數(shù)值分析課程教學(xué)改革的若干舉措

楊少華

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題計(jì)算方法的課程，其研究?jī)?nèi)容繁雜，包括函數(shù)逼近、非線(xiàn)性方程與方程組的數(shù)值解法、數(shù)值微分與數(shù)值積分、微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法等，把數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)技術(shù)緊密結(jié)合起來(lái)，重點(diǎn)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的近似解求法及理論。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和發(fā)展，數(shù)值求解方法在生產(chǎn)實(shí)踐、工程技術(shù)和社會(huì)發(fā)展等眾多領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，如力學(xué)、物理學(xué)、航空航天、能源開(kāi)發(fā)和金融風(fēng)險(xiǎn)投資等領(lǐng)域內(nèi)的有關(guān)人員，都將計(jì)算方法作為自己領(lǐng)域內(nèi)的一種重要的應(yīng)用工具。

數(shù)值分析有著數(shù)學(xué)課程的高度抽象性、理論嚴(yán)謹(jǐn)性，又有著自身的廣泛實(shí)用性。該課程以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)值算法設(shè)計(jì)原理和理論分析能力為目標(biāo)，要求學(xué)生能根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題建立模型，設(shè)計(jì)出計(jì)算方法，然后上機(jī)運(yùn)算出結(jié)果，使學(xué)生在掌握理論基礎(chǔ)的同時(shí)，具有抽象思維能力和解決問(wèn)題的能力。由于其廣泛的應(yīng)用性，數(shù)值分析目前已成為很多專(zhuān)業(yè)的必修課程。因此，進(jìn)一步提高數(shù)值分析課程的教學(xué)效果，改進(jìn)數(shù)值分析課程的教學(xué)方法，成為高校教師關(guān)注的焦點(diǎn)。

1 數(shù)值分析與計(jì)算機(jī)技術(shù)關(guān)系密切

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和完善，許多領(lǐng)域的科學(xué)研究越來(lái)越離不開(kāi)計(jì)算機(jī)，而數(shù)值分析與計(jì)算機(jī)的聯(lián)系更是密切。它需要設(shè)計(jì)出合理可行、能經(jīng)得起誤差檢驗(yàn)、有好的計(jì)算復(fù)雜性的算法，然后通過(guò)計(jì)算機(jī)的運(yùn)行得到數(shù)值解，這是它不同于其他數(shù)學(xué)課程的顯著特點(diǎn)。在此，數(shù)值分析中的算法設(shè)計(jì)起到橋梁作用，它把該課程的理論基礎(chǔ)與計(jì)算機(jī)技術(shù)緊密聯(lián)系在一起，為得到數(shù)值結(jié)果起到重要的作用。

1.1 計(jì)算結(jié)果需要進(jìn)行誤差檢驗(yàn)

數(shù)值分析主要研究算法設(shè)計(jì)原理，利用計(jì)算機(jī)得到較高精度的數(shù)值解，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行誤差分析。誤差分析是一個(gè)重要而復(fù)雜的過(guò)程，而對(duì)誤差進(jìn)行定量分析更是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，通常只能對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行定性或可靠性分析，因此，算法的設(shè)計(jì)必須有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，具有收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，也就是說(shuō)能無(wú)限逼近真實(shí)解，達(dá)到計(jì)算的精度要求。而穩(wěn)定性分析建立在相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上，因此要求算法設(shè)計(jì)者具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底。誤差分析因其復(fù)雜、抽象、理解較困難，一直都是數(shù)值分析課程的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)中可通過(guò)一些簡(jiǎn)單的例子讓初學(xué)者掌握誤差分析的基本方法，由淺入深，達(dá)到最終的教學(xué)目的。要讓學(xué)生明白數(shù)值計(jì)算過(guò)程中不可省略誤差的分析與檢驗(yàn)，而對(duì)誤差的準(zhǔn)確分析與檢驗(yàn)需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論功底。

