開關(guān)狀態(tài)函數(shù)化及其在多電平逆變器分析中的應(yīng)用

劉漢陽 黃松清

（安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

電力電子技術(shù)是21世紀(jì)最有潛力、應(yīng)用最為廣泛新興技術(shù)之一[1]。但是電力電子裝置應(yīng)用到的開關(guān)器件均工作在非線性狀態(tài)，使得對其分析一直停留在定性的階段，這也成為電力電子技術(shù)應(yīng)用的瓶頸。常規(guī)的開關(guān)模型沒有完整描述電力電子裝置的能力，在分析上多采用仿真結(jié)合實(shí)驗(yàn)的對比和推演分析，并不能全面揭示出裝置內(nèi)部的工作規(guī)律，總有管中窺豹之感。在這種分析方法下，大量數(shù)學(xué)工具無法得到應(yīng)用，給控制算法的優(yōu)化研究帶來了很大困難，同時(shí)也造成了電力電子裝置的設(shè)計(jì)和改進(jìn)多依靠經(jīng)驗(yàn)。

PWM 控制方法目前為止是眾多電力電子裝置對開關(guān)器件的控制方法。在仔細(xì)分析眾多的PWM控制算法后，能夠發(fā)現(xiàn)它們?nèi)源嬖谝恍┕餐膯栴}：

1）控制算法繁多，有些算法大同小異，研究上有一定的盲目性。

2）各種算法直接存在內(nèi)在聯(lián)系，但目前并沒有人在數(shù)學(xué)層面上對其進(jìn)行完整的揭示，致使算法研究存在重復(fù)性。

3）對各種優(yōu)化算法優(yōu)劣的評判標(biāo)準(zhǔn)主要靠仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，缺少系統(tǒng)的量化分析。

缺少一種統(tǒng)一的分析工具是導(dǎo)致這些問題的重要原因，本文提出一種將開關(guān)狀態(tài)函數(shù)化的分析方法，巧妙地將數(shù)學(xué)分析工具引入到電力電子技術(shù)的分析過程中。找出了函數(shù)化后的電力電子裝置定義域，將輸出定義為所需要的 PWM信號。因此，可以將已有的 PWM控制算法用開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的形式統(tǒng)一的表達(dá)，并以此產(chǎn)生輸出信號；也可以根據(jù)裝置輸出指標(biāo)要求得到控制所需的 PWM信號?？梢姶朔椒蓪Ω鞣N PWM控制算法進(jìn)行統(tǒng)一分析，簡化研究的復(fù)雜度。最后將這種全新的分析方法應(yīng)用到多電平逆變器的分析之中。

1 開關(guān)狀態(tài)函數(shù)

將電力電子裝置中的一個(gè)或幾個(gè)開關(guān)器件在某一時(shí)刻整體的開通關(guān)斷狀態(tài)定義為電力電子裝置的開關(guān)狀態(tài)S。無論電力電子裝置采用何種電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在某一時(shí)刻經(jīng)開關(guān)器件變換輸出的電壓都至少對應(yīng)一種開關(guān)狀態(tài)，而某一時(shí)刻每個(gè)開關(guān)狀態(tài)只對應(yīng)一種輸出電壓。由此可見開關(guān)狀態(tài)是時(shí)間的函數(shù)，而裝置的輸出電壓是開關(guān)狀態(tài)和時(shí)間的函數(shù)

在這種情況下去推導(dǎo)輸出電壓的解析式并不容易，因?yàn)榧词归_關(guān)狀態(tài)一定，電壓依然是時(shí)間的函數(shù)，可能會隨時(shí)間變化。但當(dāng)變換裝置的電源為穩(wěn)定直流時(shí)，裝置只能靠不同開關(guān)組合產(chǎn)生有限種輸出電壓，此時(shí)輸出電壓是幅值離散的連續(xù)信號，一種開關(guān)狀態(tài)只能對應(yīng)一種輸出電壓。在實(shí)際應(yīng)用中控制系統(tǒng)多為數(shù)字系統(tǒng)，在每個(gè)控制周期里裝置輸出為一組電壓序列，第n個(gè)控制周期的輸出電壓可表達(dá)為

式中，Ts為系統(tǒng)控制周期，m是開關(guān)狀態(tài)的數(shù)量，AnS是開關(guān)狀態(tài)S在第n個(gè)控制周期里的作用區(qū)間，可通過計(jì)算機(jī)或者微控制器離線或在線計(jì)算得到。

