基于分段間隙函數(shù)的螺旋錐齒輪時變嚙合參數(shù)分析

劉志峰，郭春華，楊文通，蔡力鋼，張志民

(北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

由于嚙合阻尼、嚙合剛度的動態(tài)變化和制造誤差、安裝誤差、摩擦等原因而產(chǎn)生的間隙的存在，使得螺旋錐齒輪系統(tǒng)是一個具有參數(shù)激勵的強非線性系統(tǒng)。目前國內(nèi)外學(xué)者針對該動力學(xué)特性的研究已經(jīng)作了大量的工作，建立了多種數(shù)學(xué)分析模型。Wang等［1-2］以一對準雙曲面齒輪為研究對象建立了數(shù)學(xué)模型，將嚙合參數(shù)按基頻諧波展開，采用數(shù)值法求解，討論了時變參數(shù)、系統(tǒng)參數(shù)及間隙非線性對齒輪副動力學(xué)特性的影響。Kahraman等［3-5］建立了直齒輪副的單自由度間隙非線性模型，將嚙合剛度、間隙非線性函數(shù)、傳動誤差和外部激勵展成多項諧波形式，用諧波平衡法求解。Litak等［6］考慮了軸的撓性，建立了三自由度齒輪模型，指出在二自由度模型上增加一個額外自由度，齒輪副將顯示不同的動態(tài)特性。

李潤方等［7］考慮了正弦型時變嚙合阻尼，并假設(shè)與嚙合剛度成正比，且相應(yīng)于輪齒分離的速度也為非線性函數(shù)，指出非線性時變阻尼可采用常數(shù)阻尼來代替。唐進元等［8］對一類阻尼和剛度系數(shù)均含時變參數(shù)的強非線性齒輪系統(tǒng)進行了研究，針對時變阻尼項和剛度項之間的耦合作用使周期解的平均值發(fā)生漂移問題提出了一種改進的能量迭代法，并推導(dǎo)出系統(tǒng)主振動的幅頻和相頻響應(yīng)方程。陳思雨等［9］考慮了時變剛度和摩擦?xí)r輪齒間隙及載荷參數(shù)對齒輪系統(tǒng)沖擊動力學(xué)響應(yīng)的影響，并首次研究了非線性動力學(xué)的脫嚙沖擊。王建平等［10-11］建立了考慮動態(tài)嚙合剛度、傳遞誤差和齒側(cè)間隙等多種非線性因素的直齒圓柱齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，將時變剛度按5次諧波展開，齒側(cè)間隙按3次多項式擬合，并用多尺度法分析了齒輪系統(tǒng)組合共振和諧振。張鎖懷等［12］考慮了不平衡質(zhì)量、主動軸轉(zhuǎn)速波動和齒輪副齒側(cè)間隙，并建立了單級齒輪傳動系統(tǒng)的拍擊振動模型，推導(dǎo)出了相鄰兩次碰撞之間的映射關(guān)系式。申永軍等［13-14］建立了考慮間隙、時變剛度和靜態(tài)傳遞誤差的直齒輪副動力學(xué)模型，研究了阻尼比和激勵水平對幅頻曲線的影響。劉國華等［15］提出了考慮輪齒彈性振動和單雙齒嚙合區(qū)變化的齒輪機構(gòu)多體彈性非線性動力學(xué)模型。

上述研究主要利用解析、數(shù)值和實驗的方法，分析齒輪時變剛度、齒側(cè)間隙、靜態(tài)傳遞誤差對齒輪系統(tǒng)的參數(shù)激勵、諧波共振、沖擊等動力學(xué)響應(yīng)，并未涉及由于間隙函數(shù)的分段變化，而產(chǎn)生的時變嚙合參數(shù)在不同的嚙合狀態(tài)對螺旋錐齒輪嚙合特性的影響。因此，本文根據(jù)嚙合點法向位移與間隙不同關(guān)系下間隙函數(shù)的變化，考慮嚙合阻尼和嚙合剛度的時變性，研究平均嚙合阻尼、諧波嚙合阻尼、諧波嚙合剛度在不同嚙合狀態(tài)下對螺旋錐齒輪副傳動過程中嚙合特性的影響規(guī)律。

