一類污染物擴散問題全離散間斷有限元方法的誤差分析

楊繼明，安翠昭

（湖南工程學院 理學院，湘潭411104）

考慮環(huán)境問題中一類較集中的污染物質(zhì)在多孔介質(zhì)中擴散的數(shù)學模型：

其中Ω是R2上的有界多角區(qū)域，z是污染物質(zhì)的濃度，f∈L2（0，T；L2（Ω）），gD∈L2（0，T；H1／2（?Ω）），z0∈L2（Ω），α∈L∞（Ω），α＞0.假設(shè)K 一致有界，即對?x∈Ω，有0＜K0≤K（x）≤K1.

間斷有限元方法是一類非協(xié)調(diào)元，有著很好的物理和數(shù)值特性，在數(shù)值計算中被廣泛應(yīng)用［1－6］.在文獻［5－6］中，作者給出了全離散間斷有限元方法的后驗誤差估計.

為了求解問題（1），我們采用全離散間斷有限元方法并給出先驗誤差分析.

1 全離散間斷有限元方法

設(shè)εh為Ω的擬一致網(wǎng)格剖分，Γh為所有內(nèi)邊的集合.對于網(wǎng)格剖分中的單元E，其網(wǎng)格尺寸為h.

引入間斷Sobolev空間：

設(shè)Ei和Ej為兩相鄰單元，它們的公共邊為e，在e上外法向指向Ei.定義函數(shù)v在e上的平均和跳躍為：

定義間斷有限元空間為

Dk（εh）＝｛v∈L2（Ω）∶v｜E∈Pk（E），E∈εh｝，其中Pk（E）表示在E上自由度小于等于k的多項式函數(shù)空間.

首先，引入雙線性形式和線性泛函：

其中σ＞0為罰參數(shù)，｜e｜為e的面積，β＞0.

根據(jù)雙線性形式a的定義，利用跡不等式和逆不等式可以得到雙線性形式a的強制性和連續(xù)性.

引理1（強制性）存在一個與h無關(guān)的正常數(shù)Cd使得對?v∈Dk（εh）有a（v，v）≥Cd‖v‖2ε成立.

引理2（連續(xù)性）存在一個與h無關(guān)的正常數(shù)Cb使得對 ?v，w ∈Dk（εh）有

成立.

然后，我們給出問題（1）的弱形式.設(shè)v∈Hs（εh），s＞3／2，對于所有t＞0，有

令N為正整數(shù)，Δt＝T／N 表示時間步長.對?n≥0，tn＝nΔt.對任意的函數(shù)u（x，t），我們記un（x）＝u（x，tn）.采用向前歐拉方法對時間進行離散，便得到全離散間斷有限元格式：尋找∈Dk（εh），使得

2 誤差估計

我們給出用全離散間斷有限元方法（3）求解問題（1）的先驗誤差估計.

定理1 假設(shè)問題（1）的解滿足：

記zn－＝ρn－χn，其中－～zn.

從（2）式中減去（3）式，并取v＝χn＋1得到：

于是，

由引理1推出a（χn＋1，χn＋1）≥Cdχn＋1.由引理2和Young不等式，可知利用Cauchy－Schwarz不等式、Poincare不等式和Young不等式，得

用Cauchy－Schwarz不等式，可以推知

由χ0＝0和投影估計（5），得

再利用三角不等式，我們便可得到（4）式.證畢.

［1］ D Arnold，F(xiàn) Brezzi，B Cockburn and D Marini.Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems［J］.SIAM J.Numer.Anal.，2002，（3915）：1749－1779.

［2］ B Riviere.Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations：Theory and Implementation（Frontiers in Applied Mathematics）［M］.SIAM.Philadelphia，PA，USA，2008.

［3］ B Riviere，M F Wheeler，and V Girault，A Priori Error Estimates for Finite Elementmethods based on Discontinuous Approximation Spaces for Elliptic Problems［J］.SIAM J.Numer.Anal.，2001，39：902－931.

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