考慮非局部效應(yīng)的納米梁非線性振動(dòng)

劉燦昌，裘進(jìn)浩，季宏麗，劉 露

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016;山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，淄博 255049)

隨著微、納機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)的發(fā)展，超薄納米梁經(jīng)常被用作超高精度傳感器、超高頻混頻器等。與以往的微米梁相比，納米梁在尺寸上進(jìn)一步縮小，性能獲得了極大的提高。但是，由于器件進(jìn)入了納米尺度，非局部效應(yīng)影響較為顯著，不可以再予以忽略［1］。

近年來(lái)，納米結(jié)構(gòu)的線性和非線性動(dòng)力學(xué)研究取得較快的進(jìn)展。楊曉東等［2］分析考慮非局部效應(yīng)的兩端簡(jiǎn)支納米材料梁的橫向非線性振動(dòng)特性。考慮非局部效應(yīng)的碳納米管的線性和非線性振動(dòng)得到深入研究［3-7］。宋震煜等［8］考慮納米梁的軸向非線性伸長(zhǎng)因素，分析了納米梁的幅頻特性和納米梁非線性產(chǎn)生的物理機(jī)制。朱年勇等［9］利用數(shù)值方法求解了描述納機(jī)電諧振器的達(dá)芬方程，研究了納機(jī)械諧振梁的非線性行為。納米梁的制造與測(cè)試工作取得較大進(jìn)展［10-12］。

本文以彈性理論和非線性振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，考慮納米梁的非局部效應(yīng)，從梁的軸向非線性伸長(zhǎng)出發(fā)對(duì)納米梁進(jìn)行受力分析，建立連續(xù)體非線性物理模型。探討了納米諧振梁非線性特性產(chǎn)生的物理機(jī)制，分析非局部效應(yīng)對(duì)固有頻率的影響，探討非局部效應(yīng)對(duì)主共振幅頻特性曲線的影響，對(duì)納米諧振梁的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。

1 連續(xù)體模型

實(shí)驗(yàn)表明，傳統(tǒng)的宏觀梁甚至MEMS諧振梁通常只工作在線性區(qū)，而特征尺寸為納米量級(jí)的諧振梁隨著外部激勵(lì)的逐漸增加很快就進(jìn)入非線性工作區(qū)，原有的線性理論不再適用［13］。本文從彈性理論出發(fā)建立考慮納米梁橫向振動(dòng)幾何非線性和非局部效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程。僅考慮細(xì)長(zhǎng)均勻梁的橫向振動(dòng)，假定梁的各截面的中心主慣性軸在同一個(gè)平面內(nèi)，外載荷也作用在該平面內(nèi)，梁在該平面內(nèi)作橫向振動(dòng)，梁的兩端固定，其端部運(yùn)動(dòng)就受到限制，引起中性面伸長(zhǎng)。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)納米梁其剪切變形以及截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以忽略。取梁的微元進(jìn)行受力分析，如圖1所示。在微元左側(cè)，梁受到的垂直剪力為V，彎矩為M，P是由于橫向振動(dòng)導(dǎo)致中性面伸長(zhǎng)而產(chǎn)生的張力，θ為張力與x軸的夾角。右側(cè)為相應(yīng)的受力變化。q為作用于梁上的分布力。由力的平衡條件可以得到在橫向振動(dòng)方向平衡方程:

其中，W為梁橫向振動(dòng)幅值;ρ為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量;A為梁的截面面積;()'=?/?X， ()″=?2/?X2，(··)=?2/?T2。由微元的力矩平衡方程，略去二階小量后，得到:

圖1 納米梁幾何非線性振動(dòng)模型Fig.1 Geometrical non-linear vibrational model of nano-beam

根據(jù)非局部彈性理論，可以知道應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

其中，σX和εX為經(jīng)典彈性理論的應(yīng)力和應(yīng)變，參數(shù)e0a為考慮納米結(jié)構(gòu)小尺度效應(yīng)的長(zhǎng)度量綱參數(shù)，E為材料的彈性模量。根據(jù)非局部彈性理論，可以推導(dǎo)出軸向張力P、彎矩M與變形之間的關(guān)系

