基于自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)的反推終端滑模再入飛行控制

史 震，張玉芳，孫 蓉，馬文橋，林 強(qiáng)

(1.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，150001哈爾濱;2.空軍航空大學(xué)，130022長春)

空天飛行器(aerospace vehicle，ASV)再入飛行段，大攻角的高速再入造成了飛行器速度、高度和姿態(tài)的極大變化，其運(yùn)動方程表現(xiàn)出強(qiáng)非線性及耦合等動態(tài)特性.其次，ASV的再入飛行存在大量的外界干擾，以及ASV內(nèi)部參數(shù)的不確定性等問題［1］.因此，傳統(tǒng)的控制方法已經(jīng)無法滿足飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求，必須尋求更為有效的方法進(jìn)行ASV控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì).

近年來，自適應(yīng)反推控制已成功應(yīng)用到飛行控制設(shè)計(jì)中［2-6］.文獻(xiàn)［3-5］分別對存在不確定性的飛行器系統(tǒng)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，這種方法通常要求系統(tǒng)的不確定性的界已知或滿足線性增長條件，而飛行環(huán)境惡劣的ASV系統(tǒng)顯然很難滿足要求.因此，從飛行器內(nèi)部參數(shù)的不確定性考慮，文獻(xiàn)［7-8］將未知?dú)鈩訁?shù)看作待估計(jì)參數(shù)矩陣或向量，采用自適應(yīng)策略補(bǔ)償氣動參數(shù)不確定性引起的控制系統(tǒng)性能的下降，降低了控制器設(shè)計(jì)對于系統(tǒng)模型的要求.

本文建立了ASV的具有時(shí)變參數(shù)的嚴(yán)格反饋形式的被控模型，將ASV未知?dú)鈩訁?shù)轉(zhuǎn)化為待估計(jì)參數(shù)矩陣或向量，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律在線估計(jì)飛行器控制模型的氣動參數(shù).與文獻(xiàn)［2-6］相比，充分利用了系統(tǒng)的已有信息，并結(jié)合自適應(yīng)反推控制、滑模控制，提出了一種基于自適應(yīng)反推法的終端滑模控制方法，并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有誤差一致最終有界.該方法放寬了系統(tǒng)模型參數(shù)不確定的限制，對于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化具有很強(qiáng)的魯棒性.

1 模型的建立

1.1ASV的動力學(xué)模型

ASV姿控模型是一類不確定仿射非線性系統(tǒng)［9］.根據(jù)時(shí)標(biāo)分離原理，可分為快慢不同的4組［10］，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)按照其中兩組變量進(jìn)行設(shè)計(jì)，較慢變量α，β，γ分別為攻角、側(cè)滑角與滾轉(zhuǎn)角;快變量p，q，r分別為滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度與偏航角速度.其非線性動態(tài)方程描述為

式中:δx，δy，δz分別為副翼偏轉(zhuǎn)角、升降舵偏角和方向舵偏角;μ為彈道傾角;m為質(zhì)量;v為飛行速度為平均氣動弦長;Q為動壓;S為參考面積;CL，CY，Clβ，Clp，Cmα，Cmq，Cnβ，Cnr均為氣動參數(shù);Ⅰxx，Ⅰyy，Ⅰzz為不同方向上的轉(zhuǎn)動慣量.

1.2ASV不確定模型的建立

ASV利用地球的稠密大氣在再入過程中減速下降，這使得其飛行環(huán)境和氣動特性具有快速時(shí)變的特性.因此，ASV的控制問題是一個(gè)快速時(shí)變參數(shù)的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題.通過分析其動態(tài)模型，將未知?dú)鈩訁?shù)轉(zhuǎn)換為待估計(jì)參數(shù)向量θ1、θ2或矩陣θg，則被控模型轉(zhuǎn)化為

將f1(x1)簡單記為f1，其余矩陣函數(shù)作類似處理，則式(2)可改寫為

式中:

