正多邊離散環(huán)路磁場積分問題分析

李深旺，張國慶，郭志忠，于文斌，宋 平，黃華煒

(1.哈爾濱工業(yè)大學電氣工程及自動化學院，150001哈爾濱;2.國網(wǎng)上海市電力公司，200122上海)

光學電流互感器(optical current transducer，OCT)基于法拉第磁光效應測量電流，其實質(zhì)是沿傳感光路的磁場積分［1-2］.按照傳感光路結(jié)構(gòu)的不同，光學電流互感器可分為閉合光路型光學電流互感器和直通光路型光學電流互感器.直通光路型光學電流互感器采用磁光玻璃作為光學傳感材料，結(jié)構(gòu)簡單，可以有效解決光學電流互感器存在的測量精度的溫度漂移和長期運行穩(wěn)定性差的問題，極具實用前景［3-7］.

直通光路型光學電流互感器面臨著抗外磁場干擾能力差的問題.安培環(huán)路定律的要點是閉合環(huán)路，而直通光路型光學電流互感器的光路被分割為若干分離的直線段，變成離散環(huán)路，失去了連續(xù)閉合性，屬于離散環(huán)路磁場積分范疇，不滿足安培環(huán)路定律［8］，因此，其抗外磁場干擾能力較差.抗外磁場干擾能力差成為阻礙直通光路型光學電流互感器實用化的關(guān)鍵技術(shù)障礙.目前解決這一問題的主要方法有:磁屏蔽技術(shù)、集磁環(huán)聚磁技術(shù)、傳感頭結(jié)構(gòu)優(yōu)化、差分式傳感技術(shù)等［3，9-14］.這些方法可以取得一定的抑制外磁場干擾的效果，但效果有限，不能從根本上解決直通光路型光學電流互感器抗外磁場干擾能力差的問題.

文獻［12-13］研究了安培環(huán)路定律的等價解環(huán)條件:特定條件下離散環(huán)路的磁場積分仍滿足安培環(huán)路定律.本文在文獻［12-13］的基礎(chǔ)上研究正多邊離散環(huán)路磁場積分問題，對離散安培環(huán)路定律進行了初探，并定義了離散環(huán)路磁場積分的兩個模型:正多邊離散環(huán)路Sm模型和Sm正分布的mSm模型，通過對兩種模型零和P點特性的研究，提出了Sm模型的零和定理、mSm模型的互易定理，形成了以零和P點為基點的、仍然遵守安培環(huán)路定律的正多邊離散環(huán)路磁場積分理論體系，為光學電流互感器的零和御磁技術(shù)奠定了重要的理論基礎(chǔ).本文的研究為解決直通光路型光學電流互感器的抗外磁場干擾技術(shù)難題提供新的方法.

1 離散安培環(huán)路定律

離散環(huán)路磁場積分問題來自光學電流互感器抵御外磁場干擾的零和御磁技術(shù)［12-13］.與磁屏蔽技術(shù)不同，零和御磁技術(shù)不是阻止外磁場的進入，而是讓其進入但失去干擾作用，簡捷有效，如圖1所示.

圖1 零和御磁技術(shù)與磁屏蔽技術(shù)的不同

安培環(huán)路定律表明，磁場環(huán)路積分與環(huán)路外的電流無關(guān)，即

式中:B為磁感應強度;P為載流導體置放點;L為閉合環(huán)路;μ0為真空磁導率;Ⅰ為環(huán)內(nèi)電流.

1.1 約定

約定1:離散環(huán)路.保留了若干相互分離有向線段(直線或者曲線)lk(k=1，2，…，m)的環(huán)路，記作L.

約定2:參考方向.相對離散環(huán)路L內(nèi)的任意點，逆時針方向為有向線段正方向，如圖2(a)所示.

約定3:P點、P點張角.P點是置放載流導體的幾何點;P點張角是P點向有向線段兩個端點張開的角度，記為αk(k=1，2，…，m)，簡稱張角.如圖2(b)所示.

約定4:張角符號.張角αk(k=1，2，…，m)的符號為沿有向線段lk的磁場積分符號，即

在式(2)約束條件下，對于環(huán)內(nèi)P點，有

圖2 離散環(huán)路

約定5:零和P點.滿足下式的P點為零和P點，零和P點是對離散環(huán)路磁場積分不起作用的幾何點.顯然，在上述約定下零和P點存在且只存在于離散環(huán)路之外.

1.2 離散安培環(huán)路定律

在1.1節(jié)的約定下，容易理解如下的離散安培環(huán)路定律.