其中，I為截面的慣性矩。

將式(5)進(jìn)行二次求導(dǎo)運(yùn)算后，再將式(1)和(2)代入(5)，考慮系統(tǒng)的阻尼并等效為黏性阻尼，得到

這是考慮幾何非線性因素和非局部效應(yīng)的兩端固支納米梁動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)其求解即可得到梁的振動(dòng)特性。式中，μ是等效黏性阻尼系數(shù)。將方程無(wú)量綱化，再引入小參數(shù)ε，設(shè)激勵(lì)力幅值與小參數(shù)ε同數(shù)量級(jí)，阻尼項(xiàng)和軸向力因素項(xiàng)也與小參數(shù)ε同數(shù)量級(jí)，系統(tǒng)的非線性振動(dòng)微分方程為

其中，

兩端固支納米梁的邊界條件為:

方程的解w和軸向力P可以展開為ε的冪級(jí)數(shù)形式:

其中T0和T1分別為慢變和快變時(shí)間尺度。將方程(10)和(11)分別代入到方程(7)、(8)和邊界條件(9)，令ε同冪次的項(xiàng)系數(shù)為零，得到以下各階近似線性方程:

2 非局部效應(yīng)納米梁固有頻率和模態(tài)函數(shù)

方程(12)的通解可以寫為:

將方程(18)代入到(12)，可以得到本征方程:

方程(19)的四個(gè)本征值為:

其中，

方程(12)通解的模態(tài)函數(shù)為:

其中，Cj(j=1，2，3，4)和 ω 為待定參數(shù)，分別由梁的邊界條件確定。

對(duì)于兩端固支納米梁，其邊界條件為:

將(21)代入邊界條件(22)，由系數(shù)非零解條件得到:

解方程即可得到固有頻率解。當(dāng)α為零時(shí)，方程(23)退化為不考慮非局部效應(yīng)的兩端固支梁的頻率方程1-cosβcoshβ =0。

兩端固支納米梁各階模態(tài)函數(shù)為:

其中:

3 非局部效應(yīng)納米梁主共振分析

當(dāng)激勵(lì)頻率Ω接近于非線性振動(dòng)系統(tǒng)的派生系統(tǒng)固有頻率ωn時(shí)，可發(fā)生主諧波共振。如果系統(tǒng)是小阻尼系統(tǒng)，這時(shí)很小的激勵(lì)幅值F就可以激勵(lì)起強(qiáng)烈的共振。方程(12)的解可以表示為:

將(25)代入(13)得到:

其中，φn(x)=［φ'n(x)］2。

設(shè)策動(dòng)力為F0=FeiΩt。設(shè)ωn與Ω之差與小參數(shù)ε同數(shù)量級(jí)，令

將(25)和(26)代入到(15)得到:

其中cc為永年項(xiàng)的復(fù)數(shù)共軛項(xiàng)，NST表示其它一般項(xiàng)。由兩端固支納米梁振動(dòng)模態(tài)的正交性可知:

應(yīng)用可解性條件，將方程(28)右端永年項(xiàng)乘以派生系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)并由模態(tài)的正交性可以得到:

其中:

將方程(33)和(34)中的γn消掉，得到兩端固支納米梁主共振的幅頻方程為:

由方程(33)和(34)得到兩端固支納米梁相位為:

由方程(35)得到兩端固支納米梁主共振的峰值為:

不考慮系統(tǒng)阻尼，系統(tǒng)自由振動(dòng)的方程(31)和(32)變?yōu)?