2 自適應(yīng)動態(tài)面控制

ASV控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是針對式(3)，通過設(shè)計(jì)控制器消除不確定性的影響，使系統(tǒng)的輸出y(t)跟蹤期望的參考軌跡yd(t).為了設(shè)計(jì)反推終端滑模控制器，需要如下假設(shè)條件:1)給定的參考信號yd(t)連續(xù)可導(dǎo)且n階導(dǎo)數(shù)有界.2)在緊集Ω上，｜g1｜≠0，且存在常數(shù)σ10、σ11，使得0＜σ10≤‖g1‖≤σ11;｜g2θg(t)｜≠0，且矩陣的最小奇異值σ，滿足對?ε＞0，σ≥ε，?x∈Ω.

針對式(3)，采用反推法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體設(shè)計(jì)步驟如下.

圖1 基于自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)的反推終端滑?？刂葡到y(tǒng)圖

步驟1針對x1子系統(tǒng)，以x2為虛擬控制輸入，使得角度x1=［α，β，γ］T的跟蹤誤差一致最終有界，定義跟蹤誤差變量e1=x1-x1d，則

選擇虛擬控制輸入x2c為

其中:K1為正定的對角矩陣，1為參數(shù)θ1的估計(jì)值.

需要注意的是，在實(shí)際控制量u的設(shè)計(jì)過程中，為了避免對x2c進(jìn)行求導(dǎo).引入一階低通濾波器［11］對虛擬控制律進(jìn)行濾波，以降低計(jì)算的復(fù)雜性.濾波器動態(tài)方程為

式中:τ為設(shè)計(jì)的濾波時(shí)間常數(shù)，τ＞0.

為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定義虛擬控制量的濾波誤差為

將式(5)、(7)代入式(4)得

定義Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)假設(shè)條件，可知

將式(11)、(12)代入式(10)，得

步驟2對于x1，x2組成的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制輸入u，使得x1-x1d，x2-x2c一致最終有界.基于終端滑模具有有限時(shí)間收斂的優(yōu)點(diǎn)，在控制器設(shè)計(jì)中引入滑?？刂?，設(shè)計(jì)滑模面

式中:e2=x2-x2c，a＞0，b＞0，q＜p，且q，p均為正奇數(shù).

取控制量uc與參數(shù)θ2，θg的自適應(yīng)律分別為

式中:Ks，ρ為正定對角矩陣;η2，ηg＞0,分別為參數(shù)θ2，θg估計(jì)值，由于g2是通過在線估計(jì)θg得到的，很難保證其非奇異性，因而采用廣義逆

代替g2的逆.

如果式(15)采用g2的廣義逆矩陣，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，在式(3)的控制器設(shè)計(jì)中引入魯棒項(xiàng)［12］ur，則設(shè)計(jì)控制量

其中:

定理考慮式(3)，在假設(shè)條件1)、2)成立的條件下，根據(jù)上述設(shè)計(jì)過程，通過恰當(dāng)?shù)倪x擇正定對角矩陣K1，Ks，ρ，正常數(shù)τ，a，b，p，q，ρ，δ(0)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用虛擬控制量式(5)與實(shí)際控制量式(18)～(22);參數(shù)調(diào)節(jié)律采用式(9)、(16)，則閉環(huán)系統(tǒng)所有信號一致最終有界．

證明 為證明閉環(huán)系統(tǒng)所有誤差信號一致最終有界，定義Lyapunov函數(shù)V2=V1+Vs，

由式(13)可知，若設(shè)計(jì)合理的控制量u，使得e2收斂到零，則可保證x1的跟蹤誤差e1與濾波誤差ω1一致最終有界.

下面證明采用控制量式(18)～(22)，使得系統(tǒng)的跟蹤誤差e2收斂到零.