利用式（2）可得出在連續(xù)時(shí)間上輸出電壓的表達(dá)式

式（2）和式（4）即為變換裝置輸出電壓的開關(guān)狀態(tài)函數(shù)表達(dá)式，可見開關(guān)狀態(tài)函數(shù)相當(dāng)于一種基函數(shù)，任意波形的輸出電壓均可以由開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的組合來表達(dá)。不同的控制算法的區(qū)別僅僅在于AnS的計(jì)算方法不同，所以可以基于開關(guān)狀態(tài)函數(shù)對各種控制算法進(jìn)行統(tǒng)一地分析并得出開關(guān)器件的控制信號，這就是開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的分析方法。可見開關(guān)狀態(tài)函數(shù)特別適用于分析那些對直流電源進(jìn)行變換的電力電子裝置。

對得到電壓序列表達(dá)式的過程進(jìn)行逆向思考，可知能夠在已知電壓序列的情況下得到與之對應(yīng)的開關(guān)狀態(tài)分布情況，由此在實(shí)際設(shè)計(jì)中我們就可以根據(jù)裝置期望的輸出要求得到開關(guān)器件的控制信號。裝置的一種電壓輸出可能對應(yīng)了多種開關(guān)狀態(tài)，所以設(shè)電壓Um對應(yīng)的開關(guān)狀態(tài)集合為Sm。定義函數(shù)為

通過式（5）即可由裝置的輸出電壓得到相應(yīng)的開關(guān)狀態(tài)的集合，進(jìn)一步要根據(jù)系統(tǒng)要求的控制目標(biāo)來合理地選擇開關(guān)狀態(tài)，此過程即為上面開關(guān)狀態(tài)函數(shù)化表達(dá)的逆過程。至此通過開關(guān)狀態(tài)函數(shù)建立了裝置的輸出電壓和開關(guān)狀態(tài)之間較為完整的關(guān)系，二者的互逆關(guān)系給系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)帶來了很大方便。

下面利用開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的分析方法對圖1所示電路做簡要分析。此電路即為基本的Buck變換電路，電路有兩種開關(guān)狀態(tài)，可定義S的定義域?yàn)閧0, 1}，0表示開關(guān)導(dǎo)通1表示開關(guān)關(guān)斷。若控制周期為0.002s，占空比為0.5，輸出電壓為

由開關(guān)狀態(tài)函數(shù)得到系統(tǒng)輸出電壓的準(zhǔn)確表達(dá)式，則負(fù)載電流可充分利用系統(tǒng)分析的方法來求解。

圖1 Buck變換電路

基于基爾霍夫回路方程，可得電路微分方程為

易求電流的沖擊響應(yīng)h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為激勵(lì)函數(shù)u(t)與h(t)的卷積

將系統(tǒng)離散化，則式（7）改寫為差分方程的形式有

x(nT)是輸出電壓u(t)的采樣序列，y(nT)是負(fù)載電流序列。

同樣有式（8）的離散形式

減小樣值時(shí)間T，利用計(jì)算機(jī)可以較為精確的求解式（9）和式（10）。

可見利用開關(guān)狀態(tài)函數(shù)得到電力電子裝置輸出電壓表達(dá)式后，可以較為方便的引入傳統(tǒng)系統(tǒng)分析方法對輸出進(jìn)行分析。將表達(dá)式離散化后，可以方便的利用計(jì)算機(jī)對各表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值求解，也可進(jìn)一步對信號進(jìn)行變換和分析，方法的通用性較強(qiáng)。

2 開關(guān)狀態(tài)函數(shù)在多電平逆變器分析中的應(yīng)用

多電平逆變器具有輸出電壓電流諧波小、降低器件的電壓應(yīng)力和耐壓等級要求等優(yōu)點(diǎn)，因而在高壓調(diào)速、靜止無功補(bǔ)償?shù)榷鄠€(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用[5-7]。多電平逆變器的 PWM控制技術(shù)一直是多電平逆變技術(shù)的研究重點(diǎn)之一，但長期以來并沒有一種分析方法能夠?qū)ΜF(xiàn)存的方法進(jìn)行統(tǒng)一的分析和比較。這導(dǎo)致了在實(shí)際應(yīng)用中控制算法選擇和實(shí)現(xiàn)的困難，同時(shí)也造成了PWM算法研究的重復(fù)性和盲目性。文獻(xiàn)[3]利用開關(guān)狀態(tài)函數(shù)對三電平逆變電路進(jìn)行了分析，但所提方法不能簡單有效的分析更多電平的電路。下面提出一種更有效的開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的分析方法，對多電平逆變器進(jìn)行分析并提出一種根據(jù)輸出要求得到三電平開關(guān)序列排布的簡易方法和一種逆變器輸出諧波的計(jì)算方法。

