基于幾何特征的圓心定位方法研究與應(yīng)用

王術(shù)彬，楊嘉駿，王曉波，付 聰，李慧霞

（河海大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，江蘇省輸配電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 常州 213022）

在圖像處理中，圓的檢測(cè)與圓心定位有著舉足輕重的作用，在當(dāng)今諸多行業(yè)領(lǐng)域的研發(fā)設(shè)計(jì)里，圓心定位傳感器的地位也日顯重要。例如在各種灌裝設(shè)備中依靠視覺定位儀器進(jìn)行定位操作，大多是對(duì)目標(biāo)物體的圓形加注口進(jìn)行檢測(cè)定位。圓心定位的效果直接決定了系統(tǒng)性能的好壞。

在圓的檢測(cè)定位方面，目前已經(jīng)有許多較為成熟的設(shè)計(jì)方法。其中最為常用的Hough變換[1]圓檢測(cè)（HTCD）的方法，由于受噪聲和曲線間斷的影響較小，能有效的得到圓的特征信息，因而在智能檢測(cè)中得到廣泛應(yīng)用[2]。但是該方法也存在明顯的缺陷，海量的數(shù)據(jù)導(dǎo)致占用內(nèi)存很大，該方法的計(jì)算量也非常大，難以滿足實(shí)時(shí)性要求較高的圓檢測(cè)。David.G.Lowe[3]在總結(jié)了現(xiàn)有的不變量特征檢測(cè)方法基礎(chǔ)上提出了SIFT（scale invariant feature transform）算法，它是一種基于尺度空間的對(duì)圖像縮放 、旋轉(zhuǎn)甚至仿射變換均保持不變性的局部特征點(diǎn)匹配算法。在圖像識(shí)別、目標(biāo)跟蹤定位中[4]得到了廣泛的應(yīng)用。但SIFT算法本身運(yùn)算復(fù)雜，提取的特征點(diǎn)有很多冗，而這些冗余在進(jìn)行圓心定位時(shí)是沒有必要的，因此吳慧蘭[5]等人在此基礎(chǔ)上做了改進(jìn)研究，取得了良好的效果。曹建海等人[6]在利用投影變換進(jìn)行特征提取的基礎(chǔ)上，提出了基于矢量和的全局最優(yōu)的圓心定位方法，并利用卷乘和頻域方法實(shí)現(xiàn)定位的快速算法 。還有一種較為常用的方法就是先通過Canny[7]邊緣提取得到圖像的所有邊緣信息，再對(duì)圖像剩余像素點(diǎn)進(jìn)行定位操作，如張虎等人[8]提出的改進(jìn)亞像素圓心定位法等。

文中通過對(duì)簡(jiǎn)易圖像的仿真驗(yàn)證，得出了基于幾何特征的圓心定位方法，并將其應(yīng)用到實(shí)際過程中，以工業(yè)生產(chǎn)中的偏心灌裝桶為例，實(shí)際采樣圖像進(jìn)行仿真驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了偏心桶加注口的準(zhǔn)確定位

1 圓心定位方法研究

首先針對(duì)一幅理想的圓心定位圖像（一幅圖像中除了圓周像素點(diǎn)含有有效信息外，不存在其他噪聲點(diǎn)，并且圓周像素點(diǎn)保持完整，如圖1所示）進(jìn)行圓心定位。由于此類圖像特征突出，二值化以后所得到的圖像所有的像素值被置為0和1，在圖像中分別展示為黑色和白色。圓周部分像素點(diǎn)為黑色，這樣以來整幅圖像中所有的信息點(diǎn)都是可以利用的點(diǎn)，所以可以根據(jù)圓的幾何特性來找出圖像中圓的圓心。文中采用了3種比較常見的計(jì)算方法進(jìn)行了仿真研究，主要包括：直角三角形法、中垂線法、等距法。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)圓及其殘缺圓Fig.1 Standard circle image and it’s fragmentary form

1.1 直角三角形法

所謂直角三角形法就是構(gòu)造一個(gè)圓的內(nèi)接直角三角形，其原理是根據(jù)過圓上一點(diǎn)的一條非切線的直線與圓相交有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此來對(duì)圖像中的點(diǎn)沿著某一直線掃描，得到直角三角形的頂點(diǎn)，從而構(gòu)造出直角三角形，然后求得直角三角形斜邊的中點(diǎn)坐標(biāo)即為圓的圓心坐標(biāo)，圓的半徑就是直角三角形斜邊長(zhǎng)度的一半。該方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

Step1：掃描圖像，提取整幅圖像中所有像素值為0的點(diǎn)，并將這些點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)值保存在兩個(gè)一維數(shù)組P[n]和Q[n]中。

Step2：取點(diǎn)，隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)的作為直角三角形的第一個(gè)點(diǎn)B（x1，y1），該點(diǎn)一般選擇step1所建立數(shù)組中的三分之一處的第整數(shù)i個(gè)點(diǎn)，可以通過高斯函數(shù)求得該點(diǎn)位置，如公式（2）、（3）所示，以免選擇的點(diǎn)為垂直或水平方向上的唯一有效點(diǎn)，而不能找到第二個(gè)點(diǎn)。

