文 秘 李偉兵

（1.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊(duì)一隊(duì) 合肥 230031)（2.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊(duì)二隊(duì) 合肥 230031)

1 引言

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，期望效用理論普遍被認(rèn)為是一個(gè)“有理性”選擇的規(guī)范化模型，并且廣泛的應(yīng)用于各種經(jīng)濟(jì)行為的描述性模型中，它假定人們?cè)诿鎸?duì)風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題時(shí)，總是選擇期望效用最大的行動(dòng)或方案。但是，Allais悖論［1］及Kahneman和 Tversky展望理論［2］中共同后果效應(yīng)（Common consequence effect)和 共 同 比 率 效 應(yīng) （Common ratio effect)的提出，說(shuō)明在實(shí)際做決策或者選擇時(shí)，許多人都不遵守最大期望效用理論，且該理論僅僅包含決策偏好的描述，缺乏對(duì)決策風(fēng)險(xiǎn)的度量。與此同時(shí)，主觀期望效用理論無(wú)法對(duì)Ellsberg悖論［3］中人們對(duì)不確定性規(guī)避現(xiàn)象做出解釋，主觀概率作為人們?cè)谟胁淮_定性時(shí)決策的根本依據(jù)的假設(shè)受到了質(zhì)疑。因此，用一個(gè)合適的尺度對(duì)不確定性進(jìn)行度量，并將其納入到?jīng)Q策的過(guò)程，成為了當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題研究的重要方向。本文在前人期望效用理論研究的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則，建立了與之相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)決策模型，并成功地解釋了“共同比率效應(yīng)”。

2 基于熵的風(fēng)險(xiǎn)度量

經(jīng)典規(guī)范化的風(fēng)險(xiǎn)決策模型由三部分組成：狀態(tài)空間Θ＝｛θ｝，行動(dòng)空間A＝｛α｝和定義在A×Θ上的支付函數(shù)X＝X（α，θ)，記為G＝（Θ，A，X)。假定決策者的效用函數(shù)為u（X)，有時(shí)記為u（X（α，θ))或u（α，θ)，這樣一個(gè)一般的決策模型寫成G＝（Θ，A，u)。對(duì)于一般的決策模型G＝（Θ，A，u)，α∈A，采取行動(dòng)α對(duì)應(yīng)的狀態(tài)θ有先驗(yàn)分布πα（θ)。下面給出決策行動(dòng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的熵的風(fēng)險(xiǎn)度量定義。

定義1 給定的風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題G＝（Θ，A，u)，行動(dòng)方案α∈A，則a行動(dòng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的熵的風(fēng)險(xiǎn)度量為

在信息學(xué)中，熵R（a)是不確定性的指標(biāo)［4］，它認(rèn)為一個(gè)廣泛的分布比具有明顯峰值的分布更加不確定，這與在Ellsberg悖論中的決策者不確定規(guī)避，即相對(duì)于較確定的事物，人們不喜歡更不確定或更含糊的事物現(xiàn)象相符合。因此，用熵去度量不確定性風(fēng)險(xiǎn)的程度是科學(xué)的、合理的。

3 混合決策準(zhǔn)則

對(duì)于一個(gè)一般的風(fēng)險(xiǎn)決策模型G＝（Θ，A，u)，它必然包含一部分的確定成分與一部分的嚴(yán)格不確定成分，我們可以將其看成是一個(gè)狀態(tài)概率分布估計(jì)可靠的決策模型與對(duì)真實(shí)的自然狀態(tài)一無(wú)所知的（嚴(yán)格不確定)的決策模型的加權(quán)組合。基于這個(gè)觀點(diǎn)提出了如下的風(fēng)險(xiǎn)決策準(zhǔn)則：

其中，λ（0≤λ≤1)是估計(jì)的該風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題的狀態(tài)概率分布的可靠系數(shù)，Ea表示Bernoulli決策準(zhǔn)則（又稱期望效用極大化準(zhǔn)則或期望損失極小化)，Wa表示W(wǎng)ald悲觀決策準(zhǔn)則。V（a)越小，則行動(dòng)方案a越優(yōu)。當(dāng)λ＝1時(shí)，表示狀態(tài)概率分布估計(jì)完全可靠，則：

則該準(zhǔn)則退化為Bernoulli決策準(zhǔn)則Ea；當(dāng)λ＝0時(shí)，表示狀態(tài)概率分布估計(jì)完全不可靠。則：

該準(zhǔn)則退化為求解嚴(yán)格不確定型問(wèn)題的Wald悲觀決策準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則實(shí)際上是Bernoulli準(zhǔn)則（Ea)與求解嚴(yán)格不確定型問(wèn)題的Wald悲觀決策準(zhǔn)則（Wa)的線性組合。

4 基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型

在上面的混合決策準(zhǔn)則式（2)中，λ（0≤λ≤1)是所估計(jì)的該風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題狀態(tài)概率分布的可靠系數(shù)，而我們定義的熵是R（a)刻畫不確定性的指標(biāo)，因此若令λ＝1－R（a)，則該決策準(zhǔn)則變?yōu)?/p>

其中，取R（a)中的k∈（0，1/ln（n))為風(fēng)險(xiǎn)折扣系數(shù)，k值的上界是由λ≥0決定的，這就是基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則。下面定義在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下的風(fēng)險(xiǎn)決策模型。

定義2對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題G＝（Θ，A，u)，設(shè)a1，a2∈A，記V（a1)，V（a2)分別為行動(dòng)方案a1和a2在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下的得分值，簡(jiǎn)稱熵－混合值。如果V（a1)＜V（a2)，則稱在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下，行動(dòng)方案a1優(yōu)于行動(dòng)方案a2，記為a1?a2；即有：

