一道解析幾何題運(yùn)算教學(xué)的實(shí)踐與思考

●崔志榮 (安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221) ●薛宗華 (東臺(tái)市教育局教研室 江蘇東臺(tái) 224221)

注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)，是我國(guó)數(shù)學(xué)教育“雙基”教學(xué)的傳統(tǒng)特色.但是，近年來，學(xué)生的運(yùn)算能力在下降，突出表現(xiàn)在字母運(yùn)算、處理多元變量等方面，對(duì)于高中生而言，解析幾何的運(yùn)算問題尤為突出.面對(duì)這種學(xué)習(xí)狀況，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，怎樣在教學(xué)中著力提高、逐步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力呢?

1 一道解析幾何題的考情

最近，筆者所任教學(xué)校組織了2013屆高三學(xué)生摸底考試，數(shù)學(xué)試卷的第19題為：

圖1

(1)若l的斜率為1，求l'的方程;

考試結(jié)束后，筆者發(fā)現(xiàn)這道解析幾何題并不是特別難，但學(xué)生的得分率卻非常低.本題滿分16分，人均得分約6.5分，從具體的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，大部分學(xué)生得到了第(1)小題的6分，只有個(gè)別學(xué)生答對(duì)了第(2)小題.于是筆者又對(duì)本班學(xué)生進(jìn)行訪談，大部分學(xué)生的回答是“第(2)小題我會(huì)做，但時(shí)間不夠，來不及運(yùn)算，如果再給我10分鐘，也許能做對(duì)”，還有一部分學(xué)生的回答是“這道解析幾何題的第(2)小題計(jì)算量太大、太復(fù)雜，我沒有信心算下去”.為此，在試卷評(píng)講中，筆者側(cè)重于對(duì)第(2)小題從運(yùn)算教學(xué)的角度作了一些嘗試，現(xiàn)整理成文與大家交流.

2 運(yùn)算教學(xué)的課堂實(shí)踐

教師：本題是解析幾何問題，第(2)小題得分率很低，其中一個(gè)重要原因是運(yùn)算能力問題，現(xiàn)在大家都已經(jīng)看到了這道題的參考答案，本節(jié)課我們主要研究第(2)小題的解題運(yùn)算，哪位同學(xué)先來回答一下參考答案的解題思路.

投影展示參考答案(2)設(shè)直線AB的方程為

從而線段AB的中垂線方程為

學(xué)生1：先聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡(jiǎn)得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而求出弦AB的長(zhǎng)與AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由AB的中垂線方程解出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，可求出弦FM的長(zhǎng)，最終得出結(jié)論.

教師：不錯(cuò)，我們把這種方法稱之為“代數(shù)法之韋達(dá)定理”.這樣的解題思路容易想到嗎?

學(xué)生2：容易想到，但卻不容易解出答案，運(yùn)算有些復(fù)雜.

教師：學(xué)生2說運(yùn)算有些難，難在哪里?

教師：很好，同學(xué)們一定要加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，只要運(yùn)算中有一點(diǎn)點(diǎn)失誤，就很難得到正確答案.請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎?，還有沒有別的辦法求弦AB的長(zhǎng)，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

停頓后有學(xué)生回答.

學(xué)生4：由于AB是過焦點(diǎn)的弦，因此可用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|=|e(x1+x2)-2a|.

教師：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式怎么推導(dǎo)?

學(xué)生5：運(yùn)用圓錐曲線的第二定義.

教師：先推導(dǎo)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，再由此求弦AB的長(zhǎng).

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

教師：同學(xué)們，這樣的解答是不是簡(jiǎn)單多了，那么，求弦FM的長(zhǎng)有簡(jiǎn)化運(yùn)算嗎?

沒有學(xué)生回答.

教師：對(duì)于AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可用設(shè)而不求的辦法嗎?

學(xué)生7：設(shè)N(x0，y0)，AB 中垂線方程為

教師：通過優(yōu)化，我們發(fā)現(xiàn)原題的解答運(yùn)算就不難了，那么是不是參考答案的解答就一無是處呢?

學(xué)生8：不是，如果不是焦點(diǎn)弦的問題，那還得按參考答案的方法來求解.

教師：對(duì)，我們?cè)谔幚斫馕鰩缀螁栴}時(shí)，要加強(qiáng)基本運(yùn)算的訓(xùn)練，如果不是焦點(diǎn)弦，那么還得具備一定的運(yùn)算能力，當(dāng)然也要總結(jié)方法、比較方法，才能有“巧算”.現(xiàn)在，大家重新思考參考答案的解題思路，看是否有其他方法?

學(xué)生9：可以用點(diǎn)差法試試，因?yàn)樯婕暗较业闹悬c(diǎn)問題.

學(xué)生 10：設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中點(diǎn)N(x0，y0)，則

教師：同學(xué)們用點(diǎn)差法可順利求得AB及AB中垂線的斜率，那么如何求弦AB的長(zhǎng)與弦FM的長(zhǎng)呢?

