基于皮爾遜Ⅲ型分布的漢口站年最小月流量趨勢(shì)性分析

江 聰，熊立華

（武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072）

基于皮爾遜Ⅲ型分布的漢口站年最小月流量趨勢(shì)性分析

江 聰，熊立華

（武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072）

在變化環(huán)境下，對(duì)水文時(shí)間序列的非一致性研究變得非常重要。經(jīng)典線性回歸模型在傳統(tǒng)的水文序列趨勢(shì)性分析中有廣泛的應(yīng)用，該模型假定水文變量服從正態(tài)分布，這與我國現(xiàn)行的水文頻率分析計(jì)算中推薦選用的皮爾遜Ⅲ型頻率分布（簡稱PⅢ分布）并不相符。提出采用基于PⅢ分布的回歸模型對(duì)漢口水文站59 a間的年最小月流量序列進(jìn)行趨勢(shì)性分析。研究發(fā)現(xiàn)基于PⅢ分布的回歸模型比基于正態(tài)分布的回歸模型能更好地揭示水文序列頻率分布的時(shí)變特征。在此基礎(chǔ)上采用靈活性較強(qiáng)的多項(xiàng)式對(duì)水文序列的趨勢(shì)性進(jìn)行了分析。

趨勢(shì)性分析；回歸模型；正態(tài)分布；PⅢ分布；年最小月流量

1 研究背景

現(xiàn)行的水文頻率分析方法的一個(gè)基本前提條件是水文序列必須滿足一致性［1］。近幾十年來全球氣候的變化和人類活動(dòng)的影響，使水文序列失去一致性，對(duì)工程水文設(shè)計(jì)和水電工程的正常運(yùn)行造成了極不利的影響，因此對(duì)非一致性水文序列進(jìn)行研究具有重要意義。目前國內(nèi)非一致性水文頻率分析計(jì)算的內(nèi)容主要有變點(diǎn)分析、趨勢(shì)性分析等［2－3］。線性回歸模型是分析檢驗(yàn)水文序列趨勢(shì)性和非一致性水文還原計(jì)算的重要工具，并在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。熊立華等［4］應(yīng)用一元線性回歸模型分析了長江宜昌站1882—2001年間的年最大、年最小和年平均流量序列，發(fā)現(xiàn)三者均具有隨時(shí)間減小的趨勢(shì)，并對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行了檢驗(yàn)。謝平等［5］建立了潮白河年徑流量隨時(shí)間的線性回歸方程，并對(duì)線性回歸系數(shù)進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)，采用分布合成的方法進(jìn)行了非一致性水文序列的合成計(jì)算，分析了北京市的水安全問題。趙銳鋒［6］等也運(yùn)用線性回歸的方法分析了塔里木河干流4個(gè)水文站年徑流量的變化趨勢(shì)。

以上回歸模型均假設(shè)水文序列服從正態(tài)分布，廣義線性模型認(rèn)為這個(gè)模型可以被推廣其他情況，即因變量（隨機(jī)變量）是非正態(tài)分布的。Gabriele等人［8－9］應(yīng)用基于耿貝爾、伽馬、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的GAMLSS模型（Generalized Additive Models for Location，Scale and Shape）分別對(duì)羅馬地區(qū)長期的降水和氣溫序列以及美國Little Sugar Creek流域的年最大洪峰序列進(jìn)行了趨勢(shì)和成因分析，并且取得較好的擬合效果。在我國一般認(rèn)為水文序列服從PⅢ型頻率分布［10］，運(yùn)用基于正態(tài)分布假設(shè)的回歸模型對(duì)不滿足正態(tài)分布的水文序列進(jìn)行趨勢(shì)性分析顯然是不合理的，在還原計(jì)算中勢(shì)必會(huì)造成較大誤差。本文將引入基于PⅢ分布的回歸模型對(duì)漢口水文站59 a間的年最小月流量序列進(jìn)行趨勢(shì)性分析，在此基礎(chǔ)上建立二次多項(xiàng)式回歸模型，以更加靈活地反應(yīng)序列的趨勢(shì)變化。

2 基于正態(tài)分布的水文序列趨勢(shì)性分析

假設(shè)水文序列Y與時(shí)間t之間存在相關(guān)關(guān)系［11］：

稱方程Y＝β0+β1