離散安培環(huán)路定律:若環(huán)外電流置放在零和P點上，離散環(huán)路磁場積分可表達為

其中:μ0為磁導率，Ⅰ為環(huán)內(nèi)電流.

2 Sm模型及零和定理

2.1 定義

定義1正多邊離散環(huán)路模型.Sm(m≥2)表示m條有向線段組成的離散環(huán)路，并滿足以下條件:1)有向線段lk(k=1，2，…，m)，隔邊相望，取正2m邊形的m條邊;2)有向線段方向遵守1.1節(jié)的約定2.

2.2 約定

約定6:Sm坐標系.Sm坐標系原點取其中心點O，橫軸為原點O與某一有向線段li中點的連線.

約定7:P線、P線角.P線是Sm原點O指向環(huán)外P點的矢量;P線與Sm橫軸x的夾角θ叫P線角.

約定8:零和P線、無向零和P線.零和P線是零和P點對應的P線;不考慮方向的零和P線為無向零和P線.

約定9:線段角.Sm原點0向有向線段兩個端點張開的角度，記為φ，顯然有

2.3 張角向量

如圖3所示的Sm模型，對于環(huán)外任意P點，有

其中:R為Sm外接圓半徑，P為P線幅值.

圖3 Sm模型

由于

因此

將式(8)展開

考慮到

可得到張角向量

令

顯然有

由式(12)可得

對式(13)證明如下:對于以下的復因子序列

設(shè)式(14)的C積和是復因子以Ckm方式相乘后的累加，記作Ckm{e±jδ}，上標k叫C積和的階，k是復因子序列{e±jδ}的維數(shù)，也是C積和的最大階數(shù)，δk是角度，約定C0m{e±jδ}=1.若復因子序列{e±jδ}的角度序列為

等分圓周，即滿足條件

則C積和的取值為

若復因子序列{e±jδ}的元素對應的函數(shù)為

且序列{δ}等分圓周，即滿足式(15)，根據(jù)Euler公式有

得到

因此

注意到

如此可得

即為

再根據(jù)Euler公式，得到

證明完畢.

2.4 零和定理

定理1零和定理.對Sm模型，滿足如下P線角關(guān)系的2m條P線為零和P線.

證明容易理解如下等價關(guān)系:

結(jié)合式(13)，可得

考慮M的取值，上式等價為

就是

于是

將上式展開，并劃分為如下兩個集合:

考察發(fā)現(xiàn)，兩個集合可統(tǒng)一記作式(26)的形式.證明完畢.

推論Sm模型有m條無向零和P線.

證明根據(jù)式(26)，有即第m+k條和第k條零和P線的方向相反.因此Sm有m條無向零和P線.根據(jù)零和定理知道，Sm模型的零和P線具有如下基本性質(zhì):1)零和P線由且僅由P線角決定;2)有向線段端點與Sm原點的連線是零和P線的一部分;3)零和P線在離散環(huán)路外的任意點都是零和P點.

2.5 零和定理應用舉例

本節(jié)以m=6為例，討論Sm模型及零和定理在零和御磁技術(shù)中的應用.圖4為S6模型的示意圖.取6塊相同的磁光玻璃材料按照S6模型布置，即6塊磁光玻璃的傳感光路分別與S6模型的有向線段l1、l2、l3、l4、l5、l6重合，磁光玻璃的通光方向與約定2的方向相同，從而構(gòu)成S6結(jié)構(gòu)OCT.下面分析S6模型的零和御磁問題.

圖4 S6模型

由式(26)可知，S6模型有12條零和P線，這些零和P線將圓周均勻分割為12等份，如圖4所示.將待測電流ic布置于OCT的中心、干擾電流ig布置于OCT的零和P線上，則OCT對待測電流ic產(chǎn)生磁場Bc的積分結(jié)果為

OCT對干擾電流ig產(chǎn)生磁場Bg的積分結(jié)果為

由式(27)、(28)可見，干擾電流ig產(chǎn)生的磁場Bg對OCT的測量結(jié)果沒有貢獻，這意味著干擾電流產(chǎn)生的磁場雖然可以通過OCT的內(nèi)部但完全失去了干擾作用，采用零和御磁技術(shù)設(shè)計的OCT可以實現(xiàn)對待測電流ic的無干擾測量.

Sm模型適用于存在一個或多個干擾電流情況下對待測電流的抗干擾測量.