Step3：縱向掃描，從B點(diǎn)沿Y軸方向垂直掃描圖像，找到在該方向上異于B點(diǎn)的另一個(gè)像素值為0的點(diǎn)，即為A（x2，y2）點(diǎn)。如果沒有找到相應(yīng)的點(diǎn)返回step1重新選取B點(diǎn)。

Step4：橫向掃描，從A點(diǎn)沿X軸方向水平掃描圖像，找到該方向上異于A點(diǎn)的另外一個(gè)像素值為0的點(diǎn)，即為C（x3，y3）點(diǎn)。如果沒有找到相應(yīng)的點(diǎn)返回step1重新選取B點(diǎn)。

Step5：輸出，根據(jù)公式（4），（5）計(jì)算圓周的圓心坐標(biāo) R（X0，Y0）和半徑 R0：

該方法主要依靠逐次掃描圖像中的像素點(diǎn)得到所需要的像素點(diǎn)，然后計(jì)算圓的參數(shù)，計(jì)算量少，實(shí)現(xiàn)方便，對(duì)于像素較低的圖像比較方便，定位效果如圖2所示。如果圖像的像素矩陣較大，遍歷圖像中的像素點(diǎn)比較多的情況下該方法的實(shí)時(shí)性就會(huì)下降，另外如果對(duì)于圖像中的圓周是不完整的如圖3所示，這種情況下難以尋找內(nèi)接直角三角形的各個(gè)頂點(diǎn)，因此該方法不能實(shí)現(xiàn)圓心的定位工作。

1.2 中垂線法

中垂線法是隨機(jī)選取圓周上的任意3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造出兩條弦，進(jìn)而得到兩條弦的垂直平分線方程，圓的兩條弦的中垂線所構(gòu)成的交點(diǎn)即為圓心位置所在。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下所示：

圖2 直角三角形法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation result after using the method of right triangle

Step1：同 1.1 節(jié)中 step1。

Step2：取點(diǎn)：以任意方式隨機(jī)選取數(shù)組 P[n]，Q[n]中的 3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。 例如：A（p1，q1），B（pi，qi）（其中 i=[n/3]），C（pn，qn）。（大論文中可以考慮分開公式形式標(biāo)出）

Step3：構(gòu)造中垂線方程：以AB和BC兩條弦分別建立中垂線方程

step4:通過計(jì)算中垂線矩陣方程得出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)。

中垂線法主要根據(jù)圓中弦的中垂線性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型，最終求得圓心坐標(biāo)值，達(dá)到圓心定位的目的，該方法中計(jì)算量相對(duì)直角三角形法而言要大很多，但是該方法的性能穩(wěn)定，當(dāng)采集的圖像樣本像素值較大時(shí)也不會(huì)對(duì)實(shí)時(shí)性造成太大影響。并且當(dāng)圓心定位圖像出現(xiàn)如圖2的情況時(shí)本方法依然有效，增強(qiáng)了算法的健壯性和魯棒性。其定位仿真圖像如圖 4、5所示。

圖3 中垂線法仿真結(jié)果Fig.3 Simulation result after using the method of perpendicular bisector

1.3 等距離法

等距離法的主要理論依據(jù)是圓心到圓周上的每個(gè)點(diǎn)的距離相等，而圓周上隨機(jī)選取3個(gè)像素點(diǎn)即可確定出唯一一個(gè)到3個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是圓心所在位置。該方法的基本實(shí)現(xiàn)過程如下：

Step1：同 1.1 節(jié)中 Step1。

step2：同 1.2節(jié)中 Step2。

Step3：分別求出圓心 R（X0，Y0）到 A（p1，q1），B（pi，qi）（其中 i=[n/3]），C（pn，qn）3 點(diǎn)的距離，利用簡(jiǎn)歷兩個(gè)相等關(guān)系式可以得到該方法的數(shù)學(xué)模型：

等距離法在效果上與中垂線法相差不多，但是計(jì)算量上略顯復(fù)雜，在定位時(shí)間上也略長(zhǎng)于中垂線法，但是在定位精度和算法的魯棒性上都是比較出色的。該方法的定位仿真效果如圖4所示。

圖4 等距離法仿真結(jié)果Fig.4 Simulation result after using the method of equidistance

1.4 定位結(jié)果分析

上述章節(jié)中是針對(duì)人為設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)圓形圖像和標(biāo)準(zhǔn)圓形圖像的殘缺圖，利用3種方法分別對(duì)其進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證方法的有效性，為將這些方法有效的應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)過程中提供良好的理論依據(jù)。針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圓及其殘缺圓的仿真定位結(jié)果和消耗時(shí)間如表1所示。

