基于改進(jìn)EMD的旋轉(zhuǎn)機(jī)械耦合故障診斷方法研究

時(shí)培明 李 庚 韓東穎

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

0 引言

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)裂紋和碰摩單一故障研究較多，提出了一些有效方法來(lái)診斷裂紋故障和碰摩故障［1－4］。但在實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，常常出現(xiàn)裂紋故障和碰摩故障共存的情況。這種耦合故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為較單一故障轉(zhuǎn)子更加復(fù)雜，且故障相互影響，不容易診斷。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］采用有限元方法分析了裂紋碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)，在顯著碰摩故障信號(hào)中診斷出了裂紋故障。文獻(xiàn)［6］建立了帶有裂紋碰摩耦合故障且具有三軸承支承的雙跨彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，利用延拓打靶法和Floquet理論研究其穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于微分的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，并在轉(zhuǎn)子裂紋碰摩耦合故障診斷中取得了良好的效果。雖然，針對(duì)耦合故障的診斷開(kāi)展了一些研究，但是在診斷精度和準(zhǔn)確性上還有待提高。

耦合故障信號(hào)具有典型的非線性和非平穩(wěn)性，對(duì)于這類(lèi)信號(hào)，普通的信號(hào)分析方法具有局限性。EMD是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的處理非平穩(wěn)、非線性信號(hào)的時(shí)頻分析方法［8］。該方法克服了傳統(tǒng)時(shí)頻分析方法中的不足，并在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［9－13］。

本文提出一種基于相似極值延拓法［14］和余弦窗函數(shù)的改進(jìn)EMD方法，并將其應(yīng)用在轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)裂紋碰摩耦合故障診斷中。采用本文方法對(duì)耦合故障仿真信號(hào)進(jìn)行特征提取時(shí)，邊界譜和希爾伯特譜既包含裂紋引起的高頻信號(hào)成分，又包含碰摩引起的低頻信號(hào)成分。由此診斷出該故障系統(tǒng)中同時(shí)存在裂紋和碰摩故障，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1所示為建立的含有裂紋碰摩耦合故障的對(duì)稱(chēng)剛性支承轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)模型［15］。模型兩端對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)軸承支承中間的轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子與軸承之間為無(wú)質(zhì)量的彈性軸。轉(zhuǎn)子左側(cè)有一弓形橫向裂紋，其深度為a。轉(zhuǎn)子受到碰摩故障影響，其碰摩函數(shù)為P。圖1中，O1為軸瓦幾何中心，O2為轉(zhuǎn)子幾何中心，O3為轉(zhuǎn)子質(zhì)心，kc為定子剛度，k為彈性軸剛度，m1為轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量，m2為轉(zhuǎn)子處的等效集中質(zhì)量。左側(cè)滑動(dòng)軸承產(chǎn)生的非線性油膜力在水平和垂直方向上的分力分別為Fx、Fy。

圖1 裂紋碰摩轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)模型

設(shè)轉(zhuǎn)子左端的徑向位移為x1、y1，轉(zhuǎn)子圓盤(pán)的徑向位移為x2、y2，則具有裂紋碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中，u為轉(zhuǎn)子的偏心量；c1為轉(zhuǎn)子在軸承處的阻尼系數(shù)；c2為轉(zhuǎn)子圓盤(pán)的阻尼系數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；g為重力加速；ε、δ為僅與裂紋深度a有關(guān)的相對(duì)剛度參數(shù)；F（Ψ）為裂紋開(kāi)閉函數(shù)，本文采用余弦波模型來(lái)表示裂紋開(kāi)閉過(guò)程；φ0為初相位；β為裂紋方向與偏心之間的夾角，（x，y）為轉(zhuǎn)子初始位置，如圖2所示。

圖2 裂紋截面模型

相對(duì)剛度系數(shù)ε、δ的表達(dá)式為

轉(zhuǎn)子、定子碰摩函數(shù)P（e≥ξ）為

式中，Pn為法向碰摩力；Pt為切向摩擦力；ξ為靜止時(shí)轉(zhuǎn)子與定子之間的間隙；e為轉(zhuǎn)子軸心位移；f為不考慮速度影響時(shí)的摩擦因數(shù)；b為速度影響系數(shù)；v為轉(zhuǎn)子靜件間的相對(duì)滑動(dòng)速度。

