空間幾何體基本元素的解讀、聯(lián)想與發(fā)散

謝 卉

楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南楚雄 675000

在日常的生活當(dāng)中，我們所說的平面是那種很平的面，但是都是有限度的，平面在立體幾何當(dāng)中是非常理想化的，是那種非常平而且無限延伸擴(kuò)展的。在立體幾何當(dāng)中，平面是不可度量的，也是無限延展的，因?yàn)闃?gòu)成平面的元素直線本身就是無限延伸擴(kuò)展的，我們只能夠畫出一部分直線，平面能夠包含直線，就是因?yàn)橹本€的這個(gè)無限延展的特性。在立體幾何當(dāng)中，平面是不分大小和厚薄的，它跟平面幾何當(dāng)中的圖形基本上是不相同的，在平面幾何中，平面的圖形是能夠區(qū)分大小的。

1 質(zhì)疑與聯(lián)想

1）點(diǎn)動(dòng)成線的意思就是把線段當(dāng)成是一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)之后的軌跡，如果是一條直線或者線段的話，那說明這個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程當(dāng)中從來就沒有改變運(yùn)動(dòng)的方向。如果這個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)候一直改變運(yùn)動(dòng)方向的話，那它運(yùn)動(dòng)過后的那個(gè)軌跡就是一條曲線或者是一條曲線段。；

2）線動(dòng)成面的意思就是一條直線在不改變方向的平行運(yùn)動(dòng)之后，軌跡所形成的一個(gè)平面，如果在運(yùn)動(dòng)過程中改變了運(yùn)動(dòng)方向，那軌跡就是一個(gè)曲面了。直線也可以繞著一個(gè)固定的點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，之后所形成的就是一個(gè)錐面了；

3）面動(dòng)成體的意思就是當(dāng)一個(gè)面進(jìn)行有規(guī)則的運(yùn)動(dòng)之后，軌跡就會(huì)形成一個(gè)空間幾何體了；

4）長(zhǎng)方體的性質(zhì)。在長(zhǎng)方體當(dāng)中，有一個(gè)性質(zhì)：在長(zhǎng)方體里，它的對(duì)角線長(zhǎng)度的平方與定點(diǎn)的三條長(zhǎng)的平方和相同。這是長(zhǎng)方體中一個(gè)很重要的性質(zhì)，在做題的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到它。

2 相關(guān)的概念

2.1 異面直線的意義

在不同的平面內(nèi)，如果兩條直線既不平行又不相交，那就叫做這兩條直線為異面直線。因此我們可想而知，在空間當(dāng)中，兩條直線的關(guān)系能夠有三種，平行、異面和相交。

2.2 直線與平面

如果一條直線和一個(gè)平面沒有相交的點(diǎn)，那我們可以說這個(gè)明面與這條直線是平行的。

2.3 直線和平面的垂直關(guān)系

如果一條直線與一個(gè)平面相交，且與這個(gè)平面相交的地方能夠形成一個(gè)直角，那就說這條直線與這個(gè)平面是垂直關(guān)系。

2.4 平面垂直

兩個(gè)平面相交之后且其中有一個(gè)平面穿過了另外一個(gè)平面的垂線，那么我們就說這兩個(gè)平面是相互垂直的。

2.5 平面之間相互平行

平面相互平行的概念最是簡(jiǎn)單也較為容易理解，如果兩個(gè)平面沒有相交點(diǎn)也就是公共點(diǎn)的話，那么我們就說這兩個(gè)平面是相互平行的關(guān)系。

3 相關(guān)的公理

在幾何體之中，有這樣一個(gè)公理：如果在一條直線之上，有兩個(gè)點(diǎn)都在一個(gè)平面上，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上。這個(gè)公理也是判斷直線是否是在平面上的定論。在學(xué)習(xí)這個(gè)公理之前，如果要辨別一條直線是否在平面之內(nèi)的話，就要看這條直線上的所有的點(diǎn)是否都在這個(gè)平面之內(nèi)了。這條公理能夠簡(jiǎn)化很多的證明過程，以后在證明的時(shí)候，只要看在直線上是否有兩個(gè)點(diǎn)在平面上就可以了。這條公理還能夠證明一個(gè)面是否是平面，方法就是：固定在這個(gè)平面內(nèi)的一條直線上兩個(gè)點(diǎn)，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)這個(gè)平面，如果旋轉(zhuǎn)之后直線上別的點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)，那就證明這個(gè)面是一個(gè)平面了。