2.1 多電平逆變器的開關(guān)狀態(tài)函數(shù)

設(shè)逆變器直流母線電壓為UDC，由圖2可得對于一個(gè)m電平逆變器，每一級電平值為

圖2 多電平逆變器開關(guān)模型

則每一相可以輸出的電平為0，E，2E，…，(m-1)E。定義逆變器輸出電壓的最低電位為參考零點(diǎn)0，0′為三相對稱負(fù)載的中點(diǎn)，三相開關(guān)狀態(tài)為Sa，Sb，Sc，則逆變器三相輸出電壓為

在三相負(fù)載平衡的情況下負(fù)載的相電壓之和為0，將式（14）各項(xiàng)相加得

將式（15）代回式（14）中，可得

將式（11）帶入式（12）和式（16）中并將其改寫成矩陣形式可得逆變器輸出相電壓和負(fù)載相電壓關(guān)于開關(guān)狀態(tài)的函數(shù)

開關(guān)狀態(tài)與電壓空間矢量之間也有著密切關(guān)系。定義m電平電壓空間矢量關(guān)于開關(guān)狀態(tài)的函數(shù)為

圖3 三電平逆變器的電壓空間矢量與開關(guān)狀態(tài)

式中，1=ej0°、a=ej120°、a2=ej240°分別為A相、B相和C相電壓的單位空間矢量。由此定義可得到多電平逆變器輸出電壓的空間矢量圖。如圖3所示空間電壓矢量圖中的每一個(gè)頂點(diǎn)都是一種獨(dú)立的電壓空間矢量，總數(shù)為3m(m - 1)+1。而逆變器的開關(guān)狀態(tài)共有m3種，除了最外側(cè)的空間矢量外，其它空間矢量都對應(yīng)了多種開關(guān)狀態(tài)，此即開關(guān)狀態(tài)的冗余。進(jìn)一步分析可知開關(guān)狀態(tài)的冗余的本質(zhì)是疊加在線電壓上的共模電壓，冗余狀態(tài)間有如下關(guān)系，即

式中，k為開關(guān)狀態(tài)冗余系數(shù)。

由以上分析可以得多電平逆變器的開關(guān)狀態(tài)與逆變器輸出電壓以及空間電壓矢量有著簡單的線性映射關(guān)系，因此開關(guān)狀態(tài)函數(shù)可以作為多電平逆變器的有力分析工具。事實(shí)上在數(shù)字系統(tǒng)中，載波調(diào)制法多采用對稱規(guī)則采樣，在每個(gè)采樣周期里逆變器三相輸出電壓都是關(guān)于Ts/2對稱的電壓序列。在上面的分析中指出，在這種調(diào)制方法下各種PWM控制方法的差異僅僅是電壓序列中各個(gè)電壓（也即開關(guān)狀態(tài)）的作用時(shí)間的計(jì)算方法不同，這就為用統(tǒng)一的分析方法去分析不同的控制方法提供了可能性。

2.2 一種三電平開關(guān)序列排布的簡易方法

多電平逆變器的 PWM控制法主要可分為載波調(diào)制法，消除特定諧波法（開關(guān)點(diǎn)預(yù)置 PWM法）和空間電壓矢量調(diào)制法?；谶@三種 PWM控制算法，針對不同的電路結(jié)構(gòu)和要求，又可以派生出許多具體優(yōu)化的多電平PWM控制法[6-9]。這些算法實(shí)際上是逆變器輸出電壓序列排布方法有所不同，也即開關(guān)序列排布方法不同。

將開關(guān)狀態(tài)函數(shù)化后可以揭示出一些普通分析方法較難發(fā)現(xiàn)的控制規(guī)律。下面提出一種根據(jù)輸出要求得到三電平開關(guān)序列排布的簡易方法。

