具有8pq階自同構群的有限冪零群

孟 偉，李春琴

(云南民族大學數學與計算機科學學院，云南昆明650031)

討論有限群G的結構一直是群論研究的一個熱點，文獻［1］研究了有限群中非正規(guī)子群的數量，文獻［2］討論了覆蓋避開子群對有限群結構的影響．給定正整數n，確定有限群X，使得 |Aut(X)|=n，其中Aut(X)表示X的自同構群，也是一個很有意義的問題．Iyer［3］證明了至多有有限個 X滿足上述方程．Machale和Flannery［4－5］給出了 |Aut(G)|=pn(1≤n≤4)及pq的有限群的構造，并證明了不存在自同構群階是 p5，p6，p7的交換群(p為奇素數)．Curran［6］得出結論：對任一奇素數 p，|Aut(X)|=pn(1≤n≤5) 無解，Flym［7］給出了 |Aut(X)|=25的全部解．陳貴云［8］研究了自同構群階為無平方因子或pq2的有限群．Hegarty［9］給出了自同構群階為p2q2的有限群分類．李世榮［10－11］完整解決了 |Aut(G)|=p3q的情形．杜妮和李世榮［12］解決了滿足 |Aut(G)|=4pq情形的有限群G的分類．鐘祥貴和李世榮［13］解決了 |Aut(G)|=2p2q的情形．孟偉等［14］給出了具有4p2q階自同構群的冪零群的完全分類．作為以上問題的繼續(xù)，本文研究具有8pq階自同構群的有限群的結構，給出了滿足條件的冪零群的完全分類．

所考慮的均為有限群，所有未經說明的記號和術語都是標準的．另外，Zn表示n階循環(huán)群，Zp×Zp為p2階初等交換群，Q8表示8階四元數群，D8表示8階二面體群．

1 預備引理

引理1［15］設P為非循環(huán)p－群，|P|＞p2．若|P/Z(P)|≤p4，則

引理2［16］設n為整數且為n的素因子分解式，記 ω(n)，則不存在有限群G，使得 |Aut(G)|為奇數且ω(|Aut(G)|)≤4．

引理3［17］設G為有限群．若 |Aut(G)|=2，則G?Z3或Z4．

引理4［17］設G為有限群．若 |Aut(G)|=4，則G?Z5或Z6．

引理 5［17］Aut(Q2)?S4;Aut(D2)?D4．

2 主要結果

定理1 設G是有限循環(huán)群．則|Aut(G)|=8pq(p，q為不同奇素數)當且僅當G是下列群之一：

i)Z8pq+1或 Z2(8pq+1)或 Z(8pq+1)2或 Z2(8pq+1)2;

ii)Z3(4pq+1)或 Z6(4pq+1)或Z4(4pq+1)或 Z3(4pq+1)2或 Z6(4pq+1)2或 Z4(4pq+1)2;

iii)Z5(2pq+1)或Z10(2pq+1)或Z8(2pq+1)或Z5(2pq+1)或Z10(2pq+1)2或Z8(2pq+12;

iv)Z12(2pq+1)或Z12(2pq+1)2;

v)Z3(2p+1)(2q+1)或Z6(2p+1)(2q+1)或Z4(2p+1)(2q+1)或Z36(2q+1);

vi)Z(4p+1)(2q+1)或Z2(4p+1)(2q+1)或Z25(2q+1)或Z50(2q+1)或Z225或Z450．

其中2p+1，2q+1，4p+1，2pq+1，4pq+1，8p+1，8pq+1皆為素數．

證明 G是循環(huán)群，因循環(huán)群可以分解成循環(huán)p群的直積，則有 G=P1×P2×…×Ps，其中Pi循環(huán)且為G的Sylow pi子群，而p1，p2，…，ps是整除|G|所有不同素因子．進一步可得|Aut(G)|=Aut(P1)×Aut(P2)×…×Aut(Ps)，由假設知8pq=|Aut(G)|8pq．根據引理 2，按下表中6種情形討論：

表1 Sylow子群自同構群的階

檢查表中的6種情形，根據引理3和引理4，只需討論自同群階滿足如下5種情形的循環(huán)p群：

i) 若|Aut(Pi)|=8pq，即 pni－1i(pi－1)=8pq．

當pi=8pq+1時，即Pi?Z8pq+1．當pi8p2q+1 時，若 pi=q=8p+1，則 ni=2，Pi?Z(8pq+1)2．

ii) 若 |Aut(Pi)|=4pq，即 pni－1i(pi－1)=4pq ．

當 pi=4pq+1 時，即 Pi?Z4pq+1．當 pi≠4pq+1時，則pi=q=4p+1，則ni=2，即有Pi?Z(4pq+1)2．

iii)若 |Aut(Pi)|=4q ，即 pni－1i(pi－1)=4q ．

當 pi=4q+1 時，即Pi?Z4q+1．當 pi4q+1時，則 pi=q=5，ni=2，即有 Pi?Z25．

iv) 若|Aut(Pi)|=2pq，即 pni－1i(pi－1)=2pq ．

當 pi=2pq+1 時，則 Pi?Z(2pq+1)．當 pi2pq+1 時，則 pi=q=2p+1，ni=2，即有 Pi?Z(2p+1)2．v)若|Aut(Pi)|=2q ，即 pni－1i(pi－1)=2q．

