齊次Sobolev空間和齊次Besov空間的一些注記

嚴(yán)兆英，王 術(shù)

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院北京100124)

1 引言

在偏微分方程的學(xué)習(xí)中，我們不斷的接觸到各種空間，從基本的復(fù)范線性空間到Banach空間再到Lp空間以及Hilbert空間等.隨著知識(shí)層面的加深，例如在MHD或者ETM等物理模型的數(shù)學(xué)建模研究中，為了討論問(wèn)題的需要，引入了Soblev空間和Besov空間，由于學(xué)習(xí)的深入展開對(duì)其齊次空間的研究.本文主要就齊次Besov空間的等價(jià)定義給出具體證明過(guò)程，對(duì)齊次Sobolev空間中給出的一些定理，利用環(huán)上分解的方法做出比較詳細(xì)的證明.

本文中用到的相關(guān)定義以及定理:

Sobolev空間[1]與齊次Sobolev空間定義 :

對(duì)于某個(gè)給定的 p≥1，f有范數(shù) ‖f‖k，p=

Besov空間與齊次 Besov空間[2]定義:

函數(shù)φ的定義[2]:存在一個(gè)函數(shù)φ∈Φ(IRn)，使 suppφ ={ζ|2-1≤|ζ|≤2};

函數(shù) φk和 Ψ 的定義[2]:Fφk(ζ)= φ(2-kζ)(k=0，±1，±2，…)

這里Φ是緩增分布)

函數(shù) f的相關(guān)范數(shù)估計(jì)定理[2]:設(shè) f∈Φ'，假設(shè)φk*f∈Lp，那么有(1≤p≤ ∞ ;s∈R)1) ‖Jsφk*f‖p≤C2sk‖φk*f‖p(k≥1);2)‖Jsφk*f‖p≤C2sk‖φk*f‖p;3)‖Jsφk*f‖p≤C‖Ψ*f‖p這里常數(shù)C與p和k無(wú)關(guān).

2 齊次空間注記

1)給出齊次Besov空間等價(jià)定義的證明;

2)利用環(huán)形分解以及K插值理論給出了齊次Sobolev空間中，插值定理的證明.

定理1[2]齊次Besov空間等價(jià)范定義:假設(shè)s＞0，且設(shè)m和n是整數(shù)，使得m+n＞N且0≤N＜ s.那么，當(dāng) 1≤p≤∞，1≤q≤∞時(shí)

定理2[2]齊次Sobolev空間插值定理:如果1≤p，q≤∞ ，0 ＜ θ＜ 1 我們有其中s=(1- θ)s0+ θs1)

由Fourier變換及其逆變換[3]公式有

已知 Mp定義，sup‖f‖p=1‖(F-1ρ)*f‖p有界，則ρ

^∈Mp，那么

因?yàn)閨m2mk)2Nk‖φk*f‖Lp，那么得到

由于i(s-N)+N=i(s-N)+Nk+sk-sk=(i-k)(s-k)+sk，得到

那么顯然有

假設(shè)n≥2，存在函數(shù)xj∈(IRn)(1≤j≤n)當(dāng) suppφ ={ζ|2－1≤|ζ|≤2} 時(shí)滿足n)，從而有

這里 ρkj= ρ(2－kej)，ej是 ζj軸方向的單位向量，那么由齊次 Besov空間范數(shù)定義

在這里f屬于齊次空間，0不屬于它的支集，所以不能像普通意義下直接證明，要將f進(jìn)行環(huán)形分解，即

由于支集的存在這里只有有限項(xiàng)，對(duì)上式左右同時(shí)取Lp范數(shù)，則

由于是有限項(xiàng)相加，算子I的位置可以調(diào)換.即

不妨設(shè) s0＜ s1，則有 t-θ，t-1是遞減函數(shù)，K(t，f)是遞增函數(shù)，則對(duì)后面的函數(shù)進(jìn)行縮放，得到

那么需要對(duì)函數(shù)f做環(huán)形分解，去掉f的支集.令

取

本文給出了兩個(gè)定理的詳盡證明，在討論與這些空間相關(guān)的偏微分問(wèn)題的解答時(shí)也能夠更加直觀

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