人在雨中行走時的淋雨量問題

邱仰聰

(順德職業(yè)技術學院 人文教育系，廣東 佛山 528333)

人在雨中行走時的淋雨量問題

邱仰聰

(順德職業(yè)技術學院 人文教育系，廣東 佛山 528333)

人在外出行走時被淋雨，應該如何選擇行走速度使得淋雨量最小，這個問題一直引起人們的興趣，也有很多學者通過建立數(shù)學模型給予解答.一些文獻給出了直觀簡單并具有創(chuàng)新性的思維方法，但也分別存在一定的缺點.通過適當采用并修正、補充參考文獻中的方法，糅合這些方法的優(yōu)點，彌補其不足，利用三維角度和單調性分析對淋雨量問題給出更加嚴謹?shù)慕獯?，并?jīng)過Matlab軟件進行更深層次的分析，得出有價值的結論.

淋雨量；行走速度；數(shù)學模型；三維；單調性

人在外出行走時遇雨，由于未帶雨具而被淋雨，這時只好頂著大雨快跑.從下雨一直到人到達目的地為止，人們總希望這個過程自身的淋雨量最小.一般人會選擇在雨中盡快地行走，以減少被雨淋的時間，但也有人認為雨中行走的速度越快，身體“撞”上的雨量也大，間接造成淋雨量增大，主張以正常速度行走即可.到底淋雨時行走速度是否越快越好，一直都是人們感興趣的問題，也是高職數(shù)學建模問題中典型的一例.國內一些高校的教師、學者嘗試使用了不同的方法，并作出了自己的解答[1-5]，其中文獻[1]給出了兩種思考的方法，方法均直觀簡單，而且具有創(chuàng)新性，但也分別存在一定的缺點.本文適當采用并糅合這兩種方法的優(yōu)點，彌補其不足，再經(jīng)過Matlab軟件進行更深層次的分析，得到更切合實際的結果.

1 模型分析

1.1 對文獻中數(shù)學模型的分析

文獻[1]分析了雨中行走時人的淋雨量問題，給出了兩種方法.方法一，設定相關變量和構造數(shù)學模型是其一大亮點，尤其是提出了使用降雨強度系數(shù)，以及把人體看作是一個長方體，再從不同的方向計算人淋雨的總量，這些方法都非常獨到新穎，但其缺點也很明顯，集中表現(xiàn)在完全忽視了雨滴可能在人側面下落的情況，只考慮在人前后部和頂部下落的雨量，使得結論過于簡單，缺乏說服力；方法二優(yōu)點在于選擇了適當?shù)淖鴺讼担紤]了雨滴下落的三維情況，并且利用函數(shù)單調性分析了淋雨量與行走速度之間的函數(shù)關系，彌補了方法一的缺陷，得到的一些結論也明顯比方法一更清晰，但是某些結論沒有繼續(xù)深入討論下去，而且該方法也沒有得出最小的淋雨量(如果存在的話)關于行走速度的函數(shù)表達式.

本文針對以上兩種方法的優(yōu)缺點，取長補短，采用了其解決問題的部分思維方式以及部分變量符號的定義，對其不足之處進行適當?shù)男拚脱a充，從雨滴下落的三維角度更深入地討論人的淋雨量問題.

1.2 模型的假設

為簡化問題的復雜程度，以便在合理的前提下建立合適的數(shù)學模型，作出如下假設：①把人體看作一個長方體的形狀；②人在行走過程中，雨滴下落的速度、方向保持不變；③人需要行走的路程為一定值，行走的方向、速度均保持不變.

1.3 相關的符號說明

2 模型的建立

人在雨中行走時淋雨量的大小主要取決于降雨的雨量大小、方向，以及人行走的路程長短和行走的速度.現(xiàn)在的目標是，求出最佳行走速度，使得人在雨中行走時的淋雨量最小.

建立數(shù)學模型的關鍵在于確定合適的坐標系，以人行走的方向為x軸的正向，左側為y軸的正向，頂部上方為z軸的正向，rx、ry、rz分別為r在x軸、y軸、z軸上的分量，即有

1) 當rx＞0時，0°≤β＜90°或270°＜β＜360°.這時，雨滴從人的正面落下.由于cosβ＞0，即有v+rcosθcosβ＞0，因此

2) 當rx=0時，β=90°或270°.這時，雨滴從人的側面落下.由于cosβ=0，因此

3) 當rx＜0時，90°＜β＜270°.這時，雨滴從人的后面落下，因此

由于90°＜β＜270°，所以cosβ＜0且a?whrcosθ cosβ＞0，以下分三種情況討論.

