泛函分析課程教學(xué)改革初探

魏含玉

（周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 周口466001）

泛函分析是數(shù)學(xué)系的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，它是研究無(wú)限維線性空間上泛函和算子理論的一門(mén)分析數(shù)學(xué)，它綜合了分析、代數(shù)和幾何而形成，被當(dāng)今科學(xué)界喻為“20世紀(jì)的微積分”，相對(duì)于數(shù)學(xué)系的“老三基”（數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何）而言，它與抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)一起被稱(chēng)之為“新三基”，可見(jiàn)，這門(mén)課程的重要性.時(shí)至今日，泛函分析已成為內(nèi)容豐富，方法系統(tǒng)，應(yīng)用廣泛的學(xué)科.但是由于其內(nèi)容高度抽象，教師難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象普遍存在，再加上近幾年擴(kuò)招，使學(xué)生的實(shí)際水平差別加大，使得更多的學(xué)生反映這門(mén)課程抽象難學(xué).

因此，在新形勢(shì)下，迫切需要對(duì)泛函分析課程的教學(xué)進(jìn)行改革.近幾年來(lái)，在總結(jié)前人寶貴經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上［1-4］，周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系對(duì)泛函分析課程進(jìn)行以下幾個(gè)方面的教學(xué)改革探索與實(shí)踐.

1 學(xué)習(xí)與探索同步，師生交流互動(dòng)

課堂講解是整個(gè)教學(xué)過(guò)程中最重要的環(huán)節(jié)，搞好課堂教學(xué)是提高教學(xué)效果的關(guān)鍵.大學(xué)課堂教學(xué)中“滿(mǎn)堂灌”現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮，教學(xué)的呆板使師生之間缺乏交流和互動(dòng).學(xué)生是教學(xué)的主體，“授之于魚(yú)，不如授之以漁”.教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體課程內(nèi)容采取講解、討論、示例等不同的授課方式，活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與性，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，啟發(fā)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)其創(chuàng)造力.例如：對(duì)泛函分析中一些重要而且常用的概念和定理，教師可以采取以講解為主的授課方式，力求講清概念和定理的本質(zhì)，有關(guān)證明的思路、技巧及定理中關(guān)鍵條件的作用，進(jìn)而在學(xué)生深刻理解概念和定理的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件進(jìn)行反思和提問(wèn)，進(jìn)一步運(yùn)用知識(shí)去分析解決問(wèn)題.教師還可以在課堂上準(zhǔn)備些問(wèn)題，或從學(xué)生的作業(yè)中抽出來(lái)的問(wèn)題，或鼓勵(lì)學(xué)生大膽提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生自由討論解決并勇于表達(dá)自己的見(jiàn)解.

2 加強(qiáng)與基礎(chǔ)課的融會(huì)貫通，梳理和鞏固已學(xué)知識(shí)

對(duì)于地方師范院校來(lái)說(shuō)，很多同學(xué)都在準(zhǔn)備考研，尤其是在就業(yè)困難的這幾年，通過(guò)考研進(jìn)一步深造是一個(gè)比較好的選擇，所以學(xué)生重視初試科目是很正常的.以前有少數(shù)同學(xué)利用上泛函分析課的時(shí)間“干私活”，學(xué)生往往是“身在曹營(yíng)心在漢”，如何真正解決這一部分學(xué)生的問(wèn)題呢？大家知道，泛函分析是現(xiàn)代分析的主要組成部分，被譽(yù)為20世紀(jì)的分析學(xué)，但它同古典分析有著極為深刻和廣泛的聯(lián)系，同時(shí)又與代數(shù)、幾何有著密切的聯(lián)系.要發(fā)揮泛函分析課程高度綜合性的特點(diǎn)，在教學(xué)中充分注意與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、常微分方程等課程的融會(huì)貫通，了解泛函分析中的定義定理的來(lái)龍去脈.這樣，使學(xué)生站在一個(gè)新的高度來(lái)看以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，有“一覽眾山小”的感覺(jué)，能更好地把握基礎(chǔ)課內(nèi)容，也能對(duì)大學(xué)階段專(zhuān)業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)情況作一個(gè)很好的檢驗(yàn)；同時(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到泛函分析原來(lái)就是基礎(chǔ)課那些內(nèi)容的延伸和推廣，這樣學(xué)生們對(duì)這門(mén)課就不感到那么神秘抽象了.對(duì)于準(zhǔn)備考研的那些同學(xué)來(lái)說(shuō)，泛函分析課程不僅是將來(lái)研究生階段的必修科目，它還能起到幫助他們梳理和鞏固已學(xué)知識(shí)，轉(zhuǎn)而自覺(jué)認(rèn)真地學(xué)習(xí)它了.

