關(guān)于幾個(gè)最值問(wèn)題的研究

●李建潮 (雙林中學(xué) 浙江湖州 313012)

1 相關(guān)問(wèn)題

易知：?jiǎn)栴}2與問(wèn)題3是同一個(gè)問(wèn)題(由同一作者提供)，這是一個(gè)很經(jīng)典的問(wèn)題;問(wèn)題1與問(wèn)題2(即問(wèn)題3)如出一轍、一脈相承，本文與讀者一起探究如下.

2 問(wèn)題之見(jiàn)

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯有言：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.楊之先生對(duì)問(wèn)題解答的要求是“解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?jiǎn)練的和初等的”.對(duì)此我們深表贊同，對(duì)于經(jīng)典問(wèn)題的解答不但在于解決問(wèn)題之本身，而且更在于“問(wèn)題之外”之?dāng)U張;不僅是思想和方法的展示，更是思想和方法的雕塑和再創(chuàng)造;與美接軌，還應(yīng)力求(而并非強(qiáng)求)解答的藝術(shù)性，集數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)、藝術(shù)與“魔術(shù)”于一體，使整個(gè)解答惟妙惟肖、似詩(shī)如畫(huà).

3 問(wèn)題新解

下面擬用純粹的代數(shù)方法，并巧施待定系數(shù)法構(gòu)造柯西模型來(lái)展示3個(gè)相關(guān)問(wèn)題的初等解法.先來(lái)解問(wèn)題1：

解令正數(shù)α，β滿足α2+β2=1，則由二元柯西不等式

(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng) bc=ad 時(shí)等號(hào)成立)，得

用上述方法，可獲得以下一般情形：

再處理問(wèn)題2(即問(wèn)題3)，筆者直接處理下面的一般情形：

證明令正數(shù)α，β滿足α2+β2=1，則由二元柯西不等式(1)，得

4 一脈相承

細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}1的求解與定理2的證明不盡協(xié)調(diào)，前者連續(xù)2次應(yīng)用了二元柯西不等式，而后者只用了1次;如果用求解問(wèn)題1的方法來(lái)證明定理1，似乎很難完成證明.這種顧忌不無(wú)道理，其實(shí)，我們可以借定理2的證明之東風(fēng)對(duì)問(wèn)題1的求解方法進(jìn)行再雕塑，從而使定理1與定理2的證明方法接軌.

下面展示定理1的這一創(chuàng)造性證明方法：

證明令正數(shù) α，β滿足 α2+β2=1，則

特別地，當(dāng)

令1-β=km，1-α=kn(其中 k為正數(shù))，則

由此可見(jiàn)，不論是從內(nèi)容看還是從證明方法看，定理1與定理2如出一轍、一脈相承(文首的3個(gè)問(wèn)題只是它們的特例而已).

［1］ 侯典峰.問(wèn)題征解3［J］.數(shù)學(xué)通訊：上半月，2010(1/2)：131.

［2］ 王勇.問(wèn)題征解2［J］.數(shù)學(xué)通訊：上半月，2010(1/2)：131.

［3］ 王勇.2010 年3 月1845 號(hào)問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010(3)：66.