1.2 計(jì)算方法要合理可行

由于數(shù)值分析與計(jì)算機(jī)的密切關(guān)系，在解決計(jì)算復(fù)雜、非人力所能解決的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要設(shè)計(jì)出計(jì)算機(jī)能接受、滿(mǎn)足精度要求、計(jì)算省時(shí)的優(yōu)良算法。因此，要設(shè)計(jì)出合理、可行的算法，同時(shí)準(zhǔn)確地將算法描述成計(jì)算機(jī)所能接受的程序，這是得到數(shù)值解的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，否則無(wú)法得到結(jié)果。在教學(xué)中，要讓學(xué)生掌握算法設(shè)計(jì)的方法、規(guī)則和描述語(yǔ)言，在實(shí)例中感受和理解設(shè)計(jì)出合理可行的算法的重要性，教師在上課時(shí)必須注意這方面的訓(xùn)練。

1.3 算法的設(shè)計(jì)要符合計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)

計(jì)算問(wèn)題的最終目的是要把設(shè)計(jì)好的算法轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)所能接受的某種語(yǔ)言，然后通過(guò)計(jì)算機(jī)運(yùn)算出結(jié)果，所以算法的設(shè)計(jì)還需要考慮到輔助工具計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)。針對(duì)具體問(wèn)題在一定限制條件和思想指導(dǎo)下設(shè)計(jì)出具有好的計(jì)算復(fù)雜性的算法，這包括兩方面內(nèi)容：其一是指時(shí)間復(fù)雜性，能節(jié)約運(yùn)行時(shí)間；其二是指空間復(fù)雜性，能節(jié)省存儲(chǔ)空間，這是算法設(shè)計(jì)的基本要求，它對(duì)能否得到計(jì)算結(jié)果起到關(guān)鍵作用。在教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)算法復(fù)雜性分析的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與改良，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，設(shè)計(jì)出節(jié)約運(yùn)行時(shí)間、節(jié)省存儲(chǔ)空間的算法。

1.4 試驗(yàn)在數(shù)值分析中占據(jù)著至關(guān)重要的地位

具備上述3個(gè)特點(diǎn)的算法最終還要被證明是行之有效的。算法設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和計(jì)算機(jī)運(yùn)行的特點(diǎn)使得算法可能出現(xiàn)異常結(jié)果，不符合實(shí)際意義，所以教師在傳授理論知識(shí)的同時(shí)，還要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。通過(guò)算法設(shè)計(jì)實(shí)例的講解，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)理論聯(lián)系實(shí)踐，提高學(xué)生解決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題的實(shí)際能力。此外，還要重視對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析、討論。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)的體會(huì)和回味，使學(xué)生了解算法設(shè)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)，驗(yàn)證數(shù)值結(jié)果的可靠性，解釋出現(xiàn)異常結(jié)果的原因，進(jìn)一步鞏固和消化理論知識(shí)，提高科學(xué)計(jì)算能力。

2 傳統(tǒng)數(shù)值分析教學(xué)中出現(xiàn)的突出問(wèn)題

2.1 內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)多，難以全面掌握

數(shù)值分析這門(mén)課程內(nèi)容比較多，信息量比較大，對(duì)于既需要接受理論基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)又要完成試驗(yàn)課任務(wù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，一個(gè)學(xué)期的教學(xué)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。想讓學(xué)生在規(guī)定的教學(xué)時(shí)數(shù)內(nèi)真正掌握這些內(nèi)容比較困難，數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，情況相對(duì)來(lái)說(shuō)會(huì)好一些，而對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言情況可能會(huì)雪上加霜。

2.2 片面重視理論，授課方式單調(diào)

目前，數(shù)值分析的教學(xué)中依然存在理論與實(shí)踐嚴(yán)重脫節(jié)的問(wèn)題，然而這門(mén)課程具有很強(qiáng)的實(shí)踐特征。由于教學(xué)時(shí)數(shù)不夠，大多數(shù)教師只講授書(shū)本的理論部分，學(xué)生無(wú)法真正理解理論的用處，不能體會(huì)到理論對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)作用。很多學(xué)生只是為了考試而學(xué)習(xí)，這樣他們只獲得了表層知識(shí)，而沒(méi)有抓住知識(shí)的精髓和實(shí)質(zhì)。