3 實(shí)行分層次、模塊式教學(xué)

因材施教是教育教學(xué)的基本原則，對(duì)泛函分析的教學(xué)也不例外.目前，隨著全國(guó)高校的擴(kuò)招，學(xué)生的個(gè)別差異和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差別越來(lái)越大，泛函分析的教學(xué)不能還是同一模式、同一種要求.教學(xué)要分層次、分級(jí)別地進(jìn)行，應(yīng)圍繞滿(mǎn)足數(shù)學(xué)各專(zhuān)業(yè)的后續(xù)課程與研究的需要而展開(kāi)，也就是應(yīng)滿(mǎn)足應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專(zhuān)業(yè)的需求.

在實(shí)際教學(xué)中可以嘗試多層次、多模塊的教學(xué)模式，即把泛函分析課程分為三個(gè)模塊：泛函分析基礎(chǔ)模塊、泛函分析應(yīng)用模塊、泛函分析提高模塊，各模塊的具體內(nèi)容以各專(zhuān)業(yè)對(duì)泛函分析的需要為依據(jù).泛函分析基礎(chǔ)模塊是最基礎(chǔ)的內(nèi)容，教師要精講細(xì)講，使學(xué)生徹底弄懂.通過(guò)學(xué)習(xí)這些基本內(nèi)容，要使學(xué)生掌握泛函分析的重要思想，使學(xué)生具有初步的應(yīng)用泛函分析知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.應(yīng)用模塊由于各專(zhuān)業(yè)或?qū)嶋H問(wèn)題聯(lián)系密切，其內(nèi)容由教師針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)設(shè)置相應(yīng)的應(yīng)用模式.提高模塊是針對(duì)打算考研或?qū)Ψ汉治鲇懈咭蟮膶W(xué)生設(shè)定的.

4 突出數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化理論證明

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的傳授，更重要的是思維能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想的提高.如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成是知識(shí)的傳授，那么即使講了再多的定理公式，可能仍然免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用.而掌握了數(shù)學(xué)的方法和精神實(shí)質(zhì)，就可以有簡(jiǎn)潔的幾個(gè)公式演變出千變?nèi)f化的結(jié)論，顯示出數(shù)學(xué)無(wú)窮的威力.反之，若只泛泛講數(shù)學(xué)思想而不講數(shù)學(xué)證明，也不能使學(xué)生真正理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)中深刻的數(shù)學(xué)思想和方法.數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物等以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科最大的區(qū)別就在于數(shù)學(xué)證明的邏輯嚴(yán)格性.

有人認(rèn)為繁瑣的證明恰恰是數(shù)學(xué)的核心.例如泛函分析中有很多著名的定理：泛函延拓定理、共鳴定理、開(kāi)映射定理、閉圖像定理等.這些定理的證明長(zhǎng)而難，歷來(lái)是教學(xué)的難點(diǎn).但是，如果因?yàn)殡y而略去這些定理的證明，就等于丟掉了泛函分析的精華部分.因此，在教學(xué)中不回避困難和矛盾，而是認(rèn)真?zhèn)湔n、精心設(shè)計(jì)、力求講清講透.注意將復(fù)雜的問(wèn)題去粗取精、去偽存真，指出其實(shí)質(zhì)，將冗長(zhǎng)的證明化簡(jiǎn)分解，分割為若干小問(wèn)題，從而不僅化簡(jiǎn)了定理證明，而且通過(guò)定理的證明滲透了化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想.

