動力的耦合作用而產生的一種氣動彈性失穩(wěn)現(xiàn)象。帶有結構非線性的機翼顫振可能呈現(xiàn)混沌振動的形式［1］，混沌運動在相空間中沒有確定的軌道，使得用常規(guī)的振動控制技術來抑制非線性顫振難以獲得預期的效果。同時，混沌的出現(xiàn)有時伴隨有周期窗口［2-3］，周期窗口將會打破混沌顫振區(qū)域的連續(xù)性而使得系統(tǒng)的混沌顫振控制更加困難，因此選取合適的結構參數(shù)來避免在混沌顫振區(qū)域內出現(xiàn)周期窗口，對混沌顫振運動的研究和控制具有重要意義。

目前，國內外學者已經在非線性動力學系統(tǒng)的混沌運動及其周期窗口的控制方面開展了一些研究，例如:Hekmatollah Alighanbari指出具有結構非線性的機翼顫振系統(tǒng)的參數(shù)對其混沌運動有強烈影響［4］。楊懷江和沈柯明確提出了一種光學混沌控制技術——周期窗口控制技術以及為解決周期窗口找尋困難而開發(fā)的周期窗口搜索及定位技術［5］;鄭國勇和楊翊仁指出超音速氣流中的二元機翼在速度比線性顫振速度高且在初始條件非常小時，會出現(xiàn)混沌運動［6］。以一個具有立方型非線性操縱剛度的帶操縱面二元機翼［7］為研究對象，基于能量方法和活塞氣動力理論建立起系統(tǒng)的顫振運動方程，采用數(shù)值分析方法分析結構參數(shù)對非線性顫振系統(tǒng)混沌運動特性以及對混沌顫振區(qū)域內周期窗口的影響，提出一種在不降低系統(tǒng)顫振臨界速度的前提下有效控制混沌顫振區(qū)域內周期窗口的方法。為合理選擇設計參數(shù)，最終控制系統(tǒng)的混沌顫振運動提供了一條技術途徑。

1 系統(tǒng)的運動微分方程

帶有操縱面的二元機翼顫振系統(tǒng)如圖1所示，該系統(tǒng)具有3個自由度，分別為機翼上下沉浮h，繞彈性軸的扭轉角α以及操縱面繞鉸鏈軸的偏轉角β。假定操縱面偏轉自由度上具有立方型非線性剛度，其剛度特性為Mβ=Kβ(β+eβ3)(e為非線性系數(shù))，由拉格朗日方程可建立帶操縱面二元機翼的無量綱化顫振運動方程［8］:

圖1 帶操縱面的二元機翼示意圖Fig.1 The sketch of airfoil with control surface

nb為操縱面鉸鏈軸到翼弦中點的距離，xα為機翼重心距剛心的無量綱距離，xβ為操縱面重心到鉸鏈軸的無量綱距離，rα為機翼對剛心的無量綱回轉半徑，rβ為操縱面對鉸鏈軸的無量綱回轉半徑。

采用活塞氣動力理論計算廣義氣動力［8］:

將(2)式代入(1)式，則可寫成如下的矩陣形式:

O為3階零矩陣，I為3階單位矩陣。

2 混沌運動特性分析

作為非線性動力學系統(tǒng)，當初始條件確定后，其動力學行為將主要取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，本文研究的二元機翼非線性顫振系統(tǒng)的結構參數(shù)見表1。對于具有非線性操縱剛度的帶操縱面二元機翼，以無量綱來流速度V作為控制參數(shù)，采用數(shù)值積分的方法，對顫振運動方程進行求解，計算得到操縱面偏轉自由度位移幅值的分岔特性圖。通過分岔特性圖來分析非線性操縱剛度、俯仰自由度及操縱面偏轉自由度上的阻尼對非線性顫振系統(tǒng)混沌運動特性的影響。

在分岔圖中出現(xiàn)混沌的區(qū)域中，可以清楚地看到參量取值(橫坐標)在某些狹窄的范圍內出現(xiàn)周期震蕩，這就是混沌區(qū)內的周期窗口［10］。對于周期窗口采用了直接觀測法，在對應的分岔圖中，出現(xiàn)混沌的區(qū)域內，幅值分布明顯縮小的速度區(qū)間，就是出現(xiàn)周期窗口的速度區(qū)間。如果畫出對應參數(shù)狀態(tài)下的相圖，將會觀察到明顯的極限環(huán)。

系統(tǒng)的混沌顫振區(qū)域中有一類周期窗口，相對于其它周期窗口，其長度一般都較長，稱為主周期窗口。還有一些相對并不十分明顯的周期窗口，它們的窗口長度一般都較短，且出現(xiàn)位置沒有規(guī)律性，稱為次周期窗口。我們可以通過研究非線性顫振系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內周期窗口的個數(shù)以及主周期窗口和次周期窗口出現(xiàn)的區(qū)間長度來研究結構參數(shù)的變化對非線性顫振系統(tǒng)混沌運動特性的影響。

