平面桁架內(nèi)力求解的“奇怪”現(xiàn)象分析

程燕平，王春香

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天科學(xué)與力學(xué)系，哈爾濱150001)

理論力學(xué)是高等工科重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，也是工程文化素質(zhì)培養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，學(xué)生對(duì)課程基本理論、基本方法及基本概念是否真正理解掌握，直接影響他們的邏輯思維能力和解決工程實(shí)際問題的能力.

1 教學(xué)中遇到的問題

對(duì)學(xué)過理論力學(xué)的人，可謂眾所周知，平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因在所有理論力學(xué)教材[1－5]中，均給出這樣的結(jié)論[6].但在某些情況下，卻會(huì)出現(xiàn)特殊情況.筆者在教學(xué)中，就多次遇到學(xué)生問這樣的問題.在哈工大《理論力學(xué)》第4版至第7版中，均有求平面桁架內(nèi)力的兩個(gè)題目，如第7版78頁題2－55中，取整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖1所示，此為一平面任意力系，列3個(gè)平衡方程可求出支座A處與B處3個(gè)約束力.具體列平衡方程并求解如下(設(shè)AD=DB=l):

∑MA=0 FNB·2l－F·lsin60°=0 解得

∑Fix=0 FAx+F=0 解得 FAx=－F

∑Fiy=0 FAy+FNB=0 解得

圖1 整體為研究對(duì)象

為求桿CE，CD，CF的內(nèi)力，采用截面法，截?cái)郈E，CD，CF桿，取研究對(duì)象如圖2所示，這顯然是一個(gè)平面任意力系，而此平面任意力系有3個(gè)未知數(shù)，列3個(gè)平衡方程可求出3根桿受力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，如列平衡方程如下:

圖2 部分為研究對(duì)象

但無論如何求解這3個(gè)方程也求不出3個(gè)未知力 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3.為此，許多學(xué)生感到很迷惑，明明是一個(gè)平面任意力系，列出的3個(gè)平衡方程也無錯(cuò)誤，但為什么就求不出3個(gè)未知力呢?筆者在教學(xué)中經(jīng)常遇到學(xué)生問這樣的問題.實(shí)際上，不但學(xué)生多次問過這樣的問題，一些比較年輕甚至比較年長的老師也和筆者討論過這樣的問題.

同樣還有另一個(gè)題目，如第7版78頁求解題2－58也是這種情況.取整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖3所示，此為一平面任意力系，列3個(gè)平衡方程可求出支座A處與B處3個(gè)約束力，具體列平衡方程并求解如下:

∑MA=0解得

∑Fix=0 FAx=0 解得 FAx=0

∑Fiy=0 FAy－F+FNB=0 解得

圖3 桁架整體研究受力圖

為求桿DA，DF，DC的內(nèi)力，采用截面法，截?cái)郉A，DF，DC桿，取研究對(duì)象如圖4所示，這顯然是一個(gè)平面任意力系，而此平面任意力系有3個(gè)未知數(shù)，列3個(gè)平衡方程可求出3根桿受力 F1，F(xiàn)FD，F(xiàn)AD，列平衡方程如下:

圖4 桁架部分研究受力圖

但無論如何求解這3個(gè)方程也求不出3個(gè)未知力 F1，F(xiàn)FD，F(xiàn)AD.明明是一個(gè)平面任意力系，列出的3個(gè)平衡方程也無錯(cuò)誤，但為什么就求不出3個(gè)未知力呢?對(duì)此題，類似的可取受力圖如圖5所示，這也明明是一個(gè)平面任意力系，有興趣的讀者可列出3個(gè)平衡方程求解，但也肯定求不出3個(gè)未知力.

2 解釋

上面所提出的問題很多學(xué)生感到“奇怪”、疑惑與不解，實(shí)際上一些老師也感到疑惑與不解，明顯是一個(gè)平面任意力系，列出的3個(gè)平衡方程也無錯(cuò)誤，但為什么就求不出3個(gè)未知力呢?

