基于多項(xiàng)式的等高齒錐齒輪時(shí)變嚙合剛度建模

劉志峰，張志民，張敬瑩，羅 兵

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

0 引 言

關(guān)于對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)及嚙合剛度的研究，國外主要集中在時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法的分析上，具有代表性的有 Song He［1］和 Robert G.Parker［2］，他們利用有限元方法計(jì)算并獲得了齒輪時(shí)變嚙合剛度。還有研究者曾嘗試?yán)糜邢拊椒ńX輪時(shí)變嚙合剛度的經(jīng)驗(yàn)公式，或簡化為與齒輪嚙合頻率同周期的方波函數(shù)，具有代表性的有Lin等［3］。國內(nèi)此方面的研究者主要有唐進(jìn)元、李潤方、林騰蛟等［4－5］，時(shí)變剛度的計(jì)算方法也主要采用通用的有限元方法。韓勤鍇等［6］提出一種簡便實(shí)用的考慮輪齒延長嚙合作用時(shí)的嚙合剛度模型，稱之為“梯形波模型”，給出了該模型主要參數(shù)（單齒和雙齒嚙合剛度、提前和滯后嚙合時(shí)間）的確定方法。李亞鵬等［7］提出改進(jìn)的石川公式，為齒輪動(dòng)力學(xué)方程提供一個(gè)整體意義上的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法。劉國華等［8］提出了反向嚙合剛度的概念，給出了漸開線直齒圓柱齒輪系統(tǒng)反向嚙合剛度的求解過程，推導(dǎo)出在嚙合區(qū)間變動(dòng)及嚙合點(diǎn)沿齒廓不斷變動(dòng)情況下輪齒嚙合剛度的計(jì)算公式。在進(jìn)行齒輪的動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，常見的方法是把剛度簡化處理成多階諧波疊加的形式，這種形式只是保證了剛度的變化頻率。

本文針對(duì)航空航天機(jī)械傳動(dòng)中用的等高齒錐齒輪，提出采用多項(xiàng)式的形式對(duì)等高齒錐齒輪時(shí)變嚙合剛度建模進(jìn)行簡化。并在不同的阻尼、載荷、轉(zhuǎn)速工況下，將多項(xiàng)式函數(shù)展開的剛度模型和多階諧波疊加形式的剛度模型進(jìn)行分析對(duì)比。

1 等高齒錐齒輪時(shí)變嚙合剛度原理

理論上，等高齒錐齒輪進(jìn)行傳動(dòng)時(shí)，嚙合的兩個(gè)輪齒在每一瞬間只有一個(gè)點(diǎn)相互接觸。由于輪齒表面的彈性變形，這些點(diǎn)沿輪齒齒面法線方向產(chǎn)生位移，于是輪齒之間形成一個(gè)橢圓接觸區(qū)域，而不再是點(diǎn)接觸的形式。如圖1所示，齒面上連續(xù)的理論瞬時(shí)接觸點(diǎn)的曲線形成一條接觸軌跡。齒面上實(shí)際的接觸區(qū)，就是由理論接觸軌跡上的許多瞬時(shí)接觸橢圓集合而成［9］。

圖1 實(shí)際接觸區(qū)域Fig.1 Actual contact area

假設(shè)只有一對(duì)齒面工作。在嚙合力作用下，輪齒發(fā)生兩種形式的變形，即接觸點(diǎn)沿齒面法向的位移和齒面上形成的橢圓接觸區(qū)。在某一嚙合點(diǎn)處，已知嚙合點(diǎn)的法向位移p，根據(jù)齒輪的幾何形狀和該點(diǎn)的幾何位置可以確定橢圓的具體尺寸。輪齒嚙合剛度隨著接觸區(qū)域的變化而變化，接觸區(qū)域越大，兩個(gè)齒面嚙合在一起的部分越多，越難以繼續(xù)產(chǎn)生變形，即剛度值越大。當(dāng)齒輪傳遞的載荷F較小時(shí)，接觸點(diǎn)在齒面法線方向上產(chǎn)生很小的位移Δp，此時(shí)接觸橢圓區(qū)域很小，嚙合剛度K也較??；當(dāng)傳遞的載荷很大時(shí)，形成的接觸橢圓區(qū)域變大，嚙合剛度K也隨之變大。綜上分析，可以認(rèn)為剛度K值由橢圓接觸區(qū)域的大小和形狀決定，而橢圓接觸區(qū)域又由接觸點(diǎn)沿齒面法向的位移p決定。于是，假設(shè)單齒嚙合剛度K是關(guān)于接觸點(diǎn)沿齒面法向位移p的函數(shù)。