這條公理主要是研究的平面和直線之間的關(guān)系，它能夠用來分辨一條直線是否在這個(gè)平面之內(nèi)，還能夠區(qū)別這個(gè)平面是否通過了這條直線。這條公理的條件就是直線上的兩個(gè)點(diǎn)在平面之內(nèi)，也是一個(gè)必須要有的條件，結(jié)論就是證明一條直線上全部的點(diǎn)都在那個(gè)平面之內(nèi)。如果從集合上來看，意思可以理解為，如果一個(gè)點(diǎn)集中有兩個(gè)點(diǎn)屬于另一個(gè)點(diǎn)集，那么這個(gè)點(diǎn)集就是另一個(gè)點(diǎn)集的真子集?？偟膩碇v，也就是兩個(gè)看法或者觀點(diǎn)：直線在平面之內(nèi)，這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面之內(nèi)。

第二個(gè)公理：如果有三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，那么就說他們只能形成一個(gè)平面，意思就是三點(diǎn)不共線，只能確定一個(gè)平面。如果三個(gè)不共線的點(diǎn)能夠形成一個(gè)平面，那么兩個(gè)點(diǎn)又是什么樣的情況呢？或者是四個(gè)點(diǎn)以及更多的點(diǎn)。很顯然，經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)的平面會(huì)有很多個(gè)，如果是四個(gè)點(diǎn)的話，它們都在一個(gè)平面之內(nèi)就能夠確定一個(gè)平面，比如說長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)，如果這四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面之內(nèi)，那么就不能確定一個(gè)平面了，同理，很多個(gè)點(diǎn)也是這種情況。所以，這條公理就要特別要求兩點(diǎn)：不共線、三點(diǎn)。這條公理的作用可規(guī)整為四點(diǎn)：1）它能夠判斷三個(gè)點(diǎn)是否是在同一條線上；2）它能夠證明三個(gè)不共線的點(diǎn)只能組成一個(gè)平面；3）能夠充分的證明不在一條線上的三個(gè)點(diǎn)存在著平面；4）能夠辨別某個(gè)圖形是否是平面的圖形。

理解第二條公理，可以分為以下幾點(diǎn)：1）這條公理是用來確定平面的基本條件，也能夠證明兩個(gè)平面之間是否重合；2）能夠確定一個(gè)平面的條件就是把空間里的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫娴膱D形來解決問題，這也是個(gè)必要的條件，也為其他的一些問題提供了重要依據(jù)，比如證明直線共面；3）深度的體會(huì)“有且只有”這個(gè)條件，它主要是特別說明了平面存在以及唯一這兩個(gè)問題。

第三條公理：如果兩個(gè)平面不重合的話，并且只有一個(gè)共同的點(diǎn)，那么就說它們有且只有一條公共的直線過這個(gè)點(diǎn)。這條公理反映出了平面和平面之間的關(guān)系，證明了如果兩個(gè)面有一個(gè)共同點(diǎn)，那么它們肯定就會(huì)有一條共同的線，而且這條線還會(huì)過這個(gè)點(diǎn)，這條線也是唯一的。如果當(dāng)做集合來看，如果兩個(gè)平面不重合，但是它們有一個(gè)共同的點(diǎn)，那么它們就是相交的關(guān)系，交集就是那條公共的直線。這條公理不僅能夠證明兩個(gè)平面是否相交，還能夠辨別點(diǎn)是否是在直線之上。如果這個(gè)點(diǎn)是兩個(gè)平面的共同點(diǎn)，而這條線又是這兩個(gè)平面的共同線，那么就可以判定這個(gè)點(diǎn)一定就在這條線之上。所以這條公理還是證明點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

4 結(jié)論

點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素，三者之間相互組合能夠搭配出各種各樣的空間圖形。而他們之間又存在一些定理，通過這些定理我們能夠很清晰的認(rèn)識(shí)到空間幾何體的基本結(jié)構(gòu)，也能夠通過這些定理解答一些平時(shí)生活中或者工作中的問題。

[1]劉素梅.名師導(dǎo)學(xué)[J].高一語數(shù)外，2009(6).