當 pi=2q+1 時，則 Pi?Z2q+1．當 pi≠2q+1 時，則 pi=q=3，ni=2，即有 Pi?Z9．

再次根據G=P1×P2×…×Ps及引理3，4可得定理中6大類循環(huán)群，于是至此定理證畢．

定理2 設G是有限非循環(huán)的冪零群．則|Aut(G)|=8pq(p，q為不同奇素數)當且僅當G是下列群之一：

i)Z2×Z2×Z2;

ii)Z2×Z2×Z4q+1，其中4q+1為素數;

iii)Z2×Z2×Z52;

iv)Z2×Z2×Z2q+1×Z3，n其中2q+1為素數．

證明 因G是冪零群，則有G=P1×P2×…Ps，其中Pi為G的Sylow pi子群，而pi，p2，…，ps是整除|G|所有不同素因子．進一步可得Aut(G)=Aut(P1)×Aut(P2)×…Aut(Ps)，由假設知8pq=|Aut(G)|=

因G非循環(huán)，所以必存在某個pi非循環(huán)，不失一般性可設P1非循環(huán)．若|P1|≥p31時，由引理1得此時必有 P1=2 且|P1|=8．因此，p1同構于 Z2×Z2×Z2，Z4×Z2，D8，Q8．易知 |Aut(Pi)|=23·3·7，8，8，24．根據引理2 可得 G=P1?Z2×Z2×Z2．

若|P1|=且P1?Zp1×Zp1．如果P1≥3，因為|Aut(P1)|=|GL(2，p1)|=p1(p1－1)(，于是得出，再一次矛盾．所以 P1?Z2×Z2．此時 |Aut(P1)|=6．因此 |Aut(G)|=8·3q．

根據引理2可分如下情形：

i)|Aut(P2)|=4q;此時若 p2=4q+1，則 P2?Z4q+1，得 G=P1×P2?Z2×Z2×Z4q+1．若 p24q+1 ，則p2=q=5，n2=2，即 P2?Z52，得 G=P1×P2?Z2×Z2×Z52．

ii)|Aut(P2)|=2q;此時|Aut(P3)|=2，可得 P3?Z3．若 p2=2q+1，則 P2?Z2q+1，此時 G=P1×P2×P3?Z2×Z2×Z2q+1×Z3．若 p22q+1，則p2=3，這與 p3=3矛盾．

至此定理證畢．

［1］孟偉，史江濤．有限群中非正規(guī)子群數量的一個標注［J］．云南民族大學學報：自然科學版，2010，19(5)：360－362．

［2］胡學瑞，李幸洋．覆蓋避開性與冪零性［J］．云南民族大學學報：自然科學版，2008，17(4)：311－314．

［3］ IYER H K．On solving the quation Aut(X)=G［J］．Roky Mountain J Math，1979，9(4)：653 －670．

［4］ FLANNERY D，MACHALE D．Some finite groups which are rarely automorphismgroups－ Ⅰ［J］．Proc Royal Irish Acad，1981，81A(2)：209 －215．

［5］ MACHALE D．Some finite groups which are rarely automorphismgroups－Ⅱ［J］．Proc Royal Irish Acad，1983，83A(2)：189－196．

［6］ CURRAN M J．Automorphisms of certain p－groups(p odd)［J］．Bulletin of the Australian Mathematical Society，1988，38(2)：299－305．

［7］ FLYM J，MACHALE D．Determining all finite groups whose automorphismgroup is p － group［J］．Proc Royal Irish Acad，1991，91A(2)：259 －264．

［8］陳貴云．自同構群階為p1p2…pn或 pq2的有限群［J］．西南師范大學學報：自然科學版，1990，15(1)：21－28．

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［12］ DU Ni，LI S R．Finite groups with automorphismgroup of order 4pq［J］．Acta Mathematica Sinica，2004，47：181 －188．

［13］ ZHONG Xianggui，LI S R．Finite groups with automorphismgroup of order 2pq2(p＞q＞2) ［J］．Proc Royal Irish Acad，2006，106A(2)：179 －190．

［14］孟偉，婁本功，盧家寬．具有4p2q階自同構群的有限冪零群［J］．云南大學學報：自然科學版，2009，31(s2)：327－329．

［15］ DAVITT R M．On the automorphismgroup of a finite p －group with a small central quotient［J］．Canadian Journal of Mathematics，1980，32：1 168 －1 176．

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［17］徐明曜．有限群導引：上冊［M］．北京：科學出版社，1999．