3 mSm模型及互易定理

3.1 定義

定義2Sm正對稱分布模型mSm.mSm是m個相同Sm組成的幾何圖形，每個mSm的原點為正m邊形的一個頂點，且滿足不重疊條件

其中:D為相鄰Smk中心點的距離.mSm模型描述m個Sm同時存在的正對稱分布情況.

3.2 互易定理

mSm每個頂點有m-1條頂點連接線，它們將內(nèi)角分割為m-2個相等的角，取值為

顯然，此角度恰好等于式(6)的線段角φ，完全吻合地放置頂點為原點的Sm.一個Sm有m條無向零和P線，其中的m-1條線為mSm頂點間的連接線，剩余1條是mSm外接圓在頂點的切線.如此，任意Sm原點都處在所有其他Smk(k=1，2，…，m;k≠i)零和P線的交點上.這樣，如果mSm中任意兩個Sm互換位置，必然是原點與零和P點的互換.

定理2互易定理.如果mSm中任意兩個Sm位置互換，則原點與零和P點互換:其中一個Sm的原點成為另一個Sm的零和P點，反之亦然.

3.3 互易定理應用舉例

本節(jié)以m=6為例，討論mSm模型及互易定理在零和御磁技術(shù)中的應用，6S6模型的示意圖如圖5所示.

將6個S6結(jié)構(gòu)的OCT按照6S6模型布置，即:將6個S6結(jié)構(gòu)的OCT布置于正六角形的6個頂點，各個頂點與S6模型OCT的中心重合，調(diào)整各個OCT的安裝角度使其滿足定理2，從而構(gòu)成6S6結(jié)構(gòu)的OCT組合.下面分析6S6模型的零和御磁問題.

圖5 6S6模型

將6個待測電流ij(j=1，2，…，6)分別布置于6個S6結(jié)構(gòu)OCT的中心，則對于任意一個S6結(jié)構(gòu)OCT而言，其他5個電流都是干擾電流，但是這5個干擾電流都位于它的零和P線上.以S61為例，i1為待測電流，其他電流為干擾電流，則S61對待測電流i1產(chǎn)生磁場B1的積分結(jié)果為

對干擾電流ij(j=2，3，4，5，6)產(chǎn)生磁場Bj的積分結(jié)果為

由式(31)、(32)可見，干擾電流ij產(chǎn)生的磁場Bj對S61的測量結(jié)果沒有貢獻，這意味著干擾電流產(chǎn)生的磁場雖然可以通過OCT的內(nèi)部但完全失去了干擾作用，采用零和御磁技術(shù)設(shè)計的OCT可以實現(xiàn)對待測電流i1的無干擾測量.同理可知，該結(jié)論對于S6j(j=2，3，4，5，6)同樣成立，此處不再贅述.

mSm模型適用于對多個電流進行測量且各個待測電流互為干擾電流的情況.

4 拓展模型

定義3拓展Sm模型.若端點位置不變，無論有向線段lk(k=1，2，…，m)形狀如何，都屬Sm模型，也稱為拓展Sm模型.

本定義意味著Sm模型的有向線段可以是直線、圓弧和任意曲線，如圖6所示.

定義4拓展mSm模型.拓展Sm對應的mSm為拓展mSm模型.

磁場積分只依賴線段兩端向P點張開的角度，因此拓展Sm模型和拓展mSm模型完全遵守零和定理以及互易定理.

圖6 拓展Sm模型

5 結(jié)論

1)分析了直通光路型光學電流互感器抗外磁場干擾能力差的根本原因，提出了一種零和御磁技術(shù)解決方法.若離散環(huán)路外P點的張角之和為零，則離散環(huán)路的磁場積分與安培環(huán)路定律具有類似形式，這就是離散安培環(huán)路定律.

2)研究了正多邊離散環(huán)路Sm模型和Sm正對稱分布的mSm模型，提出了關(guān)于離散環(huán)路磁場積分的兩個重要定理:零和定理和互易定理.零和定理的實質(zhì)是Sm模型下的離散安培環(huán)路定律;互易定理表達mSm模型中所有Sm共同遵守離散安培環(huán)路定律之條件.分析結(jié)果表明，光學電流互感器按照兩個定理設(shè)計時，干擾電流產(chǎn)生的磁場可以進入光學電流互感器內(nèi)部但失去干擾作用.

3)零和定理和互易定理形成了正多邊離散環(huán)路磁場積分理論體系，是光學電流互感器的零和御磁技術(shù)的重要理論基礎(chǔ)，為解決直通光路型光學電流互感器的抗外磁場干擾技術(shù)難題提供了有益的思路.

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