帶終端角度約束的多目標(biāo)最優(yōu)魯棒制導(dǎo)方法①

晁 濤，王松艷，楊 明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，哈爾濱 150080)

0 引言

現(xiàn)代對(duì)地攻擊制導(dǎo)武器的末制導(dǎo)階段通常采用俯沖攻擊的制導(dǎo)方式，所以需要研究滿足終端彈道傾角要求的制導(dǎo)方法。同時(shí)，為了獲得更大的可用過(guò)載，此類飛行器通常采用面對(duì)稱布局和傾斜轉(zhuǎn)彎(Bank to turn，BTT)控制方式。因此，針對(duì)BTT飛行器的帶終端角度約束的制導(dǎo)方法研究得到了廣泛關(guān)注。

針對(duì)帶終端角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題，目前采用的方法主要有最優(yōu)控制、變結(jié)構(gòu)控制、非線性控制及自適應(yīng)控制等。Kim基于線性最優(yōu)控制理論，在彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的俯沖平面內(nèi)給出了帶終端角度約束的最優(yōu)與次優(yōu)制導(dǎo)律［1］。趙漢元針對(duì)再入彈頭的制導(dǎo)問(wèn)題，將攻擊地面靜止目標(biāo)的彈頭的空間運(yùn)動(dòng)分為俯沖與轉(zhuǎn)彎兩個(gè)平面，基于簡(jiǎn)化的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，研究了彈頭俯沖攻擊目標(biāo)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律［2］。由于最優(yōu)控制方法對(duì)模型精確程度要求較高，文獻(xiàn)［3］采用變結(jié)構(gòu)控制理論提出了帶終端角度約束的制導(dǎo)律，Kim等提出了可實(shí)現(xiàn)帶角度約束的偏置比例導(dǎo)引制導(dǎo)律［4］，Ratnoo研究了基于狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠谭椒ǖ闹茖?dǎo)律［5－6］，Lu 提出了攻擊靜止目標(biāo)的自適應(yīng)制導(dǎo)律［7］。

本文針對(duì)BTT飛行器需要在大氣環(huán)境與模型存在不確定性的條件下，滿足過(guò)載、攻角、姿態(tài)角及角速度約束，實(shí)現(xiàn)帶終端角度約束的高精度制導(dǎo)問(wèn)題，提出了一種多目標(biāo)綜合最優(yōu)制導(dǎo)方法。通過(guò)將飛行器與目標(biāo)間相對(duì)運(yùn)動(dòng)分解為縱向與側(cè)向平面運(yùn)動(dòng)，建立含干擾輸入描述的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型?；谠撃Ｐ?，采用基于L2增益性能指標(biāo)的魯棒控制方法設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。將制導(dǎo)律中的參數(shù)作為待優(yōu)化變量，建立包括終端角度偏差、終端位置偏差以及控制能量消耗等性能指標(biāo)在內(nèi)的多目標(biāo)綜合優(yōu)化模型，基于遺傳算法，提出制導(dǎo)律參數(shù)優(yōu)化方法。最后，以某飛行器的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為例，在存在大氣密度、氣動(dòng)系數(shù)偏差和風(fēng)干擾的情況下，驗(yàn)證所提出的方法的有效性。

1 魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型

給定飛行器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示，其中ogxgygzg為平移至質(zhì)心處的發(fā)射坐標(biāo)系，v為飛行器與目標(biāo)的相對(duì)速度，σ為彈道偏角，θ為彈道傾角，ρ為飛行器與目標(biāo)間相對(duì)距離，qε為視線高低角，qβ為視線方位角，T為目標(biāo)點(diǎn)，A為目標(biāo)在ogxgyg平面內(nèi)的投影。

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，忽略縱向和側(cè)向平面運(yùn)動(dòng)間的耦合關(guān)系，可以分別建立縱向平面與側(cè)向平面內(nèi)的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

圖1 飛行器與目標(biāo)間相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖Fig.1 Geometry relationship of missile-target

根據(jù)飛行力學(xué)得知［8］，彈道傾角、彈道偏角隨時(shí)間的變化率方程為

式中 L為飛行器受到的升力;m為飛行器質(zhì)量;g為重力加速度。

將式(4)代入式(3)，可得

為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，在式(5)中將重力影響視為擾動(dòng)，在后續(xù)的設(shè)計(jì)過(guò)程中采用魯棒設(shè)計(jì)方法予以考慮。同時(shí)，假設(shè)速度變化率與速度的比值近似為零，取視線高低角與終端期望彈道傾角偏差、視線高低角變化率、視線方位角、視線方位角變化率為自變量，即令:

式中 θcmd為期望的終端彈道傾角。

進(jìn)一步，令控制量與擾動(dòng)分別為

則可建立如下的魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型:

在式(9)基礎(chǔ)上，帶終端角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為尋找控制量u1與u2的變化規(guī)律，使?fàn)顟B(tài)變量在控制量的作用下趨近于零，從而保證飛行結(jié)束時(shí)滿足終端位置和終端角度要求。

2 魯棒制導(dǎo)律及指令分配邏輯

本文采用基于L2增益性能指標(biāo)的魯棒控制理論設(shè)計(jì)滿足終端角度約束的制導(dǎo)律［9］。首先，針對(duì)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型(即式(9))，選取Lyapunov函數(shù):

式中 k1、k2、k3、k4為待定的制導(dǎo)律參數(shù)。

為保證視線角轉(zhuǎn)率和終端角度偏差趨近于零，定義性能評(píng)價(jià)信號(hào)為

式中 r1(t)、r2(t)為性能評(píng)價(jià)信號(hào)的輸出加權(quán)函數(shù)，且滿足 γ1(t)≥0，γ2(t)≥0。

在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型式(9)、Lyapunov函數(shù)式(10)以及性能評(píng)價(jià)信號(hào)式(11)的基礎(chǔ)上，采用基于L2增益性能指標(biāo)的魯棒控制方法［9］，可以解得滿足終端角度約束的控制量:

為了驗(yàn)證制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型在式(12)的作用下是否滿足魯棒L2增益性能指標(biāo)，對(duì)式(10)求導(dǎo)，并將式(12)代入到式(9)中，整理后可得

對(duì)式(13)在 τ∈［0，tf］上積分，可得

對(duì)式(14)進(jìn)一步整理可得

根據(jù)Lyapunov函數(shù)的定義(即式(10))，式(15)中的V(x0)和V(xf)分別是與飛行器初始狀態(tài)和終端狀態(tài)相關(guān)的正函數(shù)。根據(jù)魯棒L2增益性能設(shè)計(jì)準(zhǔn)則［9］可知，當(dāng)評(píng)價(jià)信號(hào)與擾動(dòng)滿足如下公式時(shí):

由于傾斜轉(zhuǎn)彎飛行器制導(dǎo)指令的輸出通常是攻角與傾側(cè)角指令，因此需要進(jìn)一步給出攻角與傾側(cè)角指令的計(jì)算公式。根據(jù)飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型［8］，可以得到如下關(guān)系:

式中 ny2c、nz2c分別為彈道系鉛垂面和水平面內(nèi)的期望過(guò)載。

考慮到飛行器采用傾斜轉(zhuǎn)彎控制方式，也即其需用過(guò)載的產(chǎn)生原理是通過(guò)攻角產(chǎn)生法向過(guò)載，然后通過(guò)飛行器的傾側(cè)將法向過(guò)載投影到鉛垂面與水平面內(nèi)，因此法向過(guò)載指令計(jì)算公式為

進(jìn)一步根據(jù)攻角與過(guò)載的關(guān)系可解得

式中 CN0為攻角為0時(shí)的法向力系數(shù);CNd為由于交叉導(dǎo)數(shù)和下洗等因素產(chǎn)生的法向力系數(shù);CNα為法向力系數(shù)相對(duì)于攻角的導(dǎo)數(shù)。

由于攻角轉(zhuǎn)率受到限制，因此實(shí)際的攻角指令應(yīng)經(jīng)過(guò)速率限制與幅值限制后，才能作為飛行器制導(dǎo)指令傳遞給控制系統(tǒng)。設(shè)飛行器上一制導(dǎo)周期的攻角值為αc0，制導(dǎo)周期為ΔT，允許的攻角最大轉(zhuǎn)率為˙αmax，允許的攻角最大值為αcmax，則攻角指令值為

根據(jù)傾斜轉(zhuǎn)彎飛行器過(guò)載產(chǎn)生的原理，傾側(cè)角指令計(jì)算公式:

其中，傾側(cè)角的角度范圍是( －180°，180°］，arctan2 表示對(duì)nz2c與ny2c的比值取反正切函數(shù)值，求取反正切的過(guò)程中考慮nz2c與ny2c的符號(hào)，因此其函數(shù)值的范圍是( －180°，180°］。

與攻角指令相似，由于傾側(cè)角轉(zhuǎn)率受到限制，實(shí)際傾側(cè)角指令應(yīng)經(jīng)過(guò)速率限制與幅值限制后，才能作為飛行器的制導(dǎo)指令傳遞給控制系統(tǒng)。假設(shè)上一制導(dǎo)周期的飛行器傾側(cè)角為γc，制導(dǎo)周期為制導(dǎo)周期為ΔT，允許的傾側(cè)角最大轉(zhuǎn)率為˙γcmax，則傾側(cè)角指令為

