譜配置點法和Lobatto IIIA方法求解一維熱傳導(dǎo)方程

王佩臣，宋玉琦，郭巧棟，張可為，田國華

（1.黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150050；2.哈爾濱醫(yī)科大學(xué)，黑龍江 哈爾濱150001）

1 方程簡介

考慮下面熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題：

其中：ψ1（t）、ψ2（t）、f u，x，（）t和φ（）x為已知函數(shù)。

熱傳導(dǎo)方程的解具有將初始溫度平滑化的特質(zhì)，描述熱從高溫處向低溫處傳播，求解熱傳導(dǎo)方程是一個很重要的任務(wù)。對熱傳導(dǎo)方程通常用分離變量法［1］求得精確解；文獻［2］用半離散差分格式數(shù)值求解一維熱傳導(dǎo)方程；本文組合譜配置點法［3－5］和 Lobatto IIIA 方 法［6－9］求 解 一 維 熱 傳 導(dǎo) 方程，具有計算精度高和穩(wěn)定性好等特點。

2 譜配置點法及微分矩陣

以xi為節(jié)點的Lagrange插值多項式為

這里D＝（Dkm）為（N＋1）×（N＋1）矩陣，進一步，再對pN（x）求二階導(dǎo)數(shù)，得

3 Lobatto IIIA方法

考慮下面初值問題：

其中B是m×m矩陣，m為正整數(shù)。

本文使用下面迭代過程

系數(shù)用下面Butcher’s矩陣表示

對式（11）第二個式子移項得

HK＝b，解這個方程組就能得到向量ki，i＝1，2，…，q，進一步可循環(huán)求解yn＋1，用遞推的方式就能得到式（10）的解。本文的數(shù)值計算取文獻［6］中的Butcher’s矩陣，q＝4，如下

4 譜配置點法求解一維熱傳導(dǎo)方程

方程（1）在x＝xk，k＝1，…，N－1精確表示為

由第1部分譜配置點法可得式（13）等價于

使用第2部分的Lobatto IIIA方法求解邊界條件（16）的常微分方程（15）就能得出原方程的解。

5 數(shù)值實例

初始條件為

圖1為方程（17）在t＝1時精確解曲線圖，圖2為方程（17）取h＝0.01、N＝10、t＝1時的數(shù)值解曲線圖，圖3為方程（17）取h＝0.01、N＝10、t＝1時的誤差曲線圖。

6 結(jié)束語

本文組合使用配點法和六階Lobatto IIIA方法求解一維熱傳導(dǎo)方程，首先使用配點法離散空間導(dǎo)數(shù)，然后用六階Lobatto IIIA方法求線性解常微分方程組，通過數(shù)值測試實例，說明提出的方法有很高的精度和強穩(wěn)定性，還可以用這個方法求解其他時間依賴問題。

［1］姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，等.數(shù)學(xué)物理方程講義［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］李向正，張衛(wèi)國，源三領(lǐng).LS解法和Fisher方程行波系統(tǒng)的定性分析［J］.物理學(xué)報，2010，59（2）：744－749.

［3］Shen J，Tang T.Spectral and high－order methods with applications［M］.Beijing：Science Press，2006.

［4］Guo B Y.Spectral methods and their applications［M］.Hong Kong：World Scientific，1998.

［5］Canuto C，Hussaini M Y，Quarteroni A，et al.Spectral methods in fluid dynamics［M］.Berlin：Springer－Verlag，1987.

［6］Lambert J D.Numerical Methods For Ordinary Differential Systems The Initial Value Problem［M］.New York：John Wiley ＆Sons.

［7］Butcher，J C.The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations：Runge－Kutta Methods［M］.Wiley，New York，1987.

［8］K Dekker，Verwer，J G.Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations［M］.North－Holland，Amsterdam，1984.

［9］E Hairer，S P.Nett，G Wanner.Solving Ordinary Differential Equations II，Stiff and Differential Algebraic Problems［M］.Springer，New York，2003.