如果V（a1)≤V（a2)，則稱在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下，行動(dòng)方案a1不劣于行動(dòng)方案a2，記為a1≥a2，即有：

如果兩個(gè)行動(dòng)方案a1和a2有相同的熵－混合值，此時(shí)有V（a1)＝V（a2)，則認(rèn)為這兩個(gè)行動(dòng)方案是無(wú)差異的，記為a1～a2；即有：

如果存在行動(dòng)方案a＊∈A，使得則稱行動(dòng)方案a＊為在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下的最優(yōu)方案。

稱這種決策模型為基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型。利用基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策方法可以將行動(dòng)空間中的每一個(gè)行動(dòng)方案按照其熵－混合值的大小進(jìn)行排序；然后找一個(gè)行動(dòng)方案，使得該方案的熵－混合值達(dá)到最小，此行動(dòng)方案就是最優(yōu)方案。由定義2可知，基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型將決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)和決策者的偏好結(jié)合起來(lái)，使得決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)度量與決策者的偏好相容。下面給出基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型的性質(zhì)。

性質(zhì)1對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題G＝（Θ，A，u)，若對(duì)任意行動(dòng)都能在一定程度上取得所有的狀態(tài)θ，則有：

1)若行動(dòng)空間中的所有行動(dòng)方案的期望效用（損失)值都相同，則熵風(fēng)險(xiǎn)最小的行動(dòng)方案即為最優(yōu)行動(dòng)。

2)若行動(dòng)空間中的所有行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)的狀態(tài)的熵都相等，則期望損失值最小的行動(dòng)方案為最優(yōu)行動(dòng)。

顯然，該性質(zhì)只是給出了在對(duì)任意行動(dòng)a都能在一定程度上取得所有狀態(tài)θ這種特殊情況時(shí)的決策規(guī)律。對(duì)于任意情形下，a并不能在一定程度上取得所有狀態(tài)θ，此時(shí)決策準(zhǔn)則中的參數(shù)k會(huì)隨實(shí)際能取得的狀態(tài)的個(gè)數(shù)而改變，Wa部分不再是定值。因此，在一般情形下V（a)會(huì)受到Ea、R（a)及Wa的共同影響，需要具體問(wèn)題具體分析，計(jì)算出各個(gè)方案下的V（a)值進(jìn)行決策。以共同比率效應(yīng)［5］為例，證明基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型解釋實(shí)際問(wèn)題的能力。有如圖1所示的兩個(gè)選擇問(wèn)題：

圖1 共同比率效應(yīng)決策行動(dòng)

實(shí)驗(yàn)表明絕大多數(shù)人，對(duì)于問(wèn)題一，在a1和a2中選擇a1，而對(duì)于問(wèn)題二，在a3和a4中選擇a4。這也與期望效用理論的獨(dú)立性公理不相容。

如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)中型的，即效用函數(shù)是線性的，假設(shè)為u（x)＝x，于是得到：

為符合實(shí)際大多數(shù)人的選擇，只需要滿足：

又∵k∈（0，1/ln（n))，其中n＝2

則0.1249＜k≤1.4427，即決策者的風(fēng)險(xiǎn)折扣系數(shù)在（0.1249，1.4427)內(nèi)就可以預(yù)測(cè)決策者所采用的行動(dòng)方案。

在一般情況下，決策者可以根據(jù)已獲得的歷史資料數(shù)據(jù)以及主觀知識(shí)（包括經(jīng)驗(yàn)、知覺(jué)和判斷等)，對(duì)未來(lái)自然狀態(tài)發(fā)生的概率作出主觀估計(jì)（即先驗(yàn)概率)。然而，它很難準(zhǔn)確地反映客觀真實(shí)情況，特別是對(duì)于本文研究的戰(zhàn)場(chǎng)目標(biāo)配置問(wèn)題，信息的時(shí)效性極強(qiáng)，當(dāng)?shù)玫叫碌那閳?bào)和信息，就必須立刻對(duì)自然狀態(tài)的概率估計(jì)進(jìn)行修正，從而改善決策的質(zhì)量。Bayes分析就提供了一種利用Bayes定理，將獲得的新信息用于修正自然狀態(tài)的先驗(yàn)分布，從而得到更接近實(shí)際狀態(tài)、更加準(zhǔn)確的后驗(yàn)概率分布，提高風(fēng)險(xiǎn)決策精度的科學(xué)方法。因此，要利用式（3)中的混合決策準(zhǔn)則進(jìn)行決策，且要加入信息修正的內(nèi)容，令Ea＝r（π，δ)，即用Bayes風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)代替期望損失函數(shù)，則得到信息修正下的熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型：

其中，l（θ，a)＝l（θ，δ（x))表示損失函數(shù)［6］。顯然式（3)只是式（4)在只有先驗(yàn)信息下的特殊情況。這樣在決策準(zhǔn)則方面進(jìn)行過(guò)改進(jìn)的基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型就能更好地應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。

5 結(jié)語(yǔ)

改進(jìn)的期望效用風(fēng)險(xiǎn)決策模型克服了傳統(tǒng)的期望效用模型不能將風(fēng)險(xiǎn)決策行動(dòng)中的風(fēng)險(xiǎn)和決策者的偏好結(jié)合起來(lái)的問(wèn)題，能使決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)度量與決策者的偏好相容。該決策模型很好地刻畫了決策過(guò)程中的主觀過(guò)程，從方法上降低了決策風(fēng)險(xiǎn)程度。

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