至此，得到了滿足終端角度約束的飛行器制導(dǎo)律(即式(21)與式(23))，其中 k1、k2、k3、k4為待優(yōu)化的制導(dǎo)律參數(shù)，需要進(jìn)一步根據(jù)下文的多目標(biāo)綜合優(yōu)化方法確定。

3 制導(dǎo)律參數(shù)的多目標(biāo)綜合優(yōu)化

為實(shí)現(xiàn)同時(shí)滿足終端位置、終端彈道傾角以及控制能量消耗最小等多種性能目標(biāo)，首先建立如下的多目標(biāo)綜合性能指標(biāo):

式中 tf為終端時(shí)刻;θ(tf)為終端時(shí)刻的彈道傾角;ρ(tf)為終端時(shí)刻目標(biāo)與飛行器間的相對(duì)距離;u為控制量，通常取為過(guò)載或者攻角;K1為終端彈道偏角的加權(quán)系數(shù);K2為終端相對(duì)距離的加權(quán)系數(shù);K3為控制量的加權(quán)系數(shù)。

此時(shí)，多目標(biāo)綜合最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下問(wèn)題:針對(duì)飛行器數(shù)學(xué)模型，給定形如式(21)與式(23)的制導(dǎo)律，尋找制導(dǎo)律參數(shù)k1～k4的最優(yōu)解，使得在滿足運(yùn)動(dòng)方程約束以及控制量約束(攻角幅值約束、攻角與傾側(cè)角轉(zhuǎn)率約束)的條件下，實(shí)現(xiàn)性能指標(biāo)式(24)最優(yōu)。

將上述問(wèn)題進(jìn)一步描述為優(yōu)化模型:

式中 J(k1，k2，k3，k4)為性能指標(biāo)，是待優(yōu)化參數(shù) k1、k2、k3、k4的函數(shù);˙x=f(x，u)為飛行器數(shù)學(xué)模型式(1);C(x，u，t)≤0為制導(dǎo)過(guò)程中的約束條件，如過(guò)載不能超過(guò)限制;u=g(x，k1，k2，k3，k4)為魯棒制導(dǎo)律式(21)與式(23)，其對(duì)應(yīng)控制量幅值與變化率受到控制能力限制，即最大可用攻角、最大允許攻角轉(zhuǎn)率和最大允許傾側(cè)角轉(zhuǎn)率限制。

在制導(dǎo)律優(yōu)化模型(式(25))的基礎(chǔ)上，提出如圖2所示的優(yōu)化方法，進(jìn)行制導(dǎo)律參數(shù)優(yōu)化。流程如下:

(1)確定待優(yōu)化的參數(shù)k1～k4，將其視為染色體，采用一定的編碼方式對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的染色體編碼;

(2)利用染色體等位基因初始值隨機(jī)生成算法，給出染色體的初始猜測(cè)值;

(3)計(jì)算隨機(jī)生成的種群對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，將其帶入適應(yīng)度計(jì)算函數(shù)中(式(25))，計(jì)算各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度;

(4)判斷是否滿足算法的終止條件(式(24)的值最小)，若滿足要求，則輸出相應(yīng)的參數(shù)猜測(cè)值，轉(zhuǎn)步驟9，否則進(jìn)行下一步;

(5)根據(jù)一定的選擇算法，對(duì)隨機(jī)生成的種群進(jìn)行選擇操作;

(6)根據(jù)一定的交叉算法，對(duì)選定的種群進(jìn)行交叉操作;

(7)根據(jù)一定的變異算法，對(duì)交叉操作后的個(gè)體進(jìn)行變異操作;

(8)針對(duì)經(jīng)過(guò)選擇、交叉與變異后重新生成的種群，也即新的參數(shù)猜測(cè)值，重新進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，返回步驟;

(9)將優(yōu)化得到的制導(dǎo)律參數(shù)代入魯棒制導(dǎo)律中，結(jié)合制導(dǎo)律仿真模型，在環(huán)境與模型存在不確定性的條件下，采用蒙特卡洛方法評(píng)價(jià)制導(dǎo)參數(shù)是否能夠保證制導(dǎo)精度要求，若能則結(jié)合參數(shù)優(yōu)化結(jié)果與魯棒制導(dǎo)律形式得到最終的帶終端角度約束的多目標(biāo)綜合魯棒制導(dǎo)律;若不能則調(diào)整多目標(biāo)綜合性能指標(biāo)中的加權(quán)系數(shù)K1、K2與K3，返回步驟1)。