1 數(shù)學(xué)分析模型

圖1 螺旋錐齒輪副嚙合模型Fig.1 Meshing model of spiral bevel gear

根據(jù)螺旋錐齒輪的傳動特點，建立了一對齒輪副傳動模型，如圖1所示。假定傳動軸和支撐部件均為剛性體，則主、從動齒輪的扭轉(zhuǎn)平衡方程分別為:

圖2 間隙函數(shù)Fig.2 Clearance function

2 時變嚙合參數(shù)、間隙函數(shù)的無量綱化

螺旋錐齒輪嚙合過程中，會出現(xiàn)單齒對嚙合及多齒對嚙合交替變化的情況，使得嚙合剛度始終處在不斷的變化中。相對于單齒嚙合區(qū)，齒輪的嚙合綜合剛度較小，嚙合彈性變形較大;在雙齒對嚙合區(qū)，由于是兩對輪齒同時承受載荷，因此齒輪的嚙合綜合剛度較大，嚙合彈性變形較小。隨著齒輪副的連續(xù)運轉(zhuǎn)，輪齒的彈性變形呈周期性變化，引起齒輪副角速度周期性變化，進而導(dǎo)致齒輪副振動。此外在考慮摩擦?xí)r，應(yīng)將常數(shù)嚙合阻尼描述為非線性時變嚙合阻尼，即阻尼項也含時變參數(shù)。將阻尼和剛度按傅里葉級數(shù)展開，并取前兩項，可得:令

表1 輪齒不同嚙合狀態(tài)下間隙函數(shù)變化Tab.1 Variation of clearance function under different meshing state

在輪齒嚙合過程中，由于嚙合點法向位移與齒側(cè)間隙關(guān)系的變化，使得間隙函數(shù)也隨之變化。將間隙函數(shù)處理成圖2(a)所示的對稱形式，并對其無量綱化，如圖2(b)所示。輪齒不同嚙合狀態(tài)下的間隙函數(shù)如表1所示。無量綱化前后的表達式為:

根據(jù)文獻［1，8］可知

將式(6)～式(8)代入式(5)得

各物理量意義見表2。

表2 物理量對照表Tab.2 Table of physical symbol

表3 螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)Tab.3 Transmission system parameters of spiral bevel gear

3 齒輪系統(tǒng)振動因素分析

令 φc1=φc2=φk1=φk2=0，取F=0.8，下面分別從-1＜X＜1，X≤-1，X≥1三種情況討論動態(tài)激勵項的影響，螺旋錐齒輪傳動系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)見表3。

3.1 －1＜X＜1情況

當(dāng)-1＜X＜1時，齒輪副扭轉(zhuǎn)方程表示為

圖3所示為齒輪系統(tǒng)振動的位移-時間曲線。由圖可知:隨平均阻尼系數(shù)ξ的增大，系統(tǒng)趨向收斂。以t=150為例，當(dāng)ξ=0.03時，嚙合點法向位移為1 765，ξ=0.15時，嚙合點法向位移為389。平均阻尼系數(shù)的增大，使嚙合點法向位移振動幅值有了明顯的衰減，齒輪嚙合過程中的振動迅速降低，提高了傳動平穩(wěn)性。

圖4所示阻尼含有主諧波激勵時，嚙合點法向位移均方根值變化情況。以平均阻尼系數(shù)ξ=0.15為例，當(dāng)主諧波阻尼系數(shù)α=0時，嚙合點法向位移均方根值為148，為一條水平的光滑直線;α=0.01時，法向位移均方根最小值為173.34，最大值為294.61;當(dāng) α =0.10 時，位移均方根最小值為282.11，最大值為400.76。由于加入了主諧波激勵項，嚙合點法向位移在整個頻率范圍內(nèi)已不再是一條光滑的恒值曲線，而是在多個頻率處出現(xiàn)波動，且隨頻率的增加，其值呈現(xiàn)上升趨勢，并且主諧波系數(shù)的增加，會使位移均方根值迅速增大。

圖5為阻尼含有次諧波項時，嚙合點法向位移均方根值變化曲線。以 ξ=0.15，α=0.10為例，當(dāng) β=0.03時，均方根值最小為278，最大值為403.15。β=0.05時均方根值最小為285.76，最大值為447.51?？梢姰?dāng)-1＜X＜1時，次諧波阻尼系數(shù)的變化，也可影響齒輪副的嚙合特性。

3.2 X≤－1情況

當(dāng)X≤-1時，齒輪副系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)方程表示為:

圖6為X≤-1時，只考慮平均阻尼系數(shù)ξ情況下，齒輪副振動特性變化曲線。ξ=0.03時，在Ω=1和Ω=2處均出現(xiàn)了峰值，其值為3.95;ξ=0.05時，僅在Ω=1處出現(xiàn)了峰值，其值為2.64;ξ=0.15時，峰值降為1.18。隨著ξ的增加，出現(xiàn)峰值的頻率點由原來的兩個減少到一個，且峰值隨之減小。這表明平均阻尼系數(shù)的增加有利于降低振動峰值，減小輪齒變形。

圖7所示為X≤-1時，主諧波阻尼系數(shù)α對齒輪副系統(tǒng)振動影響曲線。以ξ=0.1為例，隨著α的變化，嚙合點法向位移均方根值變化很小，在整個頻率范圍內(nèi)最大誤差為0.97%。圖8所示為X≤-1時，次諧波阻尼系數(shù)β的變化對位移均方根值影響曲線。以ξ=0.1，α =0.05為例，在 Ω =1 頻率處，β=0時嚙合點法向位移均方根值為1.54，β =0.02 時其值為 1.47，最大誤差為4.5%。當(dāng)X≤-1時，主諧波阻尼系數(shù)和次諧波阻尼系數(shù)的變化對嚙合點法向位移均方根值幾乎沒有影響。因此，分析齒輪副振動時將嚙合阻尼系數(shù)視為常數(shù)是合理的。

圖3 -1＜X＜1，ξ影響振動位移曲線(κ =1，ρ =0.2，ν =0.04)Fig.3-1＜X ＜1，vibration displacement curves on ξ

圖4 -1＜X＜1，α影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν=0.04)Fig.4-1＜X ＜1，vibration displacement curves on α

圖5 -1＜X＜1，β影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν =0.04)Fig.5 -1 ＜X ＜1，vibration displacement curves on β

圖6 X≤-1，ξ影響振動位移曲線(κ =1，ρ =0.2，ν =0.04)Fig.6 X≤ -1，vibration displacement curves on ξ

圖7 X≤-1，α影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν=0.04)Fig.7 X≤ -1，vibration displacement curves on α

圖8 X≤-1，β影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν =0.04)Fig.8 X≤ -1，vibration displacement curves on β

圖9 X≤-1，ρ影響振動位移曲線(ξ =0.1，α =0.05，β =0.001)Fig.9 X≤ -1，vibration displacement curves on ρ

圖10 X≤-1，ν影響振動位移曲線(ξ =0.1，α =0.05，β =0.001)Fig.10 X≤ -1，vibration displacement curves on ν

圖11 X≥1，ξ影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν =0.04)Fig.11 X≥1，vibration displacement curves on ξ

主諧波剛度系數(shù)ρ對齒輪副動態(tài)特性影響如圖9。在平均剛度系數(shù)相同的情況下，ρ從0增加到0.05時，仍以線性特性為主;ρ繼續(xù)增加到0.2，在Ω=1處首次出現(xiàn)峰值1.54;當(dāng)ρ=0.5時，在Ω=1附近和Ω=2處均出現(xiàn)了峰值，Ω=1附近的兩個峰值分別為3.47和3.64，Ω=2處的峰值為5.92。隨著次諧波嚙合剛度系數(shù)ν的增加，Ω=1處的峰值變化不是很明顯，而Ω=2處的峰值逐漸增大。圖10所示，當(dāng)ν由0增加到0.20時，Ω=2處的峰值也由5.92增加到8.60。因此表明引入主諧波和次諧波剛度項時，均會對齒輪副振動特性產(chǎn)生影響。

3.3 X≥1情況

當(dāng)X≥1時，齒輪副系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)方程可以表示為

由圖11可看出:ξ=0.03時，Ω=1處出現(xiàn)峰值，其值為5.18;ξ=0.05時，Ω =1還是為峰值頻率，但值降為4.47;隨著 ξ分別增加到 0.10 和 0.15，不再存在峰值，Ω=1處位移均方根值分別為4.12和4.09。