設(shè)圖3中由電壓矢量000、100、110的頂點(diǎn)圍成的三角形為ΔABC，以參考矢量Uref位于ΔABC區(qū)域里的情況為例。此時(shí)根據(jù)NTV法則（Nearest Triangle Vectors）需利用UA、UB、UC三個(gè)電壓矢量根據(jù)秒伏平衡的原理來合成Uref。開關(guān)狀態(tài)的排布要滿足兩個(gè)基本原則：每個(gè)采樣周期內(nèi)開關(guān)狀態(tài)序列應(yīng)歷遍三種電壓矢量；每次開關(guān)狀態(tài)切換時(shí)只能有一位改變且只變化一級。這保證了每次切換只有一個(gè)橋臂上的開關(guān)動作從而降低開關(guān)頻率，同時(shí)杜絕了電源正負(fù)極直通的情況。將含有“0”的開關(guān)狀態(tài)排在最底層，在式（20）中令k從零開始增加依次向上排列出其他的冗余狀態(tài)，則三個(gè)電壓矢量的開關(guān)狀態(tài)排列成圖4的形式。此時(shí)只要選擇一個(gè)開關(guān)狀態(tài)作為起點(diǎn)沿圖4中所示路徑按一個(gè)方向變化即可快速查找出所有滿足以上兩個(gè)基本原則的開關(guān)序列，進(jìn)一步可根據(jù)不同的控制目標(biāo)對開關(guān)序列進(jìn)行選擇。此方法適用于任意電平逆變器的分析，尤其當(dāng)電平數(shù)增加時(shí)開關(guān)狀態(tài)冗余進(jìn)一步增多，用此方法來排布開關(guān)狀態(tài)可大大降低工作量。

圖4 開關(guān)序列排布方式

以三電平二極管鉗位電路的中點(diǎn)電壓作為附加控制目標(biāo)說明此方法的應(yīng)用。按照電壓矢量的幅值一般可將三電平電壓空間矢量分為4類：零矢量、短矢量、中矢量、長矢量。電路輸出零矢量和長矢量時(shí)電容上沒有電流流過，所以二者對中點(diǎn)電壓沒有影響。中矢量的開關(guān)狀態(tài)沒有冗余，但中矢量自身對中點(diǎn)電壓偏移有平衡作用。每個(gè)短矢量對應(yīng)兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)，且這兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)對中點(diǎn)電壓的影響是相反的。因此通過在一個(gè)開關(guān)序列周期里排布兩個(gè)對中點(diǎn)電壓起相反作用的短矢量開關(guān)狀態(tài)可達(dá)到修正中點(diǎn)電壓偏移和抑制中點(diǎn)電壓波動的目的[10-11]。仍以上述ΔABC區(qū)域?yàn)槔?，若采用七段式矢量合成方案，則一個(gè)開關(guān)序列周期里要包含UB或UC的兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)。利用圖4可得出4種可選方案。

1）選擇100為起點(diǎn)：

100—110—111—211—111—110—100

2）選擇211為起點(diǎn)：

211—111—110—100—110—111—211

3）選擇110為起點(diǎn)：

110—111—211—221—211—111—110

4）選擇221為起點(diǎn)：

221—211—111—110—111—211—221

對于方案1）來說，結(jié)合中點(diǎn)電壓和中點(diǎn)電流的方向合理分配開關(guān)狀態(tài)100與211的作用時(shí)間即可達(dá)到對中點(diǎn)電壓平衡控制的目的，其他方案同理。有關(guān)各矢量作用時(shí)間計(jì)算以及分配的問題國內(nèi)外學(xué)者已提出了多種方法，這里不再贅述[10-14]。

