高等代數(shù)概念教學(xué)策略初探*

賴弋新，楊慧娟

(青島大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 青島 266071)

“數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維方式，往往脫離了事物的具體物質(zhì)屬性”［1］.所以正確理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生如果不能理解數(shù)學(xué)中的各種概念，就不能很好地掌握各種公理、定理、推論，更談不上利用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題.因此，搞好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵.

高等代數(shù)是高校數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，一般在大一開始學(xué)習(xí).高等代數(shù)中的概念具有高度的抽象性，大一新生由于抽象思維能力發(fā)展等方面的限制，接受高等代數(shù)中的概念會(huì)有一定的困難.如果教師只是照本宣科地提出概念的正確定義，缺乏生動(dòng)的講解，對(duì)某些概念講解不夠透徹，可能使得部分學(xué)生對(duì)概念的理解模糊不清，甚至一知半解，從而也就無法對(duì)概念進(jìn)行準(zhǔn)確應(yīng)用.“因此在教學(xué)過程中，注意利用學(xué)生已有的具體經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生弄清楚新概念的存在性，明確新概念仍是客觀現(xiàn)實(shí)的某種反映”［2］.教師可以結(jié)合學(xué)生心理發(fā)展特點(diǎn)去分析事物的本質(zhì)特征，探尋有效的教學(xué)策略.

1 在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上揭示高等代數(shù)概念來源

對(duì)于抽象的概念，有效的方法就是“重視與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系”使學(xué)生引起認(rèn)知沖突，直面數(shù)學(xué)困惑，置身于渴望解決問題的情境之中.學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)，啟發(fā)學(xué)生在允許的條件下親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)熟悉并重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在已掌握的知識(shí)基礎(chǔ)上去想高等代數(shù)，“經(jīng)歷比較、抽象、概括、假設(shè)、驗(yàn)證和分化等一系列的概念形成過程”［3］，從中學(xué)到研究問題和提出概念的思想方法，在獲得概念的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神.所以在形成高等代數(shù)概念的過程中，首先要有與之相關(guān)的基礎(chǔ)材料，讓高等代數(shù)知識(shí)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活和已有經(jīng)驗(yàn)密切結(jié)合，使學(xué)生感受到高等代數(shù)是有趣的，是有實(shí)際意義的.

例如，“在講解n階行列式的定義時(shí)，首先比較二階行列式展開式，得到:1)它是2!=2項(xiàng)的代數(shù)和;2)每一項(xiàng)都是兩個(gè)元素相乘，且這兩個(gè)元素位于不同的行和不同的列;3)每一項(xiàng)的兩個(gè)元素行標(biāo)按自然順序排列后，其所在列標(biāo)構(gòu)成的全部二元排列為12和21，前一個(gè)為偶排列與其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)a11a22取正號(hào);后一個(gè)為奇排列，與其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)a12a21取負(fù)號(hào)，于是二階行列式可簡寫為:

通過這樣一個(gè)由2階到n階的推廣與抽象，不僅有利于學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，還能促進(jìn)高等代數(shù)直覺的形成、高等代數(shù)知識(shí)思維的發(fā)展，更能促進(jìn)學(xué)生在以后遇到相關(guān)問題時(shí)自覺地運(yùn)用有關(guān)的高等代數(shù)經(jīng)驗(yàn)去思考、解決問題.

2 多渠道幫助學(xué)生理解新概念的存在性

高等代數(shù)中的很多概念，都是建立在其他的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)之上的.所以，高等代數(shù)的概念較抽象，但又源于各自的具體內(nèi)容.因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)中頭腦都已建立了一些概念，所以引入新概念時(shí)，充分利用學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)，是非常重要的，這樣就使學(xué)生能理解新概念的存在性，明確新概念仍是客觀現(xiàn)實(shí)的某種反映.