2.1 操縱面的立方型非線性操縱剛度對混沌運動特性的影響

在本文研究的機翼非線性顫振系統(tǒng)的結構參數(shù)中，操縱面的操縱剛度系數(shù)(代表非線性的強弱程度)為重要的參數(shù)之一。在其它結構參數(shù)固定不變的情況下，通過改變操縱面的操縱剛度非線性系數(shù)來研究系統(tǒng)在不同強弱程度的非線性操縱剛度下的混沌運動特性。對立方型非線性操縱剛度，其等效剛度系數(shù)為Keq=Kβ(1+3/4eβ2)。因此可以通過改變非線性參數(shù)e來研究非線性操縱剛度對系統(tǒng)混沌運動特性的影響。取俯仰自由度上的阻尼系數(shù)ζα=0.14，操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)ζβ=0.16，經過數(shù)值積分分別得出e=5，10，20，40 時系統(tǒng)的分岔圖如圖 2(a)～ 圖 2(d)所示。(圖中的速度為無量綱速度)

觀察圖2(a)～圖2(d)可知，當e改變時，系統(tǒng)的分岔特性基本不變，系統(tǒng)操縱面偏轉自由度上的顫振幅值隨著e的增大而減小。e變化時，系統(tǒng)出現(xiàn)主周期窗口及次周期窗口的無量綱速度區(qū)間基本相同。系統(tǒng)出現(xiàn)主周期窗口的無量綱速度區(qū)間為［4.15，4.35］，出現(xiàn)兩個狹窄的次周期窗口的無量綱速度區(qū)間為［4.51，4.54］和［4.74，4.77］。

由此可見，對于本模型而言，系統(tǒng)是否產生混沌運動，混沌顫振區(qū)域內是否出現(xiàn)周期窗口以及周期窗口對應的無量綱速度區(qū)間幾乎不受參數(shù)e的影響。因此，通過改變操縱剛度非線性強弱程度來控制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的發(fā)生以及控制混沌顫振區(qū)域內的周期窗口是不可能實現(xiàn)的。但是，適當提高操縱面的操縱剛度系數(shù)，可以使系統(tǒng)發(fā)生非線性顫振時的幅值減小，從而降低非線性系統(tǒng)發(fā)生顫振時的危害性。

表1 機翼顫振系統(tǒng)的結構參數(shù)Tab.1 The structural parameters of the airfoil flutter system

圖2 不同非線性操縱剛度參數(shù)下的系統(tǒng)分岔特性Fig.2 The characteristic of the system at the different nonlinear stiffness of the control surface

2.2 操縱面偏轉自由度的阻尼對系統(tǒng)混沌運動特性的影響

在帶操縱面的二元機翼非線性顫振系統(tǒng)中，操縱面偏轉自由度上的阻尼也是系統(tǒng)的一個重要參數(shù)。研究操縱面偏轉自由度的阻尼對系統(tǒng)混沌運動特性的影響時，取操縱剛度非線性系數(shù)e=10，俯仰自由度上的阻尼系數(shù)ζα=0.14，操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)分別為 ζβ=0.01，0.03，0.05，0.08，0.10，0.20 時，系統(tǒng)的分岔特性圖如圖3(a)～圖3(f)。

當操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)ζβ=0.01時，如圖3(a)所示，系統(tǒng)只有衰減與發(fā)散兩種運動形式，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=1.15。當 ζβ=0.03和0.05時，如圖3(b)和3(c)所示，隨著速度的逐漸增大，系統(tǒng)經歷衰減運動、極限環(huán)運動、混沌運動以及發(fā)散運動四種運動形式，但是混沌顫振區(qū)域內沒有周期窗口的出現(xiàn)，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度分別為VF=2.20 和2.27。當 ζβ=0.08 時，如圖3(d)所示，系統(tǒng)在混沌顫振區(qū)域內會出現(xiàn)一個小的周期窗口，其無量綱速度區(qū)間為［3.86，3.88］，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.38。當 ζβ=0.10 時，如圖 3(e)所示，混沌顫振區(qū)域內會出現(xiàn)三個小的周期窗口，對應的無量綱速度區(qū)間分別為［3.82，3.88］，［4.20，4.23］，［4.23，4.25］，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.45。當阻尼系數(shù)ζβ=0.20時，如圖3(f)所示，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.64，主周期窗口的速度區(qū)間為［4.72，4.86］，次周期窗口的速度區(qū)間分別為［5.10，5.15］和［5.31，5.35］。

上述分析表明，隨著操縱面偏轉自由度上的阻尼的增大，系統(tǒng)的分岔特性會發(fā)生改變，當操縱面偏轉自由度上的阻尼增大到某個水平時，混沌顫振區(qū)域將出現(xiàn)周期窗口，且周期窗口對應的無量綱速度區(qū)間長度會隨著操縱面阻尼水平的提高而增大，同時系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度會隨著操縱面偏轉自由度上阻尼的增大而提高。因此，對于非線性顫振系統(tǒng)，雖然降低操縱面偏轉自由度上的阻尼水平，可以使混沌顫振區(qū)域內的周期窗口得以控制甚至使混沌現(xiàn)象消失，如圖3(a)所示，但是系統(tǒng)的顫振臨界速度也會隨之降低。