實(shí)際情況下，每一次嚙合都有若干個(gè)理論接觸點(diǎn)。這些接觸點(diǎn)在各自的齒面上所處的位置不盡相同。它們大體上均勻分布在接觸軌跡線上，有的靠近齒頂處，有的靠近齒根處，還有的靠近齒面中心。把實(shí)際中的若干接觸點(diǎn)綜合成一個(gè)虛擬的接觸點(diǎn)，稱之為綜合嚙合點(diǎn)。綜合嚙合點(diǎn)在齒面法線方向上的位移和在虛擬齒面上形成的接觸橢圓形狀分別由多個(gè)實(shí)際接觸點(diǎn)的位移和齒面上橢圓形狀綜合而成。根據(jù)上文分析可知，綜合嚙合點(diǎn)的瞬時(shí)接觸變形由輪齒的形狀和多個(gè)實(shí)際接觸點(diǎn)在各自接觸軌跡線上的位置所決定。由于這多個(gè)接觸點(diǎn)大體上均勻分布在接觸軌跡線上，所以可以認(rèn)為綜合嚙合點(diǎn)沿齒面法向的位移可以唯一確定一個(gè)接觸橢圓，而與綜合嚙合點(diǎn)在齒面上的位置無關(guān)。因此，綜合嚙合剛度是一個(gè)關(guān)于綜合嚙合點(diǎn)的法向位移p的函數(shù)。

2 基于多項(xiàng)式時(shí)變嚙合剛度的等高齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)方程

圖2為等高齒錐齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，該模型包含了時(shí)變嚙合點(diǎn)、系統(tǒng)嚙合剛度、嚙合阻尼以及靜態(tài)誤差。非線性雙自由度純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)簡單描述了齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中齒對(duì)嚙合的動(dòng)力學(xué)特性，時(shí)變剛度引起動(dòng)態(tài)穩(wěn)定問題。該模型主要由兩個(gè)圓盤與一個(gè)彈簧、一個(gè)阻尼器和一個(gè)靜態(tài)誤差組成。圓盤代表齒輪的慣性質(zhì)量，彈簧代表齒輪嚙合剛度，阻尼器代表輪齒的嚙合阻尼。

圖2 等高齒錐齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型簡化圖Fig.2 Simplified figure of torsion and vibration of high－spiral bevel gear

雙自由度動(dòng)態(tài)模型（主動(dòng)輪p，從動(dòng)輪g）轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

式中:e為靜態(tài)傳遞誤差；c為嚙合阻尼；k為嚙合剛度；λp和λg為嚙合點(diǎn)半徑；Ip和Ig為齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θp和θg為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度；Tp和Tg為齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。

動(dòng)態(tài)傳遞誤差定義為

式中:cm為平均嚙合阻尼；km為平均時(shí)變嚙合剛度；動(dòng)態(tài)誤差p＝δ－e，e＝f′zzccos（ωt＋φ），f′zzc為齒輪等級(jí)精度影響齒輪副齒頻周期誤差的公差值。

3 時(shí)變嚙合剛度模型

嚙合剛度分以下三種情況討論。

3.1 平均嚙合剛度值

齒厚b＝40mm，根據(jù)機(jī)械振動(dòng)手冊(cè)［10］齒輪傳動(dòng)中齒輪副的平均嚙合剛度km與重合度ε＝1.6和軸向重合度εl＝0.6的函數(shù)關(guān)系圖查得平均嚙合剛度實(shí)測值，該實(shí)測值經(jīng)過合理處理得

3.2 簡諧波疊加形式的齒輪動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型

在進(jìn)行齒輪動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，沿輪齒齒面法線方向的位移p是一個(gè)重要的待求量，其數(shù)值大小直接影響了齒輪的振動(dòng)強(qiáng)度、疲勞及磨損。所以，在進(jìn)行齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)建立的振動(dòng)方程常常是以p為未知量的一元二次微分方程。以文獻(xiàn)［11］為例，最終化簡得到的振動(dòng)方程形式為

在分析方程時(shí)需要建立合理的剛度、阻尼、誤差模型，在傳統(tǒng)的文獻(xiàn)中［12－14］，多數(shù)把它們表示為多階簡諧波疊加的形式。典型的剛度模型建立方法如下:

在求解時(shí)由于計(jì)算量的限制，往往只取第一階簡諧波。同理，建立起來的阻尼cm和靜態(tài)傳遞誤差e的模型具有類似的形式［12］。

式中:齒輪的嚙合頻率ω＝nπz／30，k0＝1，kaj＝0.2。

3.3 多項(xiàng)式時(shí)變嚙合剛度模型

根據(jù)等高齒錐齒輪嚙合剛度的變化規(guī)律，齒輪嚙合剛度的大小與嚙合區(qū)域的形狀及位置有直接關(guān)系。在任一時(shí)刻，嚙合區(qū)域中心點(diǎn)的位置和嚙合面積的大小直接決定了嚙合剛度。一對(duì)輪齒接觸時(shí)，在嚙合力的作用下，沿齒面法向的彈性位移p越大，嚙合面積也就越大。因此，彈性位移p的值一定程度上對(duì)齒輪綜合嚙合剛度起決定作用。基于上文分析，假設(shè)嚙合剛度k′m關(guān)于沿齒面法向位移p的函數(shù)關(guān)系具有多項(xiàng)式的形式:

式中:K′i為剛度影響系數(shù)，i＝0，1，2，…。

得到的嚙合剛度值中，只有前幾項(xiàng)系數(shù)K′0，K′1，…，K′n，起較大作用，因此計(jì)算分析時(shí)只研究前幾項(xiàng)即可:

式中:A和B為多項(xiàng)式的系數(shù)，其數(shù)值為

A和B的數(shù)值是根據(jù)時(shí)變嚙合剛度第一種情況:輪齒嚙合剛度參考值計(jì)算得到的，計(jì)算依據(jù)是在某一段位移p中使剛度值在一定范圍內(nèi)，使得k2和k3可以進(jìn)行比較，如圖3所示。

圖3 剛度的范圍Fig.3 Range of stiffness

如圖4所示，將圓錐齒輪模型簡化為圓錐臺(tái)，C為嚙合點(diǎn)，r代表嚙合半徑。主動(dòng)輪的參數(shù)a＝20，b＝86，h＝35，r＝74；從動(dòng)輪的參數(shù)a＝47，b＝86，h＝35，r＝74。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ip＝1.0695×104、Ig＝8.6556×103，等效質(zhì)量me＝0.8736 kg。

圖4 擺線錐齒輪簡化成的圓錐臺(tái)模型Fig.4 Cone model of high－bevel gear

4 理論仿真分析

在未說明的情況下，所用到的相關(guān)數(shù)據(jù)為:齒輪等級(jí)為7級(jí)精度［15］，齒數(shù)z＝29，阻尼耗散因子系數(shù)cg＝0.05，振動(dòng)頻率ω＝nπz／30，K1代表時(shí)變嚙合剛度參考值模型，K2代表多階簡諧波疊加形式的剛度模型，K3代表多項(xiàng)式形式的剛度模型。

4.1 K1、K2、K3 的時(shí)域響應(yīng)計(jì)算比較

圖5 K1、K2、K3 的時(shí)域響應(yīng)圖Fig.5 Time－domain response of K1，K2and K3

將剛度模型分別代入齒輪動(dòng)力學(xué)方程中，用龍格庫塔算法ode45函數(shù)計(jì)算，用計(jì)算結(jié)果得出時(shí)域響應(yīng)圖。其中由于剛度模型K1是常量，所以計(jì)算結(jié)果只取最終恒定值做時(shí)域響應(yīng)分析。圖5中紅色線代表K1，綠色線代表K2，藍(lán)色線代表K3，K3與K1圖形變化趨勢相同，K2呈余弦形式振動(dòng)，K3和K1振動(dòng)程度隨著時(shí)間變化趨于穩(wěn)定，并都趨于一條平衡線，齒輪隨著轉(zhuǎn)速n的增加而引起的振動(dòng)更加劇烈，隨著負(fù)載扭矩T的增加，這種振動(dòng)程度減弱，表1為在不同轉(zhuǎn)速、負(fù)載扭矩下最大振動(dòng)位移K3、K2與K1的比較，可以看出K3與時(shí)變嚙合剛度的參考值模型K1的最大振動(dòng)位移差值不超過20%，而K2與K1的最大振動(dòng)位移差值則在20%以上?？梢钥闯鯧3的最大振動(dòng)位移差值的百分比小于K2的百分比值，K3更加平穩(wěn)。

表1 不同轉(zhuǎn)速和負(fù)載扭矩下最大振動(dòng)位移的比較Table 1 Comparison of maximum vibration displacement under different speed and load torque condition

4.2 K1、K2、K3 的時(shí)域響應(yīng)趨于穩(wěn)定時(shí)間比較

由于轉(zhuǎn)速和負(fù)載扭矩的大小對(duì)齒輪振動(dòng)趨于穩(wěn)定所用的時(shí)間影響不大，為了便于分析比較，取轉(zhuǎn)速n＝500r／min、負(fù)載扭矩T＝2200N·m，比較K3和K2在不同阻尼耗散因子系數(shù)下，齒輪振動(dòng)趨于穩(wěn)定的時(shí)間。表2給出了3種剛度模型在不同阻尼系數(shù)下，振動(dòng)趨于平衡的時(shí)間以及趨于平衡時(shí)間差值的百分比，可知K3的平衡時(shí)間更接近于K1，K3的振動(dòng)趨于平衡的時(shí)間差值百分比要比K2小，尤其是在小阻尼情況下這種情況更明顯。