5 利用直觀形象的教學(xué)手段，變抽象為直觀

對(duì)于抽象的定義、定理，如果能夠用直觀的圖像給予圖示，可使人更深刻地理解其意義，把握其思想方法，迅速地理解掌握.直觀模型不僅能夠幫助人們理解深刻復(fù)雜的理論，也可以幫助人們開(kāi)展創(chuàng)新思維.在可能的情況下，在泛函分析教學(xué)中使用直觀方法，可以使學(xué)生理解知識(shí)更為深刻清晰，記憶更為牢固，從而有效提高課堂教學(xué)的質(zhì)量.

泛函分析是一門(mén)綜合了代數(shù)、幾何等知識(shí)于一體且高度抽象的一門(mén)課程，很多定義、定理很難找到準(zhǔn)確的直觀模型.但由于泛函分析的很多結(jié)論都是來(lái)源于古典分析，因此在很多情況下，可以以平面上的情形代替，這雖然不是很準(zhǔn)確但也能很好地說(shuō)明問(wèn)題，并且這要比空間中的模型簡(jiǎn)單很多，從而提高了講授的效率.例如：可以用平面上的點(diǎn)列代表賦范空間中的點(diǎn)列，用平面上的開(kāi)圓代表賦范空間中的開(kāi)球等.

6 認(rèn)真處理好習(xí)題，上好習(xí)題課

習(xí)題是教材的延伸，作者有時(shí)為了節(jié)省篇幅，在教材中只講理論，把例題以習(xí)題的方式給出.例如數(shù)學(xué)系使用的教材［5］第十一章第五節(jié)“具對(duì)稱(chēng)核的積分方程”，課本上僅僅給出了定理1和定理2，但是如何具體求“具對(duì)稱(chēng)核的積分方程”，課本上是通過(guò)習(xí)題13～18等給出的.如果只講課本不講課后習(xí)題，學(xué)生是不可能很順利的解答這類(lèi)積分方程的，也不可能歸納出解這類(lèi)方程的步驟.教師還應(yīng)適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些習(xí)題，供學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化，從而達(dá)到保存知識(shí)的目的；否則，學(xué)生不可能掌握這類(lèi)問(wèn)題，更不可能利用這種理論去解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生將會(huì)越學(xué)越怕這門(mén)課.

7 結(jié)束語(yǔ)

作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要課程，泛函分析從研究形態(tài)到教學(xué)形態(tài)的轉(zhuǎn)化，只有幾十年的形態(tài)，還沒(méi)有達(dá)到成熟的地步，因而泛函分析的教學(xué)沒(méi)有固定模式可循.教師在教學(xué)中可以根據(jù)自己的教學(xué)對(duì)象和環(huán)境，嘗試不同的教學(xué)方法和教學(xué)模式.我們堅(jiān)信，通過(guò)不斷的探索實(shí)踐，采取靈活多樣的課堂教學(xué)方法，努力提高教學(xué)質(zhì)量，一定會(huì)收到好的教學(xué)效果.

［1］定光桂.關(guān)于泛函分析課程教學(xué)改革的試探［J］.高等理科教育，2001（3）：8-11.

［2］文開(kāi)庭.泛函分析中定理教學(xué)的改革嘗試 ［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（3）：99-101.

［3］徐西安.泛函分析教學(xué)方法探討 ［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2008（1）：73-75.

［4］張慧.樣例在泛函分析教學(xué)中的應(yīng)用 ［J］.高師理科學(xué)刊，2008（1）：77-79.

［5］程其襄，張奠宇.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) ［M］.北京：高等教育出版社，2003：181-346.

［6］張恭慶，林源渠.泛函分析講義 ［M］.北京：高等教育出版社，2005：1-197.