2.3 俯仰自由度的阻尼對混沌運動特性的影響

對帶有操縱面的二元機翼，其俯仰自由度的阻尼也是系統(tǒng)可控的一個重要參數(shù)，本節(jié)研究俯仰自由度的阻尼對系統(tǒng)混沌運動特性的影響。

取操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)ζβ=0.16，操縱剛度非線性系數(shù)e=10，俯仰自由度上的阻尼系數(shù)分別取為 ζα=0.01，0.05，1。系統(tǒng)的分岔特性圖如 4(a)～圖4(c)。

當俯仰自由度上的阻尼系數(shù)ζα=0.01時，如圖4(a)所示，隨速度增加，系統(tǒng)經歷衰減運動，極限環(huán)顫振以及發(fā)散顫振三種運動形式。系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=1.89。當 ζα=0.05 時，如圖 4(b)所示，系統(tǒng)在來流速度V=3.08時出現(xiàn)混沌運動，但是在系統(tǒng)的混沌顫振區(qū)域內沒有周期窗口的出現(xiàn)，其無量綱顫振臨界速度為VF=2.38。當 ζα=0.10 時，由圖4(c)可以看出，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度為VF=2.48。系統(tǒng)在混沌顫振區(qū)域內出現(xiàn)第一個主周期窗口的無量綱速度區(qū)間為［3.81，3.87］，系統(tǒng)出現(xiàn)第二個周期窗口的無量綱速度區(qū)間為［4.14，4.22］。這兩個周期窗口的區(qū)間長度比俯仰自由度阻尼系數(shù)ζα=0.14時(如圖2(b))的周期窗口的區(qū)間長度要短。

上述結果表明，當俯仰自由度上的阻尼減小時，系統(tǒng)的混沌運動和周期窗口都可以得到控制，而且其無量綱顫振臨界速度的變化沒有操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)減小時變化得那么劇烈。

圖3 不同操縱面偏轉自由度阻尼水平下的系統(tǒng)分岔特性Fig.3 The bifurcation characteristic of the system at the different damping coefficients in the rotating DOF of control Surface

圖4 不同俯仰自由度阻尼水平下的系統(tǒng)分岔特性Fig.4 The bifurcation characteristic of the system at the different damping coefficients in the pitching DOF of wing

圖5 同時改變操縱面自由度和俯仰自由度阻尼水平時系統(tǒng)的分岔特性Fig.5 The bifurcation Characteristic of the system when changing the damping coefficient in the rotating DOF of control surface and the pitching DOF of wing

2.4 同時改變俯仰自由度和操縱面偏轉自由度的阻尼對系統(tǒng)混沌運動特性的影響

通過前面的分析知，單一的減小俯仰自由度上的阻尼或者操縱面偏轉自由度上的阻尼，雖然可以控制系統(tǒng)的混沌運動以及混沌顫振區(qū)域內的周期窗口，但是，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度會隨著阻尼系數(shù)的減小而降低。這并不是我們所期待的結果。所以，需要尋求一種在顫振臨界速度不變或者有所提高的前提下來控制系統(tǒng)周期窗口的方法。

以參數(shù) ζα=0.14，ζβ=0.16，e=10 時系統(tǒng)的混沌運動特性為參考來進行研究。當俯仰自由度上的阻尼系數(shù)為ζα=0.25，操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)為ζβ=0.05時，雖然系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度不變，但是混沌顫振區(qū)域內的周期窗口依然沒有消失，如圖5(a)所示。但是當俯仰自由度上的阻尼系數(shù)減小到ζα=0.05的同時，將操縱面偏轉自由度上的阻尼系數(shù)增大到ζβ=0.20時，此時系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度不僅有所提高，而且混沌顫振區(qū)域內的周期窗口消失了，如圖5(b)所示。

因此，可以采用減小俯仰自由度上的阻尼水平同時增加操縱面偏轉自由度上阻尼水平的方法，在保證顫振臨界速度不降低的情況下消除機翼非線性顫振系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內的周期窗口，從而能更好控制系統(tǒng)的混沌運動。

3 結論

(1)操縱面剛度的非線性強弱程度對非線性顫振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動的速度區(qū)間影響很小。

(2)改變二元機翼俯仰自由度或操縱面偏轉自由度阻尼水平可以改變系統(tǒng)的混沌運動特性，即可以通過改變操縱面偏轉自由度或者機翼俯仰自由度上的阻尼水平來控制系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內的周期窗口。

(3)單一的改變操縱面偏轉自由度或者機翼俯仰自由度上的阻尼水平，系統(tǒng)的無量綱顫振臨界速度會隨著阻尼水平的降低而減小。

(4)為了保證系統(tǒng)顫振臨界速度不會減小，可以采用同時改變俯仰自由度上的阻尼水平與操縱面偏轉自由度上阻尼水平的方法來控制系統(tǒng)混沌顫振區(qū)域內的周期窗口。

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