三桿堆放的靜力學問題

楊立楠 張元元

（中山紀念中學 廣東 中山 528454）

靜力學問題雖然在高考中逐漸淡化，但卻是物理競賽中的熱點和難點問題，尤其是從2009年第26屆全國高中物理競賽后進行了一系列的改革，使得經典的靜力學問題在競賽中煥發(fā)了新的青春.本文從典型的三桿堆放問題出發(fā)，對解決靜力學問題的思路做一個全面的分析.

問題1：為了簡化情況，現有3根質量均為m，長為l的勻質細桿對稱地擱置在粗糙的水平地面上，三桿的頂端O重合.此時底端A，B，C的間距也恰好為l，如圖1所示.三桿能夠靜止時滿足什么條件呢？

圖1

處理問題的切入點就是接觸處的靜摩擦力不能超過最大靜摩擦力.明確這一點，在處理過程中要想方設法解決接觸處的彈力N和靜摩擦力f的大小，靜止的條件為f≤μN.如何解決呢？

（1）利用對稱性

三桿底部受到的力的情況一致，即彈力的大小相等以及靜摩擦力大小相等，有

（2）系統(tǒng)法分析

這在解決多體問題時要首先考慮的，受力分析后，必然滿足合外力為零以及合力矩為零，判定靜摩擦力方向.此時難點在于是否選擇力矩平衡方程以及如何選擇轉軸.本題中系統(tǒng)的受力情況如圖2所示，水平方向3個大小相等的摩擦力合外力為零，此時必然指向O的投影點O′，即△ABC的中心，這樣才能保證三者方向間的夾角為120°.根據豎直方向合外力為零條件，有

圖2

可知彈力N＝mg，此時是否要利用系統(tǒng)的力矩平衡方程呢？事實上我們已經判定了摩擦力的大小和方向，用隔離法更容易解決問題，這是需要觀察與思考的.

（3）隔離法分析

這種分析方法也很常見，更是多體問題中定然用到的.本題中對OA桿進行分析，其受力情況如圖3所示，根據彈力NA＝mg可斷定OB和OC桿對OA桿的合力FA只能沿著水平方向與靜摩擦力fA方向相反，此時有FA＝fA.處理過程可選擇過A或者O的垂直紙面的轉軸，但選擇前者，力矩平衡方程更簡單，則

圖3

（4）幾何知識的應用

（5）靜止條件f≤μN

通過式（3）可得到靜摩擦力fA＝mg，可見系統(tǒng)平衡時桿與地面的摩擦系數μ滿足

問題2：三桿堆放的情況同問題1一致，只是此時在OA的中點處固定一個質量也為m的小物體（可視為質點），此時三桿能夠靜止又滿足什么條件呢？問題的條件盡管出現了變化，但處理問題的切入點卻不變，只是此時要注意3個彈力（NA，NB，NC）、3個摩擦力（fA，fB，fC）和力FA的變化.

（1）利用對稱性

只能判定NB＝NC，fB＝fC以及 NA不等于 NB和NC，此時fA的方向必定指向O′（這是因為無論大小相等的fB和fC無論是否指向O′，其合力一定指向O′A連線方向），但無法判定fB，fC的方向.通過對O C桿分析，如果fC不指向O′，如圖4所示，4個力不在同平面，只要在O O′C平面內，選擇通過桿的中心C0的豎直軸，重力mg和彈力NC的力矩為零，此時FC，fC的合力矩必然不為零，可見fB和fC必須指向O′，可見此時3個摩擦力必定大小相等.

圖4

圖5

（2）系統(tǒng)法分析

受力情況如圖5所示，根據合外力為零條件有

由于缺乏NA與NB（或NC）之間的定量關系，此時需要用到系統(tǒng)的力矩平衡方程，這與問題1中不同.為了盡可能簡化力矩平衡方程，選擇通過B，C的水平軸，5個力的力矩平衡（4個重力和NA），有

（3）隔離法分析

對OA桿進行分析，其受力情況如圖6所示，但此時通過豎直方向兩個重力與NA合力不為零可斷定FA在豎直方向有分力FAy，即FA的方向不可能指向水平.但若選擇通過O點垂直紙面的轉軸，這無需考慮FA的方向和大小，有

最終解得

圖6

結語：處理靜力學問題，通常要利用系統(tǒng)法和隔離法進行受力分析，利用合外力為零和力矩平衡條件列相應的方程，從而解決問題.但如何選擇合適的方法和方程，需要細心的體會以及通過比較與總結，慢慢形成處理靜力學問題的體系，希望能夠對讀者有所啟發(fā).