表1 標(biāo)準(zhǔn)圓及其殘缺圓定位結(jié)果Tab.1 Test result of standard circle image and it’s fragmentary form

從表1可以看出，直角三角形法的定位結(jié)果最為精確，所需時(shí)間也是3種方法中最少的，可見其在標(biāo)準(zhǔn)圓定位中的高效性，但是它無法完成對(duì)殘缺圓的定位，使得該方法的魯棒性不高，相對(duì)而言中垂線法和等距離法雖然定位的精度稍微有些偏差，所耗時(shí)間也比較長(zhǎng)，但是他們都能完成對(duì)殘缺圓的定位工作，使得算法的魯棒性較高。同時(shí)可以看出中垂線法對(duì)殘缺圓的定位結(jié)果偏差較大，而等距離法表現(xiàn)的會(huì)更加出色。

2 采樣圖像實(shí)驗(yàn)

由于在實(shí)際生產(chǎn)的視覺控制過程中進(jìn)行圖像采集時(shí)會(huì)受到各種不同因素（例如：光照因素，濕度因素，傳輸信道噪聲因素，環(huán)境中其它不可預(yù)測(cè)因素等）的影響，增加了圖像的復(fù)雜程度，這就加大了圓心定位工作的難度，采用基于幾何參數(shù)的圓心定位方法對(duì)圖像的處理速度快，實(shí)現(xiàn)也比較容易，但是它對(duì)所要定位的圖像也提出了較高的要求，要求將圖像中的噪聲等不利于定位的因素的影響降到最低，這就對(duì)圖像的預(yù)處理過程提出了較高的要求，本文選擇偏心桶加注口的圓心定位作為處理對(duì)象通過大量實(shí)驗(yàn)得出了一個(gè)合理的解決方案，該方案的流程圖如圖所示。

圖5 采樣圖像定位流程圖Fig.5 Flow chart of the location for sampling image

對(duì)計(jì)算機(jī)進(jìn)行初始化之后，讀入采集的樣本圖像，接收到圖像數(shù)據(jù)后先對(duì)圖像進(jìn)行一系列的預(yù)處理操作，以便排除周圍環(huán)境（光照強(qiáng)度等）因素的影響，并得到比較理想的定位圖像。預(yù)處理過程中首先將讀入的彩色圖像（24位圖）進(jìn)行灰度化處理得到數(shù)據(jù)量較小的灰度圖像（8位圖），再對(duì)灰度圖像利用中值濾波進(jìn)行去噪處理，將圖像的無關(guān)因素影響降到最低，接下來根據(jù)圖像的灰度直方圖判斷圖像的二值化閾值并對(duì)灰度圖像進(jìn)行二值化得到二值圖像（像素值只含0、1的2位圖像）。這樣便達(dá)到了對(duì)圖像進(jìn)行分割的目的，可以將偏心桶的加注口圖像分割出來。此時(shí)得到的是一個(gè)圓形的實(shí)心區(qū)域，再利用canny算子進(jìn)行邊緣提取操作，得到一個(gè)離散的圓周圖像，此時(shí)便可以在次圖像的基礎(chǔ)上進(jìn)行圓心定位。采用中垂線法或者等距離法進(jìn)行圓心的定位。

在該過程中為了保證圓心定位的準(zhǔn)確，采用了誤差判斷的方法，即第一次選擇點(diǎn)定位后的結(jié)果存放在一個(gè)變量A中，第二次重新選擇一組點(diǎn)進(jìn)行定位運(yùn)算，結(jié)果保存在變量B中，對(duì)A和B中的結(jié)果進(jìn)行誤差判斷，如果二者之差的絕對(duì)值能夠小于事先設(shè)定的閾值則A、B中的值都可以作為最終定位結(jié)果，否則需要選取另外的點(diǎn)進(jìn)行定位計(jì)算，直到誤差符合要求為止。

圖6是對(duì)現(xiàn)場(chǎng)采集的偏心桶圖像進(jìn)行加注口圓心定位的結(jié)果圖。其中（a）圖是原始采樣圖像，（b）圖是經(jīng)過算法處理后的定位圖像，（c）圖是采用等距離法進(jìn)行圓心定位的結(jié)果，其中紅十字標(biāo)注的位置即為加注口的圓心。

圖6 采樣圖像定位仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result of the location for sampling image

3 結(jié)束語

本文通過對(duì)數(shù)字圖像中圓周信息點(diǎn)分布的規(guī)律和圓周幾何特性的分析研究，總結(jié)出三種基于幾何特性的圓心定位方法，這些方法各有利弊，可適用于不同的場(chǎng)合，在上述章節(jié)中也借助簡(jiǎn)單的圓周曲線做了詳細(xì)的描述和對(duì)比。最后將所研究的方法應(yīng)用到具體實(shí)踐中，取得了良好的效果?；趲缀翁匦缘膱A心定位方法具有運(yùn)算簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)方便的特性，這對(duì)方法的普及會(huì)有很大的幫助。

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