對(duì)上面兩式積分，得到:

其中，an0，bn0是積分常數(shù)。由此可以得到納米梁非線性自由振動(dòng)的固有頻率為:

4 算例分析

本文以兩端固支納米梁系統(tǒng)為仿真實(shí)例。在梁的硅基結(jié)構(gòu)上面鍍有一層薄金鍍膜，通過(guò)外接電路施加變化電流，將該裝置放于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，則梁系統(tǒng)受到隨電流變化的均布磁場(chǎng)力作用。為了研究非局部彈性效應(yīng)對(duì)納米結(jié)構(gòu)的影響，我們分別以納米梁和微米梁作為研究對(duì)象，分析非局部彈性效應(yīng)對(duì)梁力學(xué)性能的影響。納米梁的長(zhǎng)度、寬度和高度為150 nm×20 nm×25 nm。微米梁的長(zhǎng)度、寬度和高度為15 μm×2 μm × 2.5 μm。兩種梁的彈性模量為170 GPa，密度為 2 330 kg/m3，系統(tǒng)的阻尼比為 0.3。

圖2 納米梁非局部效應(yīng)及振幅對(duì)一階固有頻率影響Fig.2 Effect of the nonlocal elasticity and amplitude to the first natural frequency for nano-beam.

通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算式(23)得到考慮非局部效應(yīng)的納米梁前兩階固有頻率。數(shù)值結(jié)果見(jiàn)圖2-圖3。由圖可見(jiàn)，隨著非局部效應(yīng)系數(shù)數(shù)值的變大，兩端固支納米梁固有頻率要減小，考慮非局部效應(yīng)后材料剛度比不考慮該效應(yīng)的要小。由圖中還可以看出，非局部效應(yīng)系數(shù)對(duì)兩端固支納米梁高階固有頻率的影響更為明顯。由圖4-圖5我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的非局部效應(yīng)系數(shù)數(shù)值，兩端固支微米梁固有頻率幾乎沒(méi)有變化，這說(shuō)明非局部彈性效應(yīng)對(duì)微米梁影響較小?？梢?jiàn)，隨著結(jié)構(gòu)尺寸的減小，非局部彈性效應(yīng)的影響逐步變大，特別是到了納米尺度，其影響就不能再予以忽略。

由式(35)可以得到兩端固支納米梁的一階主諧波共振響應(yīng)的幅頻圖(如圖6所示)。由圖可以看出，不考慮系統(tǒng)的非局部效應(yīng)或者非局部效應(yīng)系數(shù)較小時(shí)，兩端固支納米梁存在分叉和跳躍等非線性現(xiàn)象，幅頻關(guān)系存在著多值性，但是隨著非局部效應(yīng)系數(shù)的增大，圖像峰值右移，分叉現(xiàn)象消失，說(shuō)明非局部效應(yīng)的存在影響主諧波共振的幅頻關(guān)系。因而研究?jī)啥斯讨Ъ{米梁振動(dòng)特性時(shí)需要考慮非局部效應(yīng)的影響。

圖3 納米梁非局部效應(yīng)及振幅對(duì)二階固有頻率影響Fig.3 Effect of the nonlocal elasticity and amplitude to the second natural frequency for nano-beam

圖4 微米梁非局部效應(yīng)及振幅對(duì)一階固有頻率影響Fig.4 Effect of the nonlocal elasticity and amplitude to the first natural frequency for mecron-beam

圖5 微米梁非局部效應(yīng)及振幅對(duì)二階固有頻率影響Fig.5 Effect of the nonlocal elasticity and amplitude to the second natural frequency for mecron-beam

圖6 納米梁幅頻響應(yīng)Fig.6 Response of frequency-amplitude for nano-beam

5 結(jié)論

本文以彈性理論和非線性振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，建立考慮非局部效應(yīng)和軸向非線性伸長(zhǎng)的兩端固支納米梁物理模型。探討了兩端固支納米梁非線性特性產(chǎn)生的物理機(jī)制，研究發(fā)現(xiàn)由于非局部效應(yīng)存在，納米梁的固有頻率比不考慮非局部效應(yīng)的要小;非局部效應(yīng)對(duì)高階固有頻率的影響更為顯著;非局部效應(yīng)的存在影響主諧波共振的幅頻關(guān)系。

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