圖12所示為當(dāng)X≥1時，主諧波阻尼系數(shù)α對齒輪副系統(tǒng)振動影響曲線。以ξ=0.15為例，由圖可看出在Ω=1.5頻率處，α=0時的嚙合點法向位移均方根值為4.26，α=0.10時的嚙合點法向位移均方根值為4.06，最大誤差為4.7%。當(dāng)增加次諧波阻尼項時，如圖13所示，以 ξ=0.15，α =0.1 為例，β =0.01 時的嚙合點法向位移均方根值為4.55，β=0.03時的嚙合點法向位移均方根值為4.81，最大誤差為5.4%。由此可看出當(dāng)X≥1時，阻尼含時變激勵項對嚙合點法向位移均方根值影響不明顯。因此在這個階段，非線性時變阻尼也可由常數(shù)阻尼來代替。

圖14所示為主諧波剛度系數(shù)ρ對齒輪副嚙合特性位移影響曲線。不考慮諧波嚙合剛度項，即ρ=ν=0時，Ω=2為嚙合點法向位移均方根峰值頻率，峰值為3.5。當(dāng)僅將ρ分別增加到0.01和0.2時，位移均方根值在整個頻率內(nèi)均隨頻率Ω的增大而增大，峰值消失。但當(dāng)ρ增加到0.5時，在Ω=1附近和Ω=2處均出現(xiàn)了峰值，其值分別為 5.47、5.31 和5.07。

圖15所示，當(dāng)含有次諧波剛度項時，以κ=1，ρ=0.5為例，隨次諧波剛度系數(shù)ν的增加，在Ω=1附近和Ω=2處的峰值均發(fā)生了變化。ν=0時，三個峰值分別為5.47、5.31 和 5.07;ν=0.05 時，三個峰值分別為 5.29、5.17 和5.18;ν =0.10 時，三個峰值分別為 5.15、5.09和5.44。即隨著次諧波剛度系數(shù)的增加，Ω=1附近的兩個峰值在減小，而Ω=2處的峰值卻隨著次諧波剛度系數(shù)的增加而增大。

圖12 X≥1，α影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν =0.04)Fig.12 X≥1，vibration displacement curves on α

圖13 X≥1，β影響振動位移曲線(κ =1，ρ=0.2，ν=0.04)Fig.13 X≥1，vibration displacement curves on β

圖14 X≥1，ρ影響振動位移曲線(ξ =0.1，α =0.05，β =0.001)Fig.14 X≥1，vibration displacement curves on ρ

圖15 X≥1，ν影響振動位移曲線(ξ=0.1，α =0.05，β =0.001)Fig.15 X≥1，vibration displacement curves on ν

4 結(jié)論

本文基于間隙函數(shù)的分段特性，考慮嚙合阻尼和嚙合剛度的時變性，并采用二次諧波展開的形式，討論了平均嚙合阻尼、諧波嚙合阻尼和諧波嚙合剛度在不同嚙合狀態(tài)下對螺旋錐齒輪副傳動過程中動力學(xué)特性的影響。確定了時變嚙合參數(shù)下的螺旋錐齒輪副，在其不同嚙合階段時的嚙合特性，為螺旋錐齒輪的減振和降噪提供了理論依據(jù)。

(1)-1＜X＜1時，平均嚙合阻尼系數(shù)的增大使振動迅速衰減，實現(xiàn)減振降噪;引入諧波阻尼項和諧波阻尼系數(shù)的增大均不利于齒輪傳動的平穩(wěn)嚙合，嚙合點法向位移均方根曲線原有的光滑恒值特性將被打破，取而代之的是多個頻率點處出現(xiàn)波動，且增大諧波阻尼系數(shù)會使位移均方根值變大。

(2)X≤-1時，平均嚙合阻尼系數(shù)的增大抑制了齒輪嚙合過程中的振動峰值，使齒輪傳動趨于平穩(wěn);諧波阻尼影響很小，在這個嚙合狀態(tài)分析齒輪副振動時將嚙合阻尼系數(shù)視為常數(shù)是合理的。諧波剛度項系數(shù)的增大會使齒輪副嚙合過程出現(xiàn)振動峰值，與此同時，諧波剛度項系數(shù)越大，亦會使某些頻率點處峰值越大，不利于齒輪副的平穩(wěn)傳動。

(3)X≥1時，增大平均阻尼和降低主諧波剛度減弱了系統(tǒng)的非線性;諧波阻尼的增加對系統(tǒng)的振動特性影響較小，可采用常數(shù)阻尼代替非線性時變阻尼。次諧波剛度系數(shù)的增大會產(chǎn)生不確定的情況，會使一些頻率處的振動峰值降低，一些頻率處振動峰值升高。

［1］Wang J，Lim T C，Li M F.Dynamics of a hypoid gear pair considering the effects of time-varying meshing parameters and backlash nonlinearity［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308:302-329.