上述算法中K1、K2與K3的選取需要考慮到各指標(biāo)的量級(jí)和量綱。彈道傾角采用弧度表示，量級(jí)為1，彈目距離采用單位m表示，量級(jí)為10，控制量采用弧度，量級(jí)為1。據(jù)此，給出參數(shù)的推薦范圍 K1∈［1，100］，K2∈［1，10］和 K3∈［1，100］。上述算法中適應(yīng)度值的計(jì)算流程:

(1)給定參數(shù)k1～k4的數(shù)值，初始化飛行器位置、速度以及目標(biāo)的位置速度;

(2)計(jì)算飛行器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，也即相對(duì)距離、視線高低角、視線方位角以及相應(yīng)的角速度;

(3)根據(jù)制導(dǎo)律計(jì)算過(guò)載指令;

(4)根據(jù)制導(dǎo)指令跟蹤控制律，解算出攻角與傾側(cè)角指令;

(5)在給定的攻角與傾側(cè)角作用下，積分飛行器運(yùn)動(dòng)方程，得到下一時(shí)刻的飛行器狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)，并計(jì)算相應(yīng)的性能指標(biāo)值;

(6)判斷是否滿足計(jì)算終止條件(如飛行器與目標(biāo)距離滿足位置偏差要求)，若滿足要求，則輸出性能指標(biāo)值，停止計(jì)算，否則返回步驟2。

圖2 制導(dǎo)律參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化原理Fig.2 Multiple objectives optimization of guidance law parameters

4 仿真分析

以某垂直對(duì)地攻擊飛行器為對(duì)象，按照上述方法，進(jìn)行相應(yīng)的多目標(biāo)綜合最優(yōu)魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)與數(shù)字仿真。該飛行器制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的指標(biāo)要求為位置偏差小于10 m、角度偏差在10°范圍之內(nèi)。

采用Visual C++編寫制導(dǎo)律參數(shù)優(yōu)化程序，采用基于Matlab優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，并基于Visual C++編寫數(shù)字仿真分析程序，對(duì)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行數(shù)字仿真分析。仿真過(guò)程中考慮了包括大氣密度正負(fù)向偏差、軸向力系數(shù)與法向力系數(shù)的正負(fù)向偏差以及8種風(fēng)干擾的綜合影響，共計(jì)64種組合偏差情況，并加入了對(duì)飛行器攻角、過(guò)載、姿態(tài)以及姿態(tài)角速度的約束限制。仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。圖3為飛行器經(jīng)緯度變化示意圖，圖4為飛行器彈道傾角變化示意圖。

圖3 位置變化示意圖Fig.3 Trajectory of missile

圖4 彈道傾角變化示意圖Fig.4 Flight path angle of missile

從圖3可見，在64種偏差情況下，受大氣密度和氣動(dòng)參數(shù)偏差的影響，飛行軌跡的地面投影形狀不同，但通過(guò)制導(dǎo)律的作用，最終飛行器的終端位置均到達(dá)了期望的目標(biāo)點(diǎn)，位置偏差滿足精確制導(dǎo)要求。從圖4可見，飛行器的終端彈道傾角到達(dá)在－90°附近，角度偏差在5°以內(nèi)，滿足角度偏差指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了垂直攻擊目標(biāo)的目的。

綜上所述，使用提出的方法可以保證飛行器實(shí)現(xiàn)在環(huán)境存在不確定性以及受到過(guò)載、攻角等多約束條件限制情況下的帶終端角度約束的高精度制導(dǎo)，終端位置和終端彈道傾角滿足制導(dǎo)指標(biāo)要求。

5 結(jié)論

(1)將帶終端角度約束的多目標(biāo)綜合最優(yōu)魯棒制導(dǎo)問(wèn)題分解為魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)與制導(dǎo)律參數(shù)的多目標(biāo)綜合優(yōu)化兩個(gè)子問(wèn)題。采用基于L2性能指標(biāo)的魯棒控制方法設(shè)計(jì)魯棒制導(dǎo)律，建立了包括終端角度偏差、終端位置偏差以及控制能量等多種指標(biāo)在內(nèi)的多目標(biāo)綜合優(yōu)化模型，并提出了基于遺傳算法的制導(dǎo)律參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

(2)仿真結(jié)果表明，采用該方法進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的制導(dǎo)目的。對(duì)于其他類型飛行器的帶終端約束的多目標(biāo)綜合制導(dǎo)問(wèn)題，也可參考該方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。因此，本文提出的帶終端約束的多目標(biāo)綜合最優(yōu)制導(dǎo)方法具有較高的應(yīng)用價(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景。

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