平面任意力系有3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，但對(duì)這兩個(gè)桁架題目，圖2、4、5表面上看起來是一個(gè)平面任意力系，但實(shí)際上是一個(gè)平衡的平面任意力系和一個(gè)平衡的平面匯交力系的疊加.圖2是圖1的平面任意力系和一平面匯交力系組合而成，圖4或圖5是圖3的平面任意力系和一平面匯交力系組合而成.所以，圖1、2合起來，圖3、4(或圖5)合起來，實(shí)際上是一個(gè)平面任意力系和一個(gè)平面匯交力系的組合，兩受力圖合起來，獨(dú)立的平衡方程為5個(gè)，而不是6個(gè).這個(gè)問題不但對(duì)這兩個(gè)桁架題目成立，而且具有普遍意義.對(duì)物體系的平衡問題，當(dāng)取整體(或某一部分)為一平面任意力系時(shí)，稱此力系為力系Ⅰ，見圖6，圖6中只畫出了3個(gè)未知力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3其余的力沒有畫出.其獨(dú)立平衡方程為3個(gè)，若為靜定問題，可求出這3個(gè)未知力.當(dāng)取一部分物體為研究對(duì)象，包含力系Ⅰ，同時(shí)又暴露出3個(gè)未知力F4，F(xiàn)5，F(xiàn)6，且這3個(gè)未知力匯交于一點(diǎn)，設(shè)為H，見圖7，其余的力也沒畫出.這3個(gè)未知力和力系Ⅰ又組成一平面任意力系，稱為力系Ⅱ，力系Ⅱ看起來是一平面任意力系，但在F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3已知的情況下，此平面任意力系只有2個(gè)獨(dú)立的平衡方程，相當(dāng)于一平面匯交力系.因?yàn)榱ο耽蚴瞧胶饬ο担瑢?duì)任意點(diǎn)的力矩和為0，未知力 F4，F(xiàn)5，F(xiàn)6的匯交點(diǎn)H，也為任意點(diǎn)中的一個(gè)，對(duì)匯交點(diǎn)H取矩，方程∑MH=0中包含力系Ⅰ對(duì)點(diǎn)的力矩和為0，而未知力F4，F(xiàn)5，F(xiàn)6對(duì)H點(diǎn)的力矩均為零，在此方程(∑MH=0)中無未知力出現(xiàn)，而已用去一個(gè)方程，因此，獨(dú)立的平衡方程為兩個(gè)，而不是3個(gè).另一類同的解釋是，可以認(rèn)為力系Ⅱ是力系Ⅰ與平面匯交力系的組合，而力系Ⅰ是平面任意平衡力系，剩下的為平面匯交力系，所以其獨(dú)立的平衡方程為2個(gè)而不是3個(gè).

圖5 另一部分受力圖

圖6 整體為平面任意力系

圖7 部分也為平面任意力系

3 結(jié)語

總之，在靜力學(xué)中，當(dāng)取一研究對(duì)象，此研究對(duì)象受平面任意力系作用時(shí)，若為靜定問題，列3個(gè)平衡方程可求出3個(gè)未知數(shù)，若在此研究對(duì)象中再拆去某些構(gòu)件，而暴露出3個(gè)未知力，且此3個(gè)力匯交于一點(diǎn)，此時(shí)看是一任意力系，有3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，兩個(gè)研究對(duì)象表面上有6個(gè)獨(dú)立的平衡方程，但實(shí)際上，兩個(gè)研究對(duì)象只有5個(gè)獨(dú)立的平衡方程.此結(jié)論也可推廣至空間力系.

從圖7可以看出，在剪狀態(tài)下，孔邊補(bǔ)強(qiáng)對(duì)于減少腹板上的應(yīng)力集中有很好的效果.在純剪狀態(tài)下，包邊補(bǔ)強(qiáng)是最優(yōu)的選擇，并且在保證補(bǔ)強(qiáng)片不增大脫膠時(shí)，補(bǔ)強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛度，有利于減小腹板的應(yīng)力集中的效果，與Guo S等[9－10]研究結(jié)論一致.

圖7 孔邊最大應(yīng)力值

5 結(jié)論

本文通過數(shù)值模擬方法研究了復(fù)合材料開孔工字梁在剪切力作用下孔邊應(yīng)力及補(bǔ)強(qiáng)分析，討論了開孔間距，開孔距離梁下緣條的高度及開孔形狀對(duì)孔邊應(yīng)力分布的影響，并針對(duì)水滴型孔研究了三種補(bǔ)強(qiáng)方式對(duì)孔邊應(yīng)力水平的影響.得到了以下結(jié)論:

1)開孔間距、開孔距離梁下緣條的高度及開孔形狀對(duì)孔邊應(yīng)力集中程度都有影響，但是開孔距離梁下緣條的高度和開孔形狀影響較大.2)圓孔孔邊的最大應(yīng)力比水滴型孔邊的最大應(yīng)力高出15.58%，因此，從降低孔邊應(yīng)力水平考慮，水滴型孔優(yōu)于圓形孔.開孔高度為3、11 mm時(shí)，應(yīng)力幅值都比高度為7 mm時(shí)略高，隨著高度增加，孔邊應(yīng)力先減小后增大.隨著孔間距的增大，腹板上的應(yīng)力幅值逐漸降低.3)補(bǔ)強(qiáng)能降低開孔處的應(yīng)力，提高結(jié)構(gòu)承載能力.包邊補(bǔ)強(qiáng)效果最好，雙側(cè)貼片補(bǔ)強(qiáng)次之，單側(cè)貼片補(bǔ)強(qiáng)效果最弱.補(bǔ)強(qiáng)材料剛度越大，補(bǔ)強(qiáng)效果越好.

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