教師：學(xué)生11仍然運(yùn)用了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，得到了弦AB的長(zhǎng)只與弦AB中點(diǎn)N的橫坐標(biāo)有關(guān)，那么怎樣求弦FM的長(zhǎng)呢?

學(xué)生12：AB的中垂線方程為

教師：好，下面請(qǐng)同學(xué)們來驗(yàn)證一下老師的猜想對(duì)不對(duì).請(qǐng)男生用“代數(shù)法之韋達(dá)定理”完成，女生用“代數(shù)法之點(diǎn)差法”完成(目的是加強(qiáng)男生的運(yùn)算耐心).

教師最后投影展示2組學(xué)生代表的解答，并加以點(diǎn)評(píng)總結(jié)(學(xué)生的解答過程與原題的簡(jiǎn)化運(yùn)算基本一致，這里不再書寫了).

教師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們?cè)谝院蟮慕馕鰩缀螌W(xué)習(xí)中有哪些需要注意的地方?

學(xué)生14：要加強(qiáng)基本運(yùn)算能力的訓(xùn)練，加強(qiáng)方法的比較，通過分析與比較有時(shí)會(huì)得到“巧算”.

教師：是的，在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，要重視基本思路、基本運(yùn)算;要重視分析、比較;要重視過程步驟、針對(duì)性訓(xùn)練.這些問題，在我們以后的學(xué)習(xí)中，還要進(jìn)一步加強(qiáng)研究.

3 運(yùn)算教學(xué)的幾點(diǎn)思考

解析幾何作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，一直是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，這部分內(nèi)容也格外受到師生的重視.但一個(gè)不容否認(rèn)的事實(shí)是：教師往往感到這部分內(nèi)容的教學(xué)效果不如人意，學(xué)生似懂非懂，解題出錯(cuò)率高.結(jié)合以上的教學(xué)實(shí)踐，筆者對(duì)解析幾何的教學(xué)有幾點(diǎn)思考：

(1)重基本思路，重基礎(chǔ)運(yùn)算.

本文中測(cè)試題的參考答案為基本方法，學(xué)生容易理解，教學(xué)中不可輕視這種基本思路的講解，但它的運(yùn)算量偏大，學(xué)生不敢動(dòng)筆，說明基礎(chǔ)運(yùn)算是我們教學(xué)中的一個(gè)大問題.在平時(shí)教學(xué)中，如果過于走捷徑、用技巧運(yùn)算，會(huì)造成學(xué)生眼高手低，基礎(chǔ)不扎實(shí)，使他們?cè)诳紙?chǎng)總想容易的方法，那么就容易導(dǎo)致失敗.據(jù)此，筆者認(rèn)為在解析幾何教學(xué)中，要重視基本方法的剖析，淡化技巧方法的講解，淡化特技運(yùn)算，重視基礎(chǔ)運(yùn)算.

(2)重分析，重比較.

在解析幾何題中，許多題目是有多種解法的，它們的思路不相同，實(shí)際運(yùn)算效果也不一樣.因此，在教學(xué)中要做到：一是重視思路的分析.比如本文中“代數(shù)法之韋達(dá)定理”及“代數(shù)法之點(diǎn)差法”都是合理的分析方法.二是重視方法的比較.可以看出，這道題目運(yùn)用韋達(dá)定理與點(diǎn)差法處理的運(yùn)算效果是不同的，如不涉及到弦的中點(diǎn)，點(diǎn)差法就失效，再如，在韋達(dá)定理中，用到了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，若不是焦點(diǎn)弦，則還需要用參考答案的解法.只有通過思路的分析和比較，才能使不同層次的學(xué)生有不同的選擇，才能使他們更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，才能使他們?cè)诮忸}時(shí)游刃有余.

(3)重過程步驟，重針對(duì)性訓(xùn)練.

(4)代數(shù)方法為主，幾何方法為輔.

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題.解題結(jié)構(gòu)為：幾何問題到代數(shù)問題到代數(shù)研究再到幾何結(jié)果，幾何法不應(yīng)是解析幾何的教學(xué)重點(diǎn).有些經(jīng)驗(yàn)豐富的老教師，知道不少解析幾何題的背景，課堂上能把問題一步剖析到簡(jiǎn)潔的幾何方法，講得很輕松，又無運(yùn)算量，學(xué)生接受得也快，但實(shí)際上卻是無效的，能有多少學(xué)生在考場(chǎng)上知道高考題的背景，很快想到巧妙的幾何法?在教學(xué)中，還是要腳踏實(shí)地用好代數(shù)方法，幾何方法為輔助，比如圓錐曲線的定義、圓的性質(zhì)等重要的幾何知識(shí)可作為輔助使用.

(注：本文是江蘇省鹽城市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題《提高高中學(xué)生運(yùn)算能力的校本研究》的階段成果.)