e＞ξ時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生碰摩故障，如圖3所示。

碰撞發(fā)生（e≥ξ）時(shí)，轉(zhuǎn)子正向碰摩力與切向摩擦力分解在XY坐標(biāo)系可以表示為

圖3 碰摩力模型

式（1）中油膜力沿X和Y兩個(gè)方向的分量為

式中，μ為潤(rùn)滑油黏度；c為軸承徑向間隙；R為軸承半徑；L為軸承長(zhǎng)度。

2 EMD改進(jìn)方法

HHT（Hilbert－Huang transform）先通過(guò)EMD將待分析的信號(hào)分解為一系列不同尺度的本征模式函數(shù)（intrinsic mode function，IMF）信號(hào)，再針對(duì)這些IMF分量信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換，得到希爾伯特譜。IMF信號(hào)一般滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①?gòu)娜痔匦陨峡?，極值點(diǎn)數(shù)必須和零點(diǎn)數(shù)一致或者至多相差一個(gè)；②在某個(gè)局部點(diǎn)，極大值包絡(luò)和極小值包絡(luò)在該點(diǎn)的算術(shù)平均值是零，即兩條包絡(luò)線關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱(chēng)。

我們可以把任何信號(hào)x（t）按下面步驟分解：

（1）用三次樣條線將所有的局部極大值點(diǎn)連接起來(lái)形成上包絡(luò)線。

（2）用三次樣條線將所有的局部極小值點(diǎn)連接起來(lái)形成下包絡(luò)線。

（3）上下包絡(luò)線的平均值記為m1，求出

理想地，如果h1是1個(gè)IMF，那么h1就是x（t）的第1個(gè)分量。

（4）如果h1不滿(mǎn)足IMF的條件，把h1作為原始據(jù)，重復(fù)步驟（1）～步驟（3），得到上下包絡(luò)線的平均值m11，再判斷h11＝h1－m11是否滿(mǎn)足IMF的條件，如不滿(mǎn)足，重復(fù)循環(huán)k次，得到h1k＝h1（k－1）－m1k，使得h1k滿(mǎn)足IMF條件。記c1＝h1k，則c1為信號(hào)x（t）的第1個(gè)滿(mǎn)足IMF條件的分量。

（5）將c1從x（t）中分離出來(lái)，得到

將r1作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上過(guò)程，得到x（t）的第2個(gè)滿(mǎn)足IMF條件的分量c2，重復(fù)循環(huán)n次，得到n個(gè)滿(mǎn)足IMF條件的分量。這樣就有

當(dāng)rn成為一個(gè)單調(diào)函數(shù)不能再?gòu)闹刑崛M(mǎn)足IMF條件的分量時(shí)，循環(huán)結(jié)束。這樣由式（9）和（10）得到

對(duì)式（11）中的每個(gè)內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)ci（t）作希爾伯特變換得到

構(gòu)造解析信號(hào)

于是得到幅值函數(shù)

和相位函數(shù)

進(jìn)一步可以求出瞬時(shí)頻率：

這樣，原始信號(hào)就可以表示為

相似極值延拓加余弦窗函數(shù)法是改進(jìn)端點(diǎn)效應(yīng)，提高EMD準(zhǔn)確性的新方法。該方法先對(duì)原信號(hào)進(jìn)行相似極值延拓處理，然后加上余弦窗函數(shù)，最后再按照原函數(shù)的長(zhǎng)度去掉延拓部分，這樣可以得到更準(zhǔn)確的IMF。相似極值延拓方法的原理如下。

設(shè)離散信號(hào)：

式中，n為離散數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；Δt為采樣步長(zhǎng)。

X（t）有M個(gè)極大值和N個(gè)極小值，它們對(duì)應(yīng)的時(shí) 間 為tmax（M）和tmin（N），函 數(shù) 值 為xmax（M）和xmin（N）。下面以左側(cè)延拓為例進(jìn)行算法說(shuō)明：

若延拓時(shí)遇到tmin（0）＞0或tmax（0）＞0的情況，需要繼續(xù)延拓出tmin（－1）或tmax（－1），方法如下：

然后在擬合時(shí)只用tmin（－1）、tmax（0）、t1或tmax（－1）、tmin（0）、t1，不再用tmin（0）或tmax（0）。在給延拓出的點(diǎn)賦值時(shí)，若遇到xmin（0）＞x（t1），可令xmin（0）＝xmin（1）；若xmax（0）＜x（t1），可令xmax（0）＝xmax（1）。

定義余弦窗函數(shù)：

式中，L為信號(hào)延拓后的長(zhǎng)度；S信號(hào)兩端延拓中較長(zhǎng)的延拓長(zhǎng)度。

用余弦函數(shù)窗w（t）對(duì)信號(hào)x（t）進(jìn)行處理，即將信號(hào)與窗函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，得到信號(hào)y（t）＝ 〈x（t），w（t）〉：

對(duì)處理后的信號(hào)y（t）進(jìn)行EMD分解，再將分解得出的每個(gè)IMF分量的兩端按照延拓前數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度去掉相應(yīng)的延拓部分。最后對(duì)減去延拓部分的IMF進(jìn)行邊界譜和希爾伯特譜分析。

