關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的再討論＊

王 悅

（銅陵學(xué)院電氣工程系 安徽 銅陵 244000）

關(guān)于撞擊的首次科學(xué)上的研究，可追溯到1668年Kozlov［1］提出的碰撞理論，而碰撞恢復(fù)系數(shù)e是表征碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的重要參數(shù).牛頓于1687年提出了通常的撞擊行為往往既不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞.初始動(dòng)能的損失可通過恢復(fù)系數(shù)e的引入來實(shí)現(xiàn)

其中下標(biāo)1和2分別表示撞擊物和被撞擊物，而i和f分別表示初始（initial）狀態(tài)和最終（final）狀態(tài).e是個(gè)無量綱的系數(shù)，其值介于零和1之間，e為零對應(yīng)于完全彈性狀態(tài)，e為1對應(yīng)于完全非彈性狀態(tài).這是經(jīng)典力學(xué)中采用速度描述恢復(fù)系數(shù)的方法.

1 絕對恢復(fù)系數(shù)e的質(zhì)疑

文獻(xiàn)［2～5］對物體碰撞以及恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行了有益的探討，其中文獻(xiàn)［2］定義了一個(gè)物理量 ——絕對恢復(fù)系數(shù)，文獻(xiàn)［5］針對它提出了質(zhì)疑，文獻(xiàn)［2］定義絕對恢復(fù)系數(shù)如下：一個(gè)物體的絕對恢復(fù)數(shù)等于它與一個(gè)完全彈性體發(fā)生互碰時(shí)，分離速度對接近速度的比值.經(jīng)過較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推演，得到了兩個(gè)物體的共同恢復(fù)系數(shù)e與各自的絕對恢復(fù)系數(shù)e1和e2的關(guān)系為

同時(shí)，還指出：公式（2）、（3）的形式極其簡潔、美觀，但實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn).以鉛、鐵為例，由文獻(xiàn)［6］查得，鉛 －鉛恢復(fù)系數(shù)e1共＝0.2，鐵 －鐵恢復(fù)系數(shù)e2共＝0.66，代入式（2）計(jì)算得到鉛 －鐵恢復(fù)系數(shù)為0.363，文獻(xiàn)［6］給出值為0.14，它是實(shí)際鉛 －鐵恢復(fù)系數(shù)的2.6倍.理論與實(shí)際相差如此之大，使人們不得不重新考察理論的正確性.并且指出，如果有問題，只能出在物理上，其中絕對恢復(fù)系數(shù)是否存在唯一問題，是一個(gè)重要因素.

這里，我們先不討論絕對恢復(fù)系數(shù)是否存在，對于上述，文獻(xiàn)［5］根據(jù)文獻(xiàn)［2］經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)之后得到的公式（2）、（3），仔細(xì)觀察就能發(fā)現(xiàn)其中的矛盾.現(xiàn)在我們假定，兩個(gè)物體的共同恢復(fù)系數(shù)e與各自的絕對恢復(fù)系數(shù)e1和e2的關(guān)系式（2）正確，由對應(yīng)關(guān)系推廣到絕對恢復(fù)系數(shù)應(yīng)該直接寫成

而 不是式（3）！那么再把鉛 －鉛恢復(fù)系數(shù)為e1共＝0.2，鐵 －鐵恢復(fù)系數(shù)e2共＝0.66，代入式（3）計(jì)算得到鉛 －鐵恢復(fù)系數(shù)為0.132，此值與實(shí)驗(yàn)值0.14的相對誤差僅有5.7%.

這個(gè)結(jié)果說明文獻(xiàn)［2］的結(jié)論對實(shí)驗(yàn)還是有一定的指導(dǎo)意義.當(dāng)然，文獻(xiàn)［5］中提出的兩不同材料的物體的恢復(fù)系數(shù)除了與它們自身的共同恢復(fù)系數(shù)（即同種材料的兩物體碰撞恢復(fù)系數(shù)）有關(guān)外，至少還應(yīng)該與它們各自的彈性模量有關(guān).此觀點(diǎn)也有一定的道理.而恢復(fù)系數(shù)究竟該如何定義？恢復(fù)系數(shù)本身和哪些因素有關(guān)呢？以下我們將做進(jìn)一步的探討.