2.3 理論晦澀、公式繁雜，不利于記憶

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)的分支，與其他數(shù)學(xué)課程一樣有著抽象的理論，但數(shù)值分析還具有其他數(shù)學(xué)課程所不具備的實(shí)踐性強(qiáng)的特點(diǎn)。之前學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)大都是先學(xué)習(xí)理論，然后根據(jù)理論完成相應(yīng)的作業(yè)，邏輯推理的特性比較強(qiáng)，并且知識(shí)結(jié)構(gòu)的銜接非常緊湊，而數(shù)值分析各部分內(nèi)容自成體系，邏輯性、連貫性不強(qiáng)，學(xué)習(xí)內(nèi)容的巨大差異，加上學(xué)生的思想模式不能很快轉(zhuǎn)變，使得教學(xué)效果差強(qiáng)人意。此外，數(shù)值分析比之前所學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程的公式更加繁雜，證明過(guò)程更是抽象，這也是學(xué)生不感興趣的主要原因。學(xué)生對(duì)數(shù)值分析這門(mén)課程的重要性認(rèn)識(shí)不足，不能領(lǐng)會(huì)到數(shù)值分析這門(mén)課程對(duì)后續(xù)課程學(xué)習(xí)的重要作用，在學(xué)習(xí)中稍稍遇到困難時(shí)，他們往往就知難而退，喪失了學(xué)好課程的信心。

3 數(shù)值分析教學(xué)改革的舉措

3.1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，減小學(xué)習(xí)壓力

數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重，但學(xué)時(shí)有限，所以我們要仔細(xì)篩選，做到重點(diǎn)突出，但同時(shí)能圓滿(mǎn)完成教學(xué)大綱規(guī)定的任務(wù)。為使學(xué)生在理論課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中能熟練掌握現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法，在教學(xué)過(guò)程中要及時(shí)將教研、科研成果向?qū)W生介紹，使他們了解本學(xué)科最新的研究成果，開(kāi)拓視野，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，形成完整的理論體系，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)課教學(xué)是數(shù)值分析課程必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)，這個(gè)過(guò)程主要是使學(xué)生根據(jù)之前掌握的計(jì)算機(jī)知識(shí)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件把設(shè)計(jì)出的算法編程，利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算出結(jié)果，然后分析結(jié)果的可靠性，可以培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為以后從事科學(xué)工作打下良好的基礎(chǔ)。為實(shí)現(xiàn)這一目的，課前要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容詳細(xì)地設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)課，要求學(xué)生熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件編制程序，上機(jī)實(shí)現(xiàn)算法，仔細(xì)研究、分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，培養(yǎng)自己的實(shí)踐能力。

3.2 培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲

課堂教學(xué)是教師傳授知識(shí)的主要方式，由于數(shù)值分析的內(nèi)容抽象、公式繁雜，學(xué)生難免會(huì)有畏懼的心理，在聽(tīng)課的過(guò)程中稍稍走神，后面的內(nèi)容就會(huì)聽(tīng)不懂。因此，對(duì)數(shù)值分析的教學(xué)要特別注重課前的預(yù)習(xí)，在講每一部分內(nèi)容之前把這一章和每個(gè)小節(jié)的主要內(nèi)容及解決問(wèn)題的思路告訴學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)，課外獨(dú)立思考，尋找補(bǔ)充材料，讓他們考慮能否得到問(wèn)題的準(zhǔn)確解。在教學(xué)環(huán)節(jié)上，可采用以數(shù)值問(wèn)題產(chǎn)生的背景為出發(fā)點(diǎn)，仔細(xì)講解問(wèn)題的分析過(guò)程以及如何設(shè)計(jì)出合理的算法，最終上機(jī)運(yùn)算出結(jié)果的方式，這樣可以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高他們的學(xué)習(xí)興趣。此外還可以應(yīng)用靈活的教學(xué)方式，如設(shè)計(jì)出難易適中的問(wèn)題，在課堂上讓學(xué)生分組討論、給出結(jié)果，并對(duì)他們的結(jié)果進(jìn)行分析與評(píng)價(jià)，這樣既可以調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，還可以促使他們相互啟發(fā)，不斷深化認(rèn)識(shí)，使問(wèn)題的解決方案逐漸完善，讓學(xué)生從中體會(huì)到成功的喜悅和學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情。

