賞析幾道以斐波那契數(shù)列為背景的高考題和競賽題

●周湖平 李陽華 (吉水中學(xué) 江西吉水 331600)

13世紀(jì)初意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤書》中提出了一個(gè)有趣的數(shù)列，人們稱之為斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列源于兔子的繁殖問題：

兔子出生后2個(gè)月就能每月生小兔，若每月不多不少恰好生一對(一雌一雄)，假如養(yǎng)了初生的小兔子一對，試問一年后共有多少對兔子?

依此類推，該問題產(chǎn)生的數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21……這個(gè)數(shù)列有個(gè)十分明顯的特點(diǎn)：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng).用Fn表示經(jīng)過n個(gè)月后的兔子總對數(shù)，那么數(shù)列滿足如下遞推關(guān)系：

這就是著名的斐波那契數(shù)列.可以證明

這個(gè)公式又稱比內(nèi)公式.由于其規(guī)律簡單、內(nèi)涵豐富，因而在高考與競賽中頗受青睞.下面以幾道高考題和競賽題為例，闡述其應(yīng)用.

例1 觀察下列各式：

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)

點(diǎn)評本題考查了歸納推理的有關(guān)知識，在歸納方法中考查了斐波那契數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)(即從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和).

(2012年上海市數(shù)學(xué)高考文科試題)

點(diǎn)評本題設(shè)計(jì)巧妙，以函數(shù)不動點(diǎn)、斐波那契數(shù)列為背景，考查一元二次方程的求解、歸納推理、分類處理問題的技能.

例3 5位學(xué)生圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：

(1)第1位學(xué)生首次報(bào)出的數(shù)為1，第2位學(xué)生首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位學(xué)生所報(bào)出的數(shù)都是前2位學(xué)生報(bào)出的數(shù)之和.

(2)若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的學(xué)生需拍手一次.

已知學(xué)生甲第1個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)5位學(xué)生依序循環(huán)報(bào)到第 100個(gè)數(shù)時(shí)，學(xué)生甲拍手的總次數(shù)為______.

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)報(bào)到第n個(gè)數(shù)為an，則

寫出前幾項(xiàng)，可找到規(guī)律：a4m(m∈N*)為3的倍數(shù).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此規(guī)律.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，a4=3，故a4=3為3的倍數(shù);

(2)假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，a4k為3的倍數(shù)，則當(dāng)m=k+1時(shí)，

也是3的倍數(shù).

由(1)和(2)可知，對于 m∈N*，a4m為3的倍數(shù).依題意，學(xué)生甲報(bào)的數(shù)為 a5t+1(0≤t≤19，t∈N*)，這些數(shù)中是 3 的倍數(shù)有 a16，a36，a76，a96，故學(xué)生甲拍手的總次數(shù)為4.

點(diǎn)評這是一道以斐波那契數(shù)列為背景的實(shí)際應(yīng)用題，有生活氣息，考查了學(xué)生數(shù)列建模能力、推理分析能力及其應(yīng)用.

例4 用1或2這2個(gè)數(shù)字寫成n位數(shù)，其中任意2個(gè)位置不全為1，記n位數(shù)的個(gè)數(shù)為f(n)，求f(10).

(第2屆江蘇省高中數(shù)學(xué)通訊賽試題)

解符合條件的n位數(shù)可分為2類：

(1)當(dāng)首位是2時(shí)，則余下n-1位數(shù)符合條件的個(gè)數(shù)為f(n-1);

(2)當(dāng)首位是1時(shí)，則第2位是2，余下n-2位數(shù)符合條件的個(gè)數(shù)為f(n-2).

于是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，故{f(n)}為斐波那契數(shù)列.因?yàn)閒(1)=2，所以f(10)=144.

點(diǎn)評解答本題的關(guān)鍵是對首位進(jìn)行劃分，找出計(jì)數(shù)時(shí)的遞推關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)本題內(nèi)蘊(yùn)斐波那契數(shù)列.

例5 現(xiàn)有長為144 cm的鐵絲，要截成n(n＞2)小段，每段的長度不小于1 cm.如果其中任意3小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少?

(第16屆江蘇省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

解由于構(gòu)成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是任意2條邊之和小于或等于最大邊.

截成的鐵絲最短為1，于是可以放2個(gè)1，第3條線段就是2(為了使得n最大，要使剩下來的鐵絲盡可能長，于是每一條線段總是前面的相鄰2段之和)，依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55.以上各數(shù)之和為143，與144相差為1，因此可以取最后一段為56，這時(shí)n達(dá)到最大為10.

在這個(gè)問題中，143是斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)和.我們是把144超出143的部分加到最后的一條線段上去，如果加到其他線段上，就有3條線段可以構(gòu)成三角形，不合題意.

點(diǎn)評從所截線段的長度看，這是斐波那契數(shù)列的前幾項(xiàng)，每段的長度不小于1，由最小數(shù)1通過構(gòu)成三角形的條件產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列.在這里，三角形的三邊關(guān)系蘊(yùn)含了重要的斐波那契數(shù)列文化.

(1)對任意正整數(shù)n，都有an+2=an+1+an.

(2)數(shù)列{an}中的項(xiàng)都為整數(shù)，且任相鄰兩項(xiàng)都互質(zhì).

(2004年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)

證明(1)因?yàn)棣?，β是方程x2-x-1=0的2個(gè)根，由韋達(dá)定理：α +β=1，αβ=-1，得

再由對任意正整n，都有

因此數(shù)列{an}中的項(xiàng)都是正整數(shù).下面證明任意相鄰兩項(xiàng)都是互質(zhì).

若不然，設(shè)(an+2，an)=d＞1.由對任意正整數(shù)n，都有

與d＞1矛盾.因此，數(shù)列{an}中任意相鄰兩項(xiàng)都互質(zhì).

點(diǎn)評本題第(1)小題考查了斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系，難度并不大;第(2)小題的結(jié)論其實(shí)就是斐波那契數(shù)列的一個(gè)基本性質(zhì)，利用輾轉(zhuǎn)相除法易證.

(1)猜想數(shù)列{xn}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論;

(2009年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

由斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式

點(diǎn)評這是一道有著深刻背景的好題，涉及到黃金分割數(shù)、斐波那契數(shù)列、迭代數(shù)列等諸多問題.若將斐波那契數(shù)列的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)作比，比值作為一個(gè)新的數(shù)列的話，就是這道高考題中的數(shù)列.

近年來，高考數(shù)學(xué)試題與競賽題中經(jīng)常出現(xiàn)以數(shù)學(xué)文化為背景的創(chuàng)新試題，突出了對數(shù)學(xué)思想方法的考查，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化價(jià)值，有力地推動著素質(zhì)教育的全面開展.數(shù)學(xué)教師必須開發(fā)與利用數(shù)學(xué)文化這一重要的教學(xué)資源，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中感受文化的熏陶，體會數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化魅力，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

［1］ 劉海英，徐章韜.內(nèi)蘊(yùn)斐波那契數(shù)列文化的問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(11)：66.