排隊論在AGV系統(tǒng)性能指標分析中的應(yīng)用研究

劉 洋，金亞萍，向光義，丁 瑩，曾銳南 （機科發(fā)展科技股份有限公司，北京 100044）

LIU Yang, JIN Ya-ping, XIANG Guang-yi, DING Ying, ZENG Rui-nan (Machinery Technology Development Co.,Ltd,Beijing 100044,China)

自動導(dǎo)引車（Automated Guided Vehicle，AGV）系統(tǒng)是指能按預(yù)先所規(guī)劃好的路徑和指定的任務(wù)要求，精確行走并?？康街付ǖ奈恢茫⑼瓿梢幌盗凶鳂I(yè)任務(wù)的自動導(dǎo)引的無人駕駛自動化車輛系統(tǒng)。對AGV系統(tǒng)進行規(guī)劃的目的就是為了提高AGV系統(tǒng)和各種自動化加工設(shè)備的使用效率，最終表現(xiàn)為以最少數(shù)量的AGV小車完成物流系統(tǒng)所規(guī)定的物料搬運任務(wù)。因此，AGV系統(tǒng)中AGV小車數(shù)量的確定也是進行AGV系統(tǒng)規(guī)劃很重要的問題之一。

1 問題的提出

對于排隊問題來說，主要有“顧客”和“服務(wù)員”問題，顧客和服務(wù)員的含義完全是廣義的，可根據(jù)具體問題而不同，我們把得到服務(wù)的對象統(tǒng)稱為“顧客”，將提供服務(wù)的服務(wù)者稱為“服務(wù)員”，對于AGV系統(tǒng)來說，那些需要搬運的貨物稱為顧客，而提供搬運服務(wù)的AGV小車稱為服務(wù)員。下面假設(shè)在一個具體的物流系統(tǒng)中，有n個出庫站臺，各出庫站臺平均每小時有λ次搬運任務(wù)，單位時間內(nèi)AGV小車服務(wù)搬運任務(wù)的次數(shù)為μ，分析此物流系統(tǒng)在包含一臺、多臺等不同AGV小車的情況下，物流系統(tǒng)中的平均貨物數(shù)L、等待搬運服務(wù)的平均貨物數(shù)Q、貨物在系統(tǒng)中的平均逗留時間W、貨物在隊列中的平均等待時間D以及相應(yīng)的系統(tǒng)服務(wù)強度等各項系統(tǒng)性能指標。

2 AGV系統(tǒng)排隊論數(shù)學(xué)模型的建立

（1）排隊系統(tǒng)的模型框圖（見圖1）

由圖1可知，AGV排隊系統(tǒng)主要由搬運貨物到達過程、排隊規(guī)則和AGV服務(wù)規(guī)則三部分組成。

（2）物料搬運任務(wù)到達過程的確定

因為首先立體倉庫內(nèi)各站臺出現(xiàn)搬運任務(wù)的事件流可以看作具有平穩(wěn)性，在時間段τ內(nèi)各站臺出現(xiàn)任何數(shù)量搬運任務(wù)的概率只與τ的長度有關(guān)，而與τ在時間軸上的位置無關(guān)；其次，我們認為各站臺出現(xiàn)搬運任務(wù)的事件流具有無后效性，因為每個站臺不可能同時約好在某一時刻同時出現(xiàn)搬運任務(wù)；同時我們還認為各站臺出現(xiàn)搬運任務(wù)的事件流具有普通性，在同一瞬時，多個站臺同時出現(xiàn)搬運任務(wù)的概率比一個站臺出現(xiàn)搬運任務(wù)的概率小到可以忽略的程度，各工位搬運任務(wù)的出現(xiàn)是逐個發(fā)生的；最后各工位出現(xiàn)搬運任務(wù)的事件流明顯具有有限性，因為在任意時間段內(nèi)不可能出現(xiàn)無限個搬運任務(wù)。由以上分析可知，我們假設(shè)AGV需要搬運貨物的搬運任務(wù)到達的過程為泊松分布過程。

圖1 排隊系統(tǒng)的模型框圖

（3）AGV小車的服務(wù)事件流的確定

由于AGV小車的服務(wù)過程首先要從原先停留的位置行駛到搬運任務(wù)的起始站臺，裝上搬運貨物后，再由起始站臺行駛到目的站臺，然后再在目的站臺上卸下貨物。所以AGV小車服務(wù)的事件流就比較復(fù)雜，就工位裝卸貨物這一事件流來講，我們可以認為每次裝卸毫不相干，裝卸事件的發(fā)生具有無記憶性，可看作是一個泊松流，在每次搬運服務(wù)的過程中，為了簡化系統(tǒng)的建模，可以認為各個AGV小車運動的時間是相互獨立的，也可看成是一個泊松過程，因此，把AGV的服務(wù)時間也看作服從參數(shù)為μ的負指數(shù)的分布，依此來考察整個排隊過程。