例如，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式理論時(shí)，多項(xiàng)式的整除、多項(xiàng)式的最大公因式、多項(xiàng)式互素、不可約多項(xiàng)式等概念.學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)中已掌握了多項(xiàng)式的加、減、乘、除及多項(xiàng)式因式分解的常用方法，這些都是理解這些概念的基礎(chǔ)，同時(shí)又可與中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)論中整數(shù)的整除、最大公因數(shù)、整數(shù)的互素、素?cái)?shù)等概念作類比.在引入歐氏空間的概念時(shí)，解析幾何中的向量長度和夾角給出了歐氏空間的具體實(shí)例，歐氏空間中向量的內(nèi)積就是從解析幾何中向量的數(shù)量積這一概念抽象而得到的.“從而學(xué)生會(huì)體會(huì)到歐氏空間這個(gè)概念不是由數(shù)學(xué)家虛構(gòu)的，而是客觀世界中存在的”［1］.

高等代數(shù)的高度抽象性要求在教學(xué)中在給出新問題后，盡可能聯(lián)系實(shí)際例子加以說明.如講線性方程組的行列式解法和矩陣的初等變換法后，如果把它與中學(xué)數(shù)學(xué)的二元一次方程組及三元一次方程組的消元法結(jié)合起來講解，學(xué)生很容易觀察到用消元法解線性方程組的過程，就是對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等變換使其對(duì)角化的過程.同時(shí)，學(xué)生自然認(rèn)識(shí)到矩陣的初等變換存在的必要性與重要性.

3 建立新概念應(yīng)注意概念內(nèi)涵與外延

“概念的形成是一個(gè)積累漸進(jìn)的過程，因此，在概念的的教學(xué)中要遵循從具體到抽象，從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的原則”［3］.給出了新概念的定義以后，還必須建立概念的確定性，即弄清概念的內(nèi)涵與外延.

例如線性空間是高等代數(shù)的一個(gè)重要概念.線性空間概念的實(shí)質(zhì)是線性空間里有一個(gè)向量加法和一個(gè)純量乘法運(yùn)算，且滿足8條規(guī)則.

學(xué)生剛開始接觸這個(gè)定義時(shí)感到很抽象、不習(xí)慣，因此必須在教學(xué)中加以解決.首先依照定義讓學(xué)生逐步掌握“線性空間”的以下意涵:1)線性空間是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng);2)線性空間中定義了兩種代數(shù)運(yùn)算，一個(gè)稱為加法，一個(gè)稱為數(shù)量乘法;3)加法滿足4條規(guī)則，數(shù)乘也滿足4條規(guī)則.同時(shí)例舉大量例子加以驗(yàn)證，這樣學(xué)生就能胸有成竹了.

隨著教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)行，學(xué)生對(duì)線性空間的認(rèn)識(shí)也會(huì)逐漸加深.他們將逐步認(rèn)識(shí)到歐氏空間也是在線性空間的概念中添加一些內(nèi)容構(gòu)成的，事實(shí)上，歐氏空間是特殊的線性空間，它在線性空間的基礎(chǔ)之上定義了一個(gè)二元函數(shù)(被稱為內(nèi)積)，且這個(gè)二元函數(shù)滿足4條規(guī)則，進(jìn)一步，學(xué)生還能看到歐氏空間中還有向量長度和夾角的概念，這與學(xué)生已經(jīng)具備的空間解析幾何知識(shí)非常接近，學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中對(duì)線性空間的理解就會(huì)逐步得到加強(qiáng)，抽象感就逐漸消失了.

4 實(shí)施變式教學(xué)，回歸問題原型

“合理的變式教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生有意義的主動(dòng)學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而發(fā)展他們靈活地解決問題的能力”［5］.所以在高等代數(shù)概念教學(xué)中可借助適度變式，提出富有探究性、挑戰(zhàn)性的問題，讓學(xué)生在嘗試中體驗(yàn)高等代數(shù)概念，通過自己的思考建立起對(duì)概念的理解，逐漸認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì).

例如，我們?cè)谥v解線性變換概念時(shí)，首先必須了解什么是變換，其次思考什么是線性的變換，考慮到是線性空間上的線性變換，變換還必須保持加法和數(shù)乘.在講完線性變換概念后，為了鞏固所學(xué)知識(shí)，可以加強(qiáng)變式練習(xí).如可以讓學(xué)生練習(xí):判斷下列所定義的各變換σ是否為線性變換，1)線性空間V中，σ(x)=x+α，其中α為V中一固定向量;2)線性空間V中，σ(x)=α，其中α為V中一固定向量;3)把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域的線性空間上，σ(x)=.通過這些變式讓學(xué)生體驗(yàn)線性變換概念，自己思考并建立起對(duì)線性變換概念的理解，逐漸認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì).