2.3 開關(guān)狀態(tài)函數(shù)化方法應(yīng)用—逆變器輸出諧波分析

以三電平逆變器為例，為減小開關(guān)損耗令uA0、uB0、uC0在一個(gè)采樣周期里一般最多跳變兩次。

則A相在一個(gè)采樣周期里輸出電壓序列為

根據(jù)式（21）可知一個(gè)完整的2π電角度周期內(nèi)，逆變器輸出電壓表達(dá)式為

對u(t)做周期拖延后得到的周期函數(shù)顯然滿足Dirichlet條件，則可對輸出電壓進(jìn)行Fourier級數(shù)展開

根據(jù)式（18）可推得A相負(fù)載相電壓的n次諧波的幅值為

利用式（23）、（24）、（25），借助計(jì)算機(jī)可以比較簡單準(zhǔn)確的計(jì)算出逆變器輸出電壓序列的各階諧波幅值。

3 仿真結(jié)果

Simulink RTW（Real-TimeWorkshop，新版Simulink中稱為 Simulink Coder）可以從Simulink模塊、Matlab函數(shù)搭建的仿真模型生成目標(biāo)芯片的可執(zhí)行代碼，并在Simulink與目標(biāo)芯片間建立通信路徑從而實(shí)現(xiàn)在Simulink平臺上結(jié)合外部實(shí)物系統(tǒng)進(jìn)行包括半實(shí)物實(shí)時(shí)仿真等多種仿真功能，這大大提高了驗(yàn)證算法可行性的速度，縮短了系統(tǒng)開發(fā)的周期。為方便用戶使用RTW生成TI DSP C2000系列芯片的可執(zhí)行代碼，TI公司與Mathworks公司聯(lián)合開發(fā)了Target Support Package TC2軟件包并DSP C2000系列芯片中的各個(gè)部分抽象封裝成Simulink模塊形式。

本系統(tǒng)運(yùn)用Simulink搭建了三相鉗位式三電平逆變器，依據(jù)上文所提方法編寫了基于C語言的S-function實(shí)現(xiàn)了一種帶有中點(diǎn)點(diǎn)位平衡功能的三電平SVM 算法和諧波計(jì)算算法，并利用Simulink RTW和Target Support PackageTC2實(shí)現(xiàn)了仿真與DSP芯片間的耦合，令仿真更具現(xiàn)實(shí)意義。仿真參數(shù)如下：直流電源電壓600V，鉗位電容470μF，調(diào)制度0.8，輸出電壓頻率50Hz，仿真采樣時(shí)間1×10-6s，控制周期2×10-4s，三相對稱RL負(fù)載：R=10Ω，L=0.1H。圖5（a）、（b）、（c）、（d）分別為逆變器輸出的線電壓、負(fù)載相電壓、負(fù)載電流和中點(diǎn)電壓的仿真波形?？梢娯?fù)載相電壓在任何時(shí)刻沒有發(fā)生超過兩個(gè)電壓階梯的躍變，負(fù)載電流較接近正弦波，中點(diǎn)電壓的波動幅度控制在5V以內(nèi)。表1為計(jì)算得到的負(fù)載相電壓奇次諧波的幅值?？梢娝惴ㄝ^好的實(shí)現(xiàn)了三電平SVM算法且具有平衡中點(diǎn)電壓的能力。系統(tǒng)設(shè)計(jì)采用ICETEK-F2812-A評估板實(shí)現(xiàn)控制部分，評估板硬件結(jié)構(gòu)如圖6所示。DSP2812包含兩個(gè)獨(dú)立的EV模塊，每個(gè)模塊可輸出三路兩兩互補(bǔ)的 PWM波形。程序設(shè)計(jì)中對兩個(gè)EV模塊進(jìn)行統(tǒng)一配置，使12路PWM信號同步工作，對電路中12個(gè)開關(guān)器件進(jìn)行控制，達(dá)到了充分利用DSP片上資源的效果。

圖5 仿真波形

表1 負(fù)載相電壓諧波幅值

圖6 ICETEK-F2812-A評估板硬件結(jié)構(gòu)

4 結(jié)論

本文通過分析總結(jié)傳統(tǒng)電力電子分析方法的弊端，提出了一種開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的分析方法，巧妙地將數(shù)學(xué)分析工具引入到電力電子技術(shù)的分析過程中，力圖從數(shù)學(xué)上做到對電力電子裝置較為完整且統(tǒng)一的分析。因此，可以根據(jù)傳統(tǒng)的 PWM技術(shù)，得到多電平PWM控制信號；也可以根據(jù)逆變器輸出要求得到控制需要的 PWM信號。通過利用此方法對多電平逆變器的分析以及仿真實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證了方法的可行性和有效性。開關(guān)狀態(tài)函數(shù)的分析方法提供了一種運(yùn)用數(shù)學(xué)手段完整描述電力電子裝置的途徑，為將更多的數(shù)學(xué)工具引入分析和優(yōu)化工作中奠定了基礎(chǔ)。

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