自適應有限元法及其分析應用

王宏建，程 芬，滕 爽

（武漢紡織大學 機械工程與自動化學院，湖北 武漢 430073）

1 自適應有限元法

自適應有限元法可根據計算得到的誤差信息判斷解是否具有足夠的精度，即通過事后的誤差估計結果對誤差較大的區(qū)域進行局部網格優(yōu)化［1］。若未達到要求精度，則計算機可自動向滿足精度要求的方向進行網格改進，所以自適應有限元法是一種可自動將算法調整以改進求解過程的數值方法。此時只需初定義描述問題幾何特性的初始網格與可接受的誤差水平，計算機即可自動產生滿足要求的網格，其分析效率與結果可靠性得以大幅度提高。自適應有限元法涉及到的主要技術問題有誤差估計、網格自適應改進以及瞬態(tài)問題的時間步長自適應調整等。為解決這些問題，自適應有限元的分析系統應擁有如下基本模塊：①足夠自由與靈活的自適應網格生成模塊，可根據模型的特點進行網格生成，不再局限于單調的劃分方式；②評價有限元模型精度的誤差估計模塊，為評估分析精度提供了依據，是自適應法改進的基礎；③聯系新、舊網格的模型自適應改進模塊，使已劃分的舊網格誤差分布的信息有效反饋給新劃分的網格，使自適應網格得以快速迭代［2］。

2 自適應有限元法中的h－法與p－法

2．1 h－法

網格的系統變換方法很多，其中一種是通過細化網格以改變單元尺寸大小來實現的。h－法是“h型－加密法”的簡稱，它是一種不改變單元階次，僅在局部區(qū)域進行網格加密以提高求解精度的自適應有限元法。h表示單元尺寸的特征，此法由于不改變劃分單元的階次，故較易于程序實現。

在網格細化加密的過程中，單元尺寸逐漸減小。分析軟件會將相同的模型求解多次，每次使用的網格更密更精細。在模型相同的情況下，h－法的求解時間由目標精度、精度偏差與最大循環(huán)數決定。其中目標精度是模型離散化的整體度量，對局部誤差不敏感；精度偏差是用來說明局部誤差的，彌補了目標精度的缺陷；最大循環(huán)數則是細化劃分網格的次數。h－法的求解起點可以是粗糙的原始尺寸網格，對其進行劃分的過程無需人工操作，但它可能對局部的原始網格進行加粗處理，調整了該處的應力梯度。

2．2 p－法

與h－法不同，p－法是一種在需優(yōu)化的區(qū)域中，不改變劃分網格的大小，而通過逐次增加單元的階數來提高精度的自適應有限元法。它是“p型－改進法”的簡稱，p表示插值多項式的階數，是由迭代結果所驅動的。p－法使用了不同類型的有限元單元進行求解，收斂效率優(yōu)于h－法，但不如它直觀。p－法的解算過程與h－法類似，都增加了模型的自由度，前者通過單元階數的增加，后者通過網格的細化。對于高階的p－單元，作用相當于使h－單元的網格更精細，所以p－法對于粗糙的網格也可以得到準確的結果。

在h－法與p－法的基礎上，結合兩種自適應有限元法的特點，產生了h－p組合法。它是在需要優(yōu)化的區(qū)域內，將網格尺寸與單元的階數同時改變以達到網格參數h、p的最優(yōu)配置來高效提高網格精度的。h－p組合自適應法綜合了h－法與p－法的優(yōu)點，能提供指數率收斂速度，具有重大的工程實際意義，但它實現起來較為困難，有大量問題正在研究中。

3 自適應有限元法在SolidWorks Simulation中的應用

3．1 SolidWorks Simulation軟件

SolidWorks Simulation（簡稱SW－SIM）與許多起初在UNIX環(huán)境中開發(fā)的CAD系統不同，它本身就是專為Windows操作系統開發(fā)的，與 Windows具有很好的整合性，更方便操作。與大型通用有限元分析軟件ANSYS不同，SW－SIM是以線性材料、小變形以及靜態(tài)載荷為假設的有限元設計分析軟件。對于非線性材料、非線性幾何體或動態(tài)問題，可通過它的高級軟件工具分析解決［3］。

3．2 實例求解

如圖1所示，一塊帶孔鋼板，厚度為10mm，兩個小圓處被完全固定，在大圓內法面作用有5 000N的集中載荷，材料屬性設定為AISI 304。圖2為加載后的零件模型。

圖1 帶孔鋼板模型

圖2 加載后的零件模型

現在用常規(guī)有限元法以及自適應有限元法中的h－法、p－法分別求解。網格劃分時均采用高品質單元網格，常規(guī)法使用默認單元大小。因逐次的迭代過程會添加上缺少的自由度數，故h－法與p－法可采用初始的粗糙網格進行劃分。模型經網格劃分后如圖3所示。

圖3 經網格劃分后的模型

此時，常規(guī)法可直接運行求解。對h－法，接受目標精度與精度誤差的默認值，取5次最大循環(huán)數，同時對網格進行粗糙化處理；對p－法，開始階序與最大階序分別設置為2階、5階，取4為最大循環(huán)數，其他設置接受默認值。設置完成后可運行求解。h－法與p－法的選項設置如圖4所示。

圖4 h－法與p－法選項設置

經有限元軟件SW－SIM運行后，3種方法所得最大合位移、最大von Mises應力與自由度數量的結果對比見表1。

表1 3種方法運行結果對比

由表1結果可看出：3種求解方法的位移結果幾乎一樣，應力結果偏差低于10%?？紤]到對任何求解方法高應力集中都較為困難，此結果可算為滿意精度。

4 結束語

通過上述算例可知，常規(guī)有限元法的求解時間最短，自由度數量也最少，但求解精度不高。h－法求解的過程中通過網格細化使自由度數增加，與p－法求解過程中提高劃分單元的階數以增加自由度數相似，都使求解精度增加。這兩種方法消耗的時間明顯增多，所以通常在特定情況下才選擇使用。

自適應有限元法還有許多值得研究與發(fā)展的地方，擁有廣闊的應用前景，如高效的h－p組合自適應有限元法、全自動有限元網格生成法、傳統有限元法的數據結構改進等等。

［1］ 魏紅寧，周本寬．自適應有限元分析的網絡自動生成方法的選擇［J］．西南交通大學學報，1997（10）：477－482．

［2］ 郭書祥．自適應有限元方法及其工程應用［J］．力學進展，1997（4）：479－488．

［3］ 陳超祥，葉修梓．SolidWorks Simulation基礎教程［M］．北京：機械工業(yè)出版社，2009．