將式(16)、(18)～(22)代入式(24)，得

根據(jù)假設(shè)條件2)，有

則

當(dāng)S≠0時(shí)，＜0，跟蹤誤差e2在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零.且由文獻(xiàn)［13］的引理4.3可知，在緊集Ω上，存在一個(gè)實(shí)數(shù)C＞0，使得‖2c‖2＜C.則式(13)可轉(zhuǎn)化為

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制方法的正確性和有效性，針對ASV再入姿態(tài)控制進(jìn)行了仿真和分析.設(shè)定ASV模型的初始條件:m=641 kg，H=30 km，b=0.8 m，S=0.502 4 m2，v=2 500 m/s，v聲=301.805 m/s，ρ=0.018 4 kg/m3，g=9.757 m/s2，μ0=-21.6°，α0=0°，β0=0°，γ0=0°.取δ(0)=1，自適應(yīng)律系數(shù)設(shè)計(jì)為η1=3，η2=5，ηg=0.5.

分兩種情況進(jìn)行對比仿真.當(dāng)飛行器氣動參數(shù)無攝動時(shí)，將確定ASV系統(tǒng)的常規(guī)反推控制效果，與系統(tǒng)含有自適應(yīng)估計(jì)參數(shù)時(shí)的反推控制效果相比較，仿真結(jié)果如圖2、3所示，為簡便起見，常規(guī)反推控制器參數(shù)選取為K1=diag(10，5，10)，K2=diag(25，25，15).

圖2 氣動參數(shù)無攝動時(shí)的角度響應(yīng)曲線

圖3 氣動參數(shù)無攝動時(shí)的舵偏角

圖2、3分別給出了角度跟蹤曲線與舵偏角曲線.由圖可見，在系統(tǒng)參數(shù)無攝動時(shí)，將氣動參數(shù)看作待估計(jì)的參數(shù)向量或矩陣，所設(shè)計(jì)的帶有自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)的反推控制器具有良好的控制效果.仿真過程中未出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，由此也說明，通過引入矩陣的廣義逆，避免了控制增益參數(shù)估計(jì)過程中可能出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象.

當(dāng)氣動參數(shù)存在攝動情況下，設(shè)計(jì)自適應(yīng)反推終端滑?？刂破?選取參數(shù)為a=1，b=0.1，q=5，p=7，K1=diag(10，8，10)，Ks=diag(20，20，15)，ρ=diag(20，20，15).將常規(guī)反推控制效果與自適應(yīng)反推終端滑?？刂菩ЧM(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖4、5所示.

圖4 氣動參數(shù)攝動-50%時(shí)的角度響應(yīng)曲線

圖5 氣動參數(shù)攝動-50%時(shí)的舵偏角

由圖4、5可知，在不考慮初始段偏差的情況下，采用常規(guī)反推控制器得到的攻角、側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角最大跟蹤誤差分別為0.926°，0.141°，0.024 8°;而含有自適應(yīng)估計(jì)參數(shù)時(shí)的反推終端滑模控制器得到的攻角、側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角最大跟蹤誤差分別為0.046 5°，0.089°，0.023 8°.通過比較可以看出，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)存在攝動時(shí)，含有自適應(yīng)估計(jì)參數(shù)的反推控制中引入滑模面，一方面使超調(diào)量有所減小，實(shí)現(xiàn)了對不確定參數(shù)的穩(wěn)定估計(jì)，增強(qiáng)系統(tǒng)對于參數(shù)大幅度攝動的適應(yīng)能力，另一方面可有效提高控制收斂速度與控制精度.

4 結(jié)論

1)針對ASV再入飛行時(shí)，外界環(huán)境劇烈變化造成的系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題，建立了具有時(shí)變參數(shù)的嚴(yán)格反饋形式的ASV被控模型，提出了基于自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)的反推終端滑?？刂圃O(shè)計(jì)方法.

2)通過理論推導(dǎo)與仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號一致最終有界并且跟蹤誤差收斂到給定軌跡的任意小范圍內(nèi).與傳統(tǒng)反推控制器相比，減小了誤差系統(tǒng)的收斂時(shí)間和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差.對于參數(shù)不確定的ASV系統(tǒng)，該方法具有較強(qiáng)的魯棒性.

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