二階遞推數(shù)列命題構(gòu)造初探

●曹鴻德 沈新權(quán) (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

本文通過對(duì)2個(gè)非線性遞推數(shù)列問題的求解，探討非線性遞推數(shù)列與二階線性遞推數(shù)列之間的關(guān)系，探究一些二階遞推數(shù)列的命題是如何構(gòu)造而成的，并由此討論如何通過構(gòu)造二階線性遞推數(shù)列來解決遞推數(shù)列問題，希望能夠給讀者帶來一些啟發(fā).文中的命題都選自高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高校自主招生考試試題.筆者假定本文的讀者已經(jīng)掌握了如下的基本知識(shí)：

定義 二階線性遞推數(shù)列{an}滿足：初始項(xiàng)a1，a2為已知，且

則稱方程x2=px+q為數(shù)列{an}的特征方程，方程的2個(gè)根稱為特征根(特征根可以是共軛無理根，也可以是共軛虛根);稱數(shù)列{an}是由特征方程導(dǎo)出的二階線性遞推數(shù)列.

定理設(shè)二階線性遞推數(shù)列(1)的特征方程x2=px+q的2個(gè)特征根為 x1，x2，

其中待定系數(shù) λ1，λ2由初始項(xiàng) a1，a2確定.

1 分式非線性遞推數(shù)列與二階線性遞推數(shù)列間的相互轉(zhuǎn)換

例1 設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a2=1，且

試問數(shù)列{an}是否是整數(shù)列?若是，請(qǐng)給出證明;若不是，試說明理由.

證法1 先來看參考書上的一般解法.

式(6)-式(5)(目的是消去常數(shù)2)，整理得

由式(1)可知an≠0(n∈N*)，故上式可化為

用數(shù)學(xué)歸納法容易證明數(shù)列{an}是整數(shù)列(略).

注證法1較為簡(jiǎn)潔，但這樣的證法是如何得到的呢?為此筆者作了如下探索.

證法2 式(4)是二階非線性遞推數(shù)列，由證法1可猜想它等價(jià)于一個(gè)二階線性遞推數(shù)列(非線性的可以轉(zhuǎn)化為線性的).由a1=a2=1以及式(4)，得

根據(jù)二階線性遞推數(shù)列的定義，設(shè)

用 a3=3，a4=11 代入，得

用a5=41，a6=153代入適合.于是猜想，當(dāng)n≥3時(shí)，

恒成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

歸納法的奠基成立.假設(shè)當(dāng)n≤k(k≥3)時(shí)，式(7)成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)以及式(4)，得

即當(dāng)n=k+1時(shí)式(7)仍成立，故對(duì)一切n≥3的自然數(shù)n，式(7)恒成立.

因?yàn)閍1=a2=1，所以由式(7)可用數(shù)學(xué)歸納法再證明數(shù)列{an}是整數(shù)列，并且可進(jìn)一步證明數(shù)列{an}是正奇數(shù)列：這是因?yàn)閍1=a2=1為奇數(shù)，an≡ -an-2(mod2).

注證法2同樣完成了對(duì)例1的證明，接下來筆者關(guān)心的是例1是如何構(gòu)造出來的?能否從a1=a2=1，an=4an-1-an-2(n≥3)構(gòu)造出例1?

把λ1，λ2的值代入就得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

由假設(shè)可知anan-2和a2n-1的展開式都是關(guān)于x1，x2的齊2(n-1)次表達(dá)式，它們之間有某種聯(lián)系嗎?事實(shí)上，

兩邊除以an-2，得

這樣，就構(gòu)造了例1.這一構(gòu)造過程揭示了二階線性遞推數(shù)列與它的特征方程、特征根之間的關(guān)系.綜上所述，得到以下等價(jià)命題：

即例1是數(shù)列(7)的逆命題，例1把背景抽掉后很隱蔽，也給解題帶來一定的難度.

2 數(shù)列不等式與二階線性遞推數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)換

例2 數(shù)列{an}滿足：a1=2，a2=7，且

求證：當(dāng)n≥2時(shí)，an是奇數(shù).

把a(bǔ)1=2，a2=7代入，依次得到

根據(jù)二階線性遞推數(shù)列的定義，設(shè)

把 a3=25，a4=89 代入，得

又a5=317代入是適合的.于是猜想：對(duì)于數(shù)列{an}滿足

對(duì)一切n≥2的自然數(shù)n成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

歸納法的奠基成立，且a2＞2a1.假設(shè)當(dāng)n≤k(k≥2)時(shí)，ak+1=3ak+2ak-1以及 ak＞2ak-1＞0 成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由已知

若能證明

即當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+2=3ak+1+2ak成立，故對(duì)一切n≥2的自然數(shù) n，an+1=3an+2an-1成立.

接下來要證明式(12)成立.由歸納假設(shè)，得

成立.即當(dāng) n=k+1時(shí)，ak+2=3ak+1+2ak以及ak+1＞2ak＞0成立，故對(duì)一切 n≥2的自然數(shù) n，an+1=3an+2an-1成立.因?yàn)?an+1≡an≡1(mod2)(n≥2)，所以從第2項(xiàng)起，an都是奇數(shù).

把λ1，λ2的值代入，可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

用數(shù)學(xué)歸納法可證明

因此式(13)可化為

3 構(gòu)造二階線性遞推數(shù)列解題

例1和例2命題構(gòu)造的經(jīng)驗(yàn)給解決以下2個(gè)問題(例3、例4)提供了策略上的幫助和指導(dǎo).例3 設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=-1，

證法1 首先考慮例3的構(gòu)造過程：數(shù)列(14)的特征方程為

2個(gè)特征根為

其中i為虛數(shù)單位，且

把λ1，λ2代入得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.因?yàn)?/p>

接下來，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{bn}是整數(shù)列.

這就是例3的構(gòu)造過程，也是例3的一種證明方法.為了進(jìn)行比較，下面給出另一種證法.

證法2 用數(shù)學(xué)歸納法易證明 an∈Z(n∈N*)(略).

所以數(shù)列{cn}的前若干項(xiàng)為

猜想cn=(2an+an-1)2對(duì)一切n≥2的自然數(shù)n成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

歸納法的奠基成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，

成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)以及式(14)，得

從上面的分析可以看出，構(gòu)造過程的證明方法(即證法1)：從已知到未知，意圖明確，不需要太強(qiáng)的運(yùn)算技巧;而證法2：從已知?未知?已知?未知，其中當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立的證明，運(yùn)算技巧要求頗高.這2種證明方法留給我們一個(gè)命題(留給讀者自行證明)：

(2012年北約自主招生數(shù)學(xué)試題)

設(shè)x1=1+，它的共軛無理根為x2=1-構(gòu)造數(shù)列從而

并當(dāng)n≥3時(shí)，有

因?yàn)閤1x2=-1，所以

顯然由式(15)可知{an}是正整數(shù)列，且2|an(n≥1).

根據(jù)構(gòu)造所得的數(shù)列{an}和{bn}，知