表2 在n＝500r／min和T＝2200N·m及不同阻尼耗散因子系數(shù)下趨于穩(wěn)定時(shí)間的比較Table 2 n＝500r／min，T＝2200N·m，comparison of stable time under different damping coefficient

5 結(jié) 論

（1）本文基于多項(xiàng)式函數(shù)展開的剛度模型建立了等高齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)方程。從轉(zhuǎn)速、負(fù)載扭矩、阻尼因子系數(shù)方面對(duì)基于多項(xiàng)式函數(shù)和基于多階簡諧波疊加函數(shù)展開的剛度模型進(jìn)行仿真比較分析。

（2）基于本文方法得出的數(shù)據(jù)可以看出:基于多項(xiàng)式函數(shù)展開的剛度模型振動(dòng)變化更加平穩(wěn)。

（3）從本文方法仿真分析可知:基于多項(xiàng)式函數(shù)展開的剛度模型的振動(dòng)變化模擬更加精確（趨于振動(dòng)平衡時(shí)間差值比較小，尤其是在小阻尼的情況下），更貼近于時(shí)變嚙合剛度參考值剛度模型。

［1］Song He.Effect of sliding friction on spur and helical gear dynamics and vibro－acoustics［D］.Athens:The Ohio State University，2008:24－26.

［2］Lin Jian，Parker Robert G.Mesh stiffness variation instabilities in two－stage gear systems［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2002，124:68－76.

［3］Lin J，Parker R G.Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness variation［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，249（1）:129－145.

［4］林騰蛟，蔣仁科，李潤方，等.船用齒輪箱動(dòng)態(tài)響應(yīng)及抗沖擊性能數(shù)值仿真［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26（12）:14－22.Lin Teng－jiao，Jiang Ren－ke，Li Run－fang，et al.Numerical simulation of dynamic response and shock resistance of marine gearbox［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26（12）:14－22.

［5］唐進(jìn)元，陳思雨，鐘掘.一種改進(jìn)的齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型［J］.工程力學(xué)，2008，25（1）:217－223.Tang Jin－yuan，Chen Si－yu，Zhong Jue.A improved nonlinear model for a spur gear pair system［J］.Engineering Mechanics，2008，25（1）:217－223.

［6］韓勤鍇，王建軍，李其漢.考慮延長嚙合時(shí)齒輪副嚙合剛度模型［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2009，28（1）:52－55.Han Qin－kai，Wang Jian－jun，Li Qi－h(huán)an.A periodically time－arying mesh stiffness model for spur geared system considering the effect of extended tooth contact［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2009，28（1）:52－55.

［7］李亞鵬，孫偉，魏靜，等.齒輪時(shí)變嚙合剛度改進(jìn)計(jì)算方法［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2010，34（5）:22－26.Li Ya－peng，Sun Wei，Wei Jing，et al.Study on the improved algorithm of the time－varying meshing stiffness of gear［J］.Journal of Mechanical Transmission，2010，34（5）:22－26.

［8］劉國華，李亮玉，趙繼學(xué).考慮反向齒面嚙合力的齒輪系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度的研究［J］.天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，25（6）:54－57.Liu Guo－h(huán)ua，Li Liang－yu，Zhao Ji－xue.Research on time－variable－mesh－stiffness of gear pair based on inverse meshing force［J］.Journal of Tianjin Polytechnic University，2006，25（6）:54－57.

［9］鄭昌啟.弧齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1988:312－314.

［10］屈維德.機(jī)械振動(dòng)手冊(cè)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1992.

［11］Wang Jun，Lim Teik C，Li Ming－feng.Dynamics of a hypoid gear pair considering the effects of time－varying mesh parameters and backlash nonlinearity［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308:302－329.

［12］李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué):振動(dòng)、沖擊、噪聲［M］.北京:科學(xué)出版社，1997:156－158.

［13］Wang Jun，Lim Teik C.Effect of tooth mesh stiffness asymmetric nonlinearity for drive and coast sides on hypoid gear dynamics［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，319:885－903.

［14］Liu Gang，Parker Robert G.Dynamic modeling and analysis of tooth profile modification for multi mesh gear vibration［J］.Journal of Mechanical Design，2008，130:1－13.

［15］朱孝錄.齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)手冊(cè)［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2005.