5 通過反思深化對(duì)高等代數(shù)概念的理解

德國哲學(xué)家黑格爾認(rèn)為反思是從聯(lián)系中把握事物內(nèi)部的對(duì)立統(tǒng)一本質(zhì)的概念.在高等代數(shù)概念教學(xué)中，促使學(xué)生反思他們的體驗(yàn)和獲得的知識(shí)，不僅可以提高反思性學(xué)習(xí)的能力，而且可以讓學(xué)生對(duì)高等代數(shù)的概念有更為深刻的理解.

例如，講解特征值與特征向量的概念后，讓學(xué)生從幾何的角度反思特征值與特征向量的概念，如從幾何上看，特征向量ξ與其像σ(ξ)在同一直線上，當(dāng)特征值λ0＞0時(shí)，兩向量方向相同，當(dāng)特征值λ0＜0時(shí)，兩向量方向相反，當(dāng)特征值λ0=0時(shí)，σ(ξ)=0.通過這些反思，學(xué)生會(huì)對(duì)特征值與特征向量有更深刻的理解.

再如“證明:若矩陣 A，B∈Pn×n，AB=0，則秩(A)+秩(B)≤n”，讓學(xué)生反思這類證明的基本思路就是:由AB=0，于是B的列向量是齊次線性方程組AX=0的解，由秩(A)=r，則AX=0的基礎(chǔ)解系由n－r個(gè)解組成，所以秩(B)≤n－r，因而秩(A)+秩(B)≤n，通過這樣一個(gè)反思過程，學(xué)生可以更深刻地理解矩陣秩的概念和證明秩的不等式的方法.由此可見，對(duì)一個(gè)新概念的理解不能只靠定義的解釋，其他問題和習(xí)題的運(yùn)算或推證等學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)于深刻理解一個(gè)概念的本質(zhì)屬性也是十分必要的.

6 結(jié)語

“語言是思維的物質(zhì)載體，高等代數(shù)概念是用科學(xué)、精練的數(shù)學(xué)語言概括表達(dá)出來的，它所揭示事物的本質(zhì)屬性必須是確定的，無矛盾的，有根有據(jù)并合情合理的”［3］.所以，高等代數(shù)概念形成之后，應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生用語言表述出來以加深對(duì)高等代數(shù)概念的印象，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化.

教師在學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)概念的過程中，要做好引導(dǎo)工作，注重培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)與參與意識(shí)，改變傳統(tǒng)高等代數(shù)教學(xué)中“重定理證明、輕概念”的思想，幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)，改變學(xué)習(xí)方法.如教師可以引導(dǎo)學(xué)生去感受高等代數(shù)概念引入的必要性與合理性;引導(dǎo)學(xué)生合理地進(jìn)行高等代數(shù)概念的抽象;引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高等代數(shù)概念的“數(shù)學(xué)化”來培養(yǎng)語義轉(zhuǎn)化能力;引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在高等代數(shù)概念的定義中進(jìn)行科學(xué)的歸納;引導(dǎo)學(xué)生在高等代數(shù)概念的應(yīng)用中深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解、體會(huì)概念的價(jià)值，從而讓課堂有機(jī)、有序、高效地達(dá)成目標(biāo).

除了引導(dǎo)，我們認(rèn)為必要的時(shí)候，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生提供一定力度的干預(yù).如當(dāng)學(xué)生對(duì)概念的理解或是表述出現(xiàn)偏差時(shí)，教師要及時(shí)制止，以便培養(yǎng)學(xué)生正確的表述高等代數(shù)概念的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.這也有利于高等代數(shù)教學(xué)目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn).

［1］劉志輝.高等代數(shù)概念教學(xué)之我見［J］.遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，(6):171 －172.

［2］翟瑩.師范院校高等代數(shù)與解析幾何教學(xué)改革探究［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，(1):112－114.

［3］鐘向軍.初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)淺探［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2007，(3):130 －131.

［4］王文省，趙建立，于增海，等.高等代數(shù)［M］.濟(jì)南:山東大學(xué)出版社，2004.

［5］鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學(xué)研究(再續(xù))［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003，(3):6 －12.