3 數(shù)值仿真和故障診斷

用EMD方法對(duì)故障進(jìn)行診斷，需要得到故障信號(hào)的時(shí)域圖。由式（1）可以看出，含有裂紋碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)有復(fù)雜外激勵(lì)的非線性系統(tǒng)。目前，分析這種系統(tǒng)的最有效的方法就是數(shù)值仿真，本文用目前最常用的變步長(zhǎng)4階龍格－庫(kù)塔法對(duì)式（1）進(jìn)行數(shù)值求解，系統(tǒng)參數(shù)選取如下：m1＝4kg，m2＝32.5kg，R＝25mm，L＝12mm，c＝0.11mm，a＝15mm，μ＝0.018Pa·s，c1＝1050N·s／m，c2＝2100N·s／m，f＝0.1，b＝0.01，k＝25MN／m，kc＝45MN／m，u＝0.05mm，ω＝789.3rad／s，ξ＝0.5mm，φ0＝β＝0。

通過(guò)數(shù)值仿真得到振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖，圖4a為轉(zhuǎn)子左端的徑向位移x1的時(shí)域圖，圖4b為轉(zhuǎn)子圓盤(pán)的徑向位移x2的時(shí)域圖。由圖4可以看出，由于碰摩和裂紋故障的影響，x1和x2的振動(dòng)有很強(qiáng)的非線性。采用改進(jìn)的EMD方法對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并通過(guò)邊界譜和希爾伯特譜進(jìn)行故障診斷。

圖4 x1和x2的時(shí)域圖

首先對(duì)上述兩圖進(jìn)行延拓加窗處理，再用EMD方法分解得到兩組IMF，如圖5所示。由于EMD方法本身原因產(chǎn)生虛假模態(tài)，故只給出IMF1～I(xiàn)MF4。

圖5 x1和x2的EMD處理結(jié)果

為了得到裂紋碰摩耦合故障的故障特征，需要對(duì)已經(jīng)得到的IMF求邊界譜圖。首先求得轉(zhuǎn)子左端徑向位移x1的邊界譜，如圖6a所示，并通過(guò)與單一故障的邊界譜圖比較來(lái)分析故障特征，如圖6b、圖6c所示。這里的單一故障邊界譜是由耦合故障模型簡(jiǎn)化得到的，由于篇幅所限不進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

圖6 x1邊界譜

為了更好地看出倍頻關(guān)系，圖6、圖7橫軸采用頻率比，即信號(hào)振動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率之比。由圖6a可以看出，x1處的故障信號(hào)除1倍頻外還有2倍頻等高頻存在。通過(guò)與圖6b的比較發(fā)現(xiàn)，高倍頻是由裂紋故障引起的，由此可以診斷出故障信號(hào)含有裂紋故障信號(hào)特征，即該系統(tǒng)存在裂紋故障。但由于耦合作用，低頻碰摩故障信號(hào)特征則不明顯，下面要對(duì)x2的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。

圖7a表明，該信號(hào)同時(shí)含有低頻成分（1／3倍頻）和高頻成分（5／2倍頻、7／2倍頻）。由圖7可知，低頻成分是由碰摩故障引起的，裂紋故障是系統(tǒng)產(chǎn)生高頻信號(hào)的原因，由此診斷出該系統(tǒng)存在裂紋碰摩耦合故障。

希爾伯特譜能夠更清晰地顯示出信號(hào)所含故障特征。圖8表明，x1的信號(hào)中包含1倍頻、2倍頻和3倍頻成分，x2的信號(hào)既含有3倍頻又含有1／3倍頻。由此可以更好地診斷出該系統(tǒng)同時(shí)存在裂紋和碰摩故障。

4 結(jié)語(yǔ)

圖7 x2邊界譜

圖8 x1和x2的希爾伯特譜

對(duì)信號(hào)做延拓加窗處理是一種抑制EMD中端點(diǎn)效應(yīng)的新方法。先利用相似極值延拓方法對(duì)信號(hào)兩端進(jìn)行延拓，再根據(jù)延拓情況對(duì)信號(hào)用余弦窗函數(shù)加以處理，得到更準(zhǔn)確的IMF。把該方法應(yīng)用到裂紋碰摩轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)模型的故障診斷中，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)子左端的振動(dòng)信號(hào)和轉(zhuǎn)子圓盤(pán)處振動(dòng)信號(hào)的分析，準(zhǔn)確診斷出該信號(hào)同時(shí)存在由裂紋引起的高頻信號(hào)和碰摩引起的低頻信號(hào)，證明了改進(jìn)EMD能夠?qū)πD(zhuǎn)機(jī)械耦合故障進(jìn)行有效診斷。

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