2 恢復(fù)系數(shù)幾種定義的討論

我們對恢復(fù)系數(shù)的幾種定義作進(jìn)一步討論.最初碰撞的恢復(fù)系數(shù)是由Newton引入的，正如我們前面提到的式（1）.他把碰撞前后法向分離速度與接近速度的比值定義為恢復(fù)系數(shù)e，由于這種定義在推廣到一般性剛體碰撞時(shí)的局限性，于是出現(xiàn)了Poisson及Stronge對恢復(fù)系數(shù)的重新定義.Poisson將碰撞的過程分為壓縮變形階段及恢復(fù)變形階段，恢復(fù)系數(shù)e被定義為恢復(fù)階段的法向沖量與壓縮階段的法向沖量之比，而Stronge則定義為恢復(fù)階段所釋放的彈性應(yīng)變能與壓縮階段所吸收的彈性應(yīng)變能之比.三種定義的比較我們用下面的表1表示出來.

表1三種恢復(fù)系數(shù)定義的比較

已經(jīng)證明，這些不同形式的恢復(fù)系數(shù)之間是有分歧的，僅在一定條件之下才能取得一致，從碰撞作用的特點(diǎn)來看，沖量比形式的定義較為可行，但更為直觀的是速度比形式，因?yàn)榕鲎彩且运俣韧蛔兊男问奖憩F(xiàn)出來的，而能夠直接測定的也只是速度；能量比形式在涉及能量轉(zhuǎn)化的問題中有用.但是，速度、能量都和參考系的選擇有關(guān)，不如碰撞沖量那樣不隨參考系而變.因此，速度比和能量比形式的恢復(fù)系數(shù)定義，不如沖量比形式簡明.這就是大家傾向于采用后者的原因之一，至少在研究宏觀物體的碰撞時(shí)是這樣的，當(dāng)固體以光滑面相接觸而沿公法線方向發(fā)生正碰撞時(shí)，可以把恢復(fù)系數(shù)定義為碰撞第一階段和第一階段中兩物體的碰撞點(diǎn)間相對速度變化量大小之比，或這兩階段中碰撞沖量的大小之比，或這兩階段中系統(tǒng)動(dòng)能變化量大小之比取其平方根，這三者是完全一致的，甚至在物體進(jìn)行著最一般運(yùn)動(dòng)的光滑的斜碰撞中，也可以證明這三個(gè)定義的等效性仍然成立.

仔細(xì)研究這三種定義，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)是都將恢復(fù)系數(shù)看作為只與材料有關(guān)的常數(shù).但是，大量的實(shí)驗(yàn)表明：恢復(fù)系數(shù)不是僅僅依賴于材料的一種固有屬性，它還與摩擦、撞擊物和被撞擊物的材料、接觸面的幾何性質(zhì)以及碰撞的位形、初始速度等因素有關(guān)［7］.在理論研究時(shí)，這三種定義是等同的；在工程中，一定要考慮到實(shí)際過程中的各種因素，這時(shí)三種定義都要做一定的修正.

3 結(jié)語

由上討論可以知道，考慮到摩擦、撞擊物和被撞擊物的材料、接觸面的幾何性質(zhì)以及碰撞的位形、初始速度等因素時(shí)，恢復(fù)系數(shù)不是僅僅依賴于材料的一種固有屬性.而我們得到的式（3）中的“絕對恢復(fù)系數(shù)”是做了很大近似處理之后的結(jié)論，它可以作為處理一般的物體與物體之間發(fā)生碰撞時(shí)恢復(fù)系數(shù)的估算公式，更為精確的結(jié)果還是要依靠實(shí)驗(yàn)測量.希望我們的討論，對今后恢復(fù)系數(shù)的認(rèn)識(shí)和研究有一定的指導(dǎo)作用.

1 Kozlov，Valerii V.and Treshchёv，Dmitrii V.Billiards：A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts.American Mathematical Society，1991

2 康垂令.關(guān)于恢復(fù)系數(shù)e的討論.大學(xué)物理，1997，16（12）：18～20

3 王長春.從能量的角度討論兩體碰撞問題.大學(xué)物理，2005，24（9）：18～19

4 吳紅燕，于鳳軍.從彈性勢能儲(chǔ)能系數(shù)出發(fā)討論兩光滑小球的斜碰問題.大學(xué)物理，2007，26（2）：11～12

5 于鳳軍，賈栓穩(wěn).對絕對恢復(fù)系數(shù)的質(zhì)疑.大學(xué)物理，2007，26（12）：16～17

6 南京工學(xué)院，西安交通大學(xué).理論力學(xué)（下）.北京：人民教育出版社，1979.184

7 Goldsmith W.Impact.Edward Arnold Publishers Ltd.London，1960.262