（4）貨物排隊規(guī)則

貨物排隊規(guī)則采用先到先服務(wù)的規(guī)則。

3 利用數(shù)學(xué)模型分析AGV系統(tǒng)性能指標與系統(tǒng)中所含AGV數(shù)量的關(guān)系

在進行AGV系統(tǒng)設(shè)計時，由于單臺AGV小車系統(tǒng)與多臺AGV小車系統(tǒng)在理論計算方面有較大的差別，下面我們分別加以討論。

（1）單臺AGV小車系統(tǒng)的性能分析

建立單服務(wù)臺模型，即系統(tǒng)中各搬運站臺出現(xiàn)搬運任務(wù)的到達流為泊松流，所以到達的時間間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，而服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，由于在系統(tǒng)中只有一臺車時，這一排隊過程屬于排隊論中的M/M/1型，各符號的含義為M表示負指數(shù)分布、1表示服務(wù)員的個數(shù)為1個，對于倉庫管理系統(tǒng)，假設(shè)物料的個數(shù)無限制但貨物的出庫站臺是有限制的（如為6個），則搬運任務(wù)的隊長有限制，則采用M/M/1/N型，我們用λ表示貨物的到達率，也就是說貨物相繼到達的間隔時間為獨立的指數(shù)隨機變量，其均值為1/λ，用μ表示AGV小車的服務(wù)率（μ為單位時間內(nèi)AGV小車服務(wù)搬運任務(wù)的次數(shù)），小車的搬運時間也為獨立的指數(shù)隨機變量，其均值為1/μ。到達率與服務(wù)率之比，即：

ρ=λ/μ是一個很重要的參數(shù)，它稱為服務(wù)強度。設(shè)ρ＜1，也就是說AGV小車相繼搬運服務(wù)的間隔時間小于貨物相繼到達的間隔時間。相反地，假如ρ＞1，隊列將排至無限遠，這樣的排隊系統(tǒng)在實際中是絕不可取的。

AGV小車的利用率也可用服務(wù)強度來表征，服務(wù)強度大則AGV小車的利用率高。

下面列舉例子說明：

（2）多臺AGV小車系統(tǒng)的性能分析

多服務(wù)臺系統(tǒng)容量有限制的模型為M/M/s/K型，它是指貨物的相繼到達時間服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，可進行搬運服務(wù)的AGV小車的個數(shù)為s，每個小車的服務(wù)時間相互獨立，且服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為K。

根據(jù)上式可算得下面的物流系統(tǒng)的性能指標（ρ≠1時）。

下面列舉例子說明：

由上述公式知：

系統(tǒng)中等待搬運服務(wù)的平均貨物數(shù)Q：

其中：λ為各工位出現(xiàn)搬運任務(wù)的強度（單位時間內(nèi)貨物到達站臺的次數(shù)），μ為小車的服務(wù)率（單位時間內(nèi)AGV服務(wù)搬運任務(wù)的次數(shù)），c為系統(tǒng)中的小車數(shù)。

（3）單臺AGV車系統(tǒng)與多臺AGV車系統(tǒng)的性能比較

由上述計算可知，對于AGV系統(tǒng)中相同的貨物到達率λ，和相同的小車服務(wù)率μ，單臺車系統(tǒng)與多臺車系統(tǒng)的性能比較如表1所示。路部門不管是發(fā)生行車事故還是發(fā)生別的突發(fā)事故首先要考慮的是應(yīng)急物資的調(diào)配，保證災(zāi)區(qū)人民的基本生活。也就是說電力集團是保證電網(wǎng)的正常運轉(zhuǎn)，鐵路部門是保障應(yīng)急物資的及時送達。這兩大集團在物資上面是不同的，但是物資調(diào)配的原理是相同的，都是要保障人民生活的正常運轉(zhuǎn)。

表1 救援點與受災(zāi)點間的物資需求平衡表

在面對突發(fā)事故時，應(yīng)急物資的調(diào)配，首先要考慮保證時間的及時性，其次要考慮物資調(diào)配的成本，不考慮成本就會浪費過多的人力、財力、物力，有時應(yīng)急物資也不能夠及時運達災(zāi)區(qū)。當事故發(fā)生時，不管是政府還是公益組織從全國各地甚至是世界各地調(diào)運應(yīng)急物資時一定要根據(jù)實際情況在控制成本的情況下合理調(diào)配物資，建立一套合理運輸模型，然后及時地將應(yīng)急物資運送到災(zāi)區(qū)人民手中。

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