3 對模型進一步的分析

從以上得出的結論可知，在大多數(shù)的降雨情況下，人還是應該以最大速度往前跑，除非雨滴下落在人行走的后面時，才有可能有使淋雨量最小的最佳速度選擇.人們應該進一步把目光放在滿足什么條件的前提下，才有這樣的最佳速度選擇.從前面分析可知，這個前提條件是

進一步簡化后有

它與雨滴下落的角度和人的身材比例相關，其中后者相對比較穩(wěn)定，因此該前提條件主要跟雨滴下落的角度有關.

不妨設d=0.20 m，w=0.50 m，h=1.60 m，這時式(1)為

根據(jù)雨滴下落方向與地平面的所成角的實際情況，另設45°≤θ≤90°；由于雨滴下落在人行走的后方，這時90°＜θ＜270°.

若固定θ(45°≤θ≤90°)，β在90°～270°，以0.1°為步長，利用Matlab軟件可以得出式(2)成立的概率.由圖1可見，其概率隨θ的增大而減少.當θ=45°時，式(2)成立的概率接近0.7，但當θ＞80°時，其概率迅速減少至0.

若固定β(90°＜β＜270°)，θ在45°～90°，以0.1°為步長，利用Matlab軟件可以得出式(2)成立的概率.由圖2可見，在90°＜β＜180°時其概率隨β的增大而增大，在180°＜β＜270°時其概率隨β的增大而減少，該概率函數(shù)的曲線關于β=180°對稱.當β=180°時，式(2)成立的概率最大，約為0.84；但當90°＜β＜120°或240°＜β＜270°時，其概率等于或幾乎等于0.

圖1 固定θ,β在90°～270°，式(2)成立的概率

圖2 固定β,θ在45°～90°，式(2)成立的概率

若取r=4 m/s，則人行走的最佳速度v將取決于θ和β的取值，但肯定不超過r=4 m/s，對一般人來說這個速度不難達到.若雨滴下落方向越傾斜(θ越小)，以及其水平方向越接近人行走的反方向(β越接近180°)，則人行走的最佳速度v也將越大，反之將越小，但前提是θ和β的取值必須在使得式(2)成立的范圍以內.

圖3 式(2)成立的范圍

[1]郭培俊. 高職數(shù)學建模[M]. 杭州：浙江大學出版社，2010：8-12.

[2]李志業(yè)，李秋紅，海柱. 人在雨中行走時人身上淋雨量的分析[J]. 許昌師專學報，2000，19(5)：22-24.

[3]馬幸華. 關于雨中行走的速度問題[J]. 蘇州教育學院學報，2003，20(3)：67-68，79.

[4]張曼清. 利用常微分方程分析淋雨模型[J]. 雞西大學學報，2005，5(1)：36-37.

[5]趙曉東. 函數(shù)的單調性和極限在淋雨模型中的應用[J]. 阜陽師范學院學報：自然科學版，2006，23(4)：24-26.

[6]顏文勇. 數(shù)學建模[M]. 北京：高等教育出版社，2011：179-181.

The Problem of the Amount of Rain Falling on People Walking in Rain

QIU Yang-cong

(Department of Humanities & Education，Shunde Polytechnic，F(xiàn)oshan 528333，China)

When people walk in rain，the problem of at what speed they have the minimum of rain falling on them arouses people's interest.Many scholars have tried to give the solution by building a mathematic model.Some references offer straightforward and innovative ways，but those ways have some shortcomings respectively.Through adopting，correcting and supplementing the ways in the references，this paper combines the advantages and compensates for the weaknesses.It gives more rigorous solutions to the problem of rain amount through three-dimension and monotonicity analyses，and makes deeper analyses by using Matlab to arrive at valuable conclusions.

rain amount；walking speed；mathematical model；three-dimension；monotonicity

O13

A

1008-5475(2013)03-0040-04

2013-05-13；

2013-06-09

邱仰聰(1984-)，男，廣東惠州人，講師，主要從事高等數(shù)學研究.

(責任編輯：沈鳳英)