［2］ Wang J， Lim T C. Effectoftooth meshingstiffness asymmetric nonlinearity for drive and coast sides on hypoid gear dynamics［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，319:885-903.

［3］Ma Q L， Kahraman A.Subharmonic resonances of a mechanical oscillator with periodically time-varying，piecewise-nonlinear stiffness［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，294:624-636.

［4］Kahraman A，Blankenship G W.Experiments on nonlinear dynamic behaviorofan oscillator with clearance and periodically time-varying parameters［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1997，64:217-226.

［5］Al-shyyab A，Kahraman A.Non-linear dynamic analysis of a multi-meshing gear train using multi-term harmonic balance method:period-one motions［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，284:151-172.

［6］Litak G，F(xiàn)riswell M I.Vibration in gear systems［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2003，16:795-800.

［7］李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué)-振動、沖擊和噪聲［M］.北京:科學(xué)出版社，1997.

LI Run-fang， WANG Jian-jun. Gear system dynamicsvibration，shock and noise(in chinese)［M］.Beijing:Science Press，1997.

［8］唐進元，陳思雨.阻尼和剛度項含時變參數(shù)的強非線性振動系統(tǒng)周期解研究［J］.振動與沖擊，2007，26(10):96-100.

TANG Jin-yuan，CHEN Si-yu.Study on periodic solutions of strong nonlinear systems with time-varying damping and stiffness coefficient［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26(10):96-100.

［9］陳思雨，唐進元，謝耀東.齒輪傳動系統(tǒng)的非線性沖擊動力學(xué)行為分析［J］.振動與沖擊，2009，28(4):65–69.

CHEN Si-yu，TANG Jin-yuan，XIE Yao-dong.Analysis of nonlinear impact dynamic behavior for a gear pair system with time-varying stiffness and friction［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(4):65–69.

［10］王建平，王玉新.運用多尺度法對齒輪系統(tǒng)組合共振特性的分析［J］.西安理工大學(xué)學(xué)報，2005，21(1):1-5.

WANG Jian-ping，WANG Yu-xin.Combination resonance of spur gear system analyzed using multi-scale approach［J］.Journal of Xi’an University of Technology，2005，21(1):1-5.

［11］王建平，王玉新.考慮動態(tài)剛度、傳遞誤差及齒側(cè)間隙的齒輪系統(tǒng)諧振分析［J］.機械設(shè)計，2005，22(9):26-28.

WANG Jian-ping，WANG Yu-xin.Resonance analysis of gear system with the consideration of dynamic rigidity，transmission error and tooth backlash［J］.Journal of Machine Design，2005，22(9):26-28.

［12］張鎖懷，沈允文，董海軍，等.單級齒輪系統(tǒng)的拍擊振動模型［J］.機械工程學(xué)報，2002，38(12):16-20.

ZHANG Suo-huai，SHEN Yun-wen，DONG Hai-jun，et al.Rattling model of a one-stage gear system ［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2002，38(12):16-20.

［13］ Shen Y J，Yang S P，Liu X D.Nonlinear dynamics of a spur gear pair with time-varying stiffness and backlash based on incremental harmonic balance method ［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2006，48:1256-1263.

［14］申永軍，楊紹普，潘存治，等.參外聯(lián)合激勵下直齒輪副的非線性動力學(xué)［J］.北京交通大學(xué)學(xué)報，2005，29(1):69-73.

SHEN Yong-jun，YANG Shao-pu，PAN Cun-zhi， et al.Nonlinear dynamics of a spur gear pair to parametric and externalexcitations ［J］. JournalofBeijing Jiaotong University，2005，29(1):69-73.

［15］劉國華，李亮玉，李培明，等.含間隙和時變剛度的齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型的研究［J］.機械設(shè)計，2008，125(5):27-30.

LIU Guo-hua，LI Liang-yu，LI Pei-ming，et al.A study on nonlinear dynamics model of the gear system with clearance and time varying stiffness［J］.Journal of Machine Design，2008，125(5):27-30.