“完美無(wú)缺”的解答 撲朔迷離的錯(cuò)誤

●朱良滿 (溆浦縣第一中學(xué) 湖南溆浦 419300)

常言道：人非圣賢，孰能無(wú)過(guò);知錯(cuò)就改，善莫大焉!在解題過(guò)程中，不出錯(cuò)永遠(yuǎn)是一種理想狀態(tài).教師和學(xué)生的解題能力在與錯(cuò)誤、失敗的不屈斗爭(zhēng)中得到了提高.實(shí)際解題中，由于認(rèn)知能力的欠缺和思維的局限性，一些問(wèn)題的解答，我們認(rèn)為“完美無(wú)缺”，其實(shí)漏洞百出;還有一些問(wèn)題，我們明知解答有“錯(cuò)”，但不知“錯(cuò)”在何處，為何而“錯(cuò)”.知道錯(cuò)了是好事，而對(duì)錯(cuò)誤的深層次反思，更是在積累著寶貴的知識(shí)財(cái)富.

筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生自認(rèn)為解答“完美無(wú)缺”，而當(dāng)教師指出錯(cuò)誤后，學(xué)生仍很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)在何處，因何而錯(cuò).

由題意知，a滿足條件

由式(1)和式(2)知，a滿足

要使方程(3)有唯一解，則

正解 由上述解答過(guò)程知，ax2+bx=x有唯一解，得

由 f(2)=1知a=1，即 f(x)=1(x≠0).

例3 已知 0＜α＜β＜γ＜2π，且 cosα+cosβ+cosγ =0，sinα +sinβ +sinγ =0，求 β - α 的值.

錯(cuò)解由已知得

將上述2個(gè)式子兩邊平方，再相加，得

又由0＜α＜β＜γ＜2π，知0＜β-α＜2π，因此

分析由 cosβ +cosγ =-cosα，sinβ +sinγ =-sinα兩邊平方，相加，得

本題為什么容易出現(xiàn)錯(cuò)解的情況呢?原來(lái)，將cosα +cosβ =-cosγ，sinα +sinβ =-sinγ 兩邊平方，再相加，得

將 cosα +cosγ =-cosβ，sinα +sinγ =-sinβ 平方，相加，得

綜上所述，由0＜α＜β＜γ＜2π，知

圖1

在“完美無(wú)缺”的解答中，種種撲朔迷離的錯(cuò)誤，其實(shí)隱藏著思考的盲區(qū)，如例1和例2中的“分母不能為0”，在實(shí)際解題中總是被忽視.我們所犯的“漏解”、“多解”等種種錯(cuò)誤，即原命題被我們隨意地縮小、擴(kuò)大了條件所應(yīng)滿足的范圍.錯(cuò)誤的產(chǎn)生不是壞事，它能促使師生共同反思，以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的根源，而其最有效的標(biāo)尺，就是在解題的過(guò)程中，始終堅(jiān)持等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.