3.3 多學(xué)科相融合，培養(yǎng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力

數(shù)值分析是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力的最佳課程，因?yàn)樗枰藗兺ㄟ^(guò)計(jì)算機(jī)解決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，所以掌握好計(jì)算機(jī)知識(shí)、增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力是學(xué)好該課程的關(guān)鍵。選擇合適的教學(xué)軟件，將數(shù)值理論方法和計(jì)算機(jī)知識(shí)相結(jié)合，處理一些實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中讓學(xué)生找到自己的不足之處，然后老師給出具體啟發(fā)性、引導(dǎo)性的回答，培養(yǎng)他們獨(dú)立解決問(wèn)題的實(shí)踐能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，使學(xué)生真正學(xué)好這門(mén)課程。另外，教師還要高度重視培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)和研究等創(chuàng)新能力，改變學(xué)生理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)的問(wèn)題。在教學(xué)時(shí)，由介紹新知識(shí)產(chǎn)生的背景將新知識(shí)引出，需要教師在課前充分備課，查閱文獻(xiàn)資料，向?qū)W生介紹問(wèn)題是如何產(chǎn)生的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析，建立數(shù)學(xué)模型，最終解決問(wèn)題，為創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。另外，針對(duì)教材內(nèi)容陳舊、作業(yè)形式單一等問(wèn)題，教師可以通過(guò)布置一些簡(jiǎn)單的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)閱讀來(lái)彌補(bǔ)教材內(nèi)容陳舊的缺陷，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。在實(shí)施的過(guò)程中，可對(duì)班里的同學(xué)進(jìn)行分組，對(duì)組內(nèi)成員的工作進(jìn)行分工，將問(wèn)題的處理過(guò)程寫(xiě)成論文，并安排陳述和答辯，這對(duì)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和創(chuàng)新能力的提高有很大的幫助。

3.4 建立科學(xué)的考核機(jī)制

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，判斷學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況往往是通過(guò)閉卷考試，這一方式往往沒(méi)有考慮數(shù)值分析突出的實(shí)踐性特點(diǎn)，將學(xué)生引入學(xué)習(xí)的誤區(qū)。這門(mén)課程的考核應(yīng)該將平時(shí)成績(jī)（書(shū)面作業(yè)和上機(jī)作業(yè)）和期末成績(jī)相結(jié)合，按一定比例算出最終的綜合成績(jī)，兼顧到對(duì)理論知識(shí)的掌握和實(shí)際動(dòng)手能力的考核，而科學(xué)的考核機(jī)制將為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)這門(mén)課程、教師完成教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)任務(wù)指出明確的方向。

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)值分析是一門(mén)理論抽象、公式繁雜、不易記憶、實(shí)用性很強(qiáng)的課程。根據(jù)以上特點(diǎn)，我們提出以學(xué)生為中心，合理地選擇教學(xué)內(nèi)容，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，改進(jìn)考核方式和手段等相應(yīng)的教學(xué)改革舉措，提升了教學(xué)效果，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)值分析課程的信心。當(dāng)然，數(shù)值分析課程的教學(xué)改革仍處在摸索階段，在今后的教學(xué)中，我們還要不斷地改進(jìn)教學(xué)方式、方法，力爭(zhēng)達(dá)到更好的教學(xué)效果。

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