兩物體正碰時的恢復(fù)系數(shù)

屈 軍

（安徽師范大學(xué)物理系 安徽 蕪湖 241000）

恢復(fù)系數(shù)是指在碰撞過程中某一物理量的恢復(fù)程度.在對心碰撞過程中，可分為兩個階段：第一階段從兩球開始接觸的瞬時到兩球具有相同的速度，也就是兩球到達最大形變?yōu)橹?，稱為壓縮階段.第二階段從兩球的最大形變開始，形變逐漸恢復(fù)直至兩球分離，稱為恢復(fù)階段.

定義了物體的恢復(fù)系數(shù)，那兩物體正碰時又如何呢？我們作如下分析，如果有一物體A在外力的作用下發(fā)生形變，當(dāng)外力撤除后，形變不能完全恢復(fù)，用它與一個完全彈性的物體B發(fā)生正碰，必然得到恢復(fù)系數(shù)e不為1，而是小于1.很明顯，這小于1的恢復(fù)系數(shù)e完全是由于物體A的彈性恢復(fù)力與彈性形變矛盾的結(jié)果，和參與碰撞的彈性物體B無關(guān).我們就定義e為物體A的恢復(fù)系數(shù)，即一個物體的恢復(fù)系數(shù)等于它與一個完全彈性物體發(fā)生正碰時，分離速度對接近速度的比值.

通過這一定義，我們就很容易得出完全彈性物體、非彈性物體和完全非彈性物體的碰撞時的恢復(fù)系數(shù)e分別為

假設(shè)存在沒有機械能損耗的彈性形變，A和B兩個物體的恢復(fù)系數(shù)分別為e1和e2，它們發(fā)生正碰，碰撞后的運動情況與兩物體共同的彈性恢復(fù)力與總的彈性形變的矛盾結(jié)果有關(guān).共同恢復(fù)系數(shù)與參與碰撞物體的絕對恢復(fù)系數(shù)之間的關(guān)系如何，可以從數(shù)學(xué)的角度分析形變過程與形變恢復(fù)過程中物體間相互作用力的沖量與e1，e2之間的關(guān)系.

假設(shè)存在沒有機械能損耗的彈性形變，從物理邏輯上看，兩個物體碰撞的恢復(fù)系數(shù)應(yīng)該與各自的恢復(fù)系數(shù)有關(guān)系，即e應(yīng)是e1，e2的函數(shù)，故可以寫成e＝f（e1，e2），同時，每個物體的恢復(fù)系數(shù)為小于1的正數(shù)，從數(shù)學(xué)上講，可以將其展開為級數(shù)形式，故假設(shè)寫成

（1）設(shè)想其中兩個物體都是完全彈性物體，而參與碰撞物體的恢復(fù)系數(shù)e1和e2都等于1，此時式（1）變?yōu)閑＝f1（1）f2（1）＝1，易知為完全彈性碰撞.

（2）再設(shè)想物體A為完全彈性物體，有e1＝1；物體B為一般物體，e2≠1.它們相碰，恢復(fù)系數(shù)應(yīng)為

（3）最后設(shè)想物體B為完全彈性物體，有e2＝1；物體A為一般物體，e1≠1.它們相碰，恢復(fù)系數(shù)應(yīng)為

于是我們就從數(shù)學(xué)邊界條件的角度得出了兩物體相碰時的恢復(fù)系數(shù)e等于各物體恢復(fù)系數(shù)e1與e2的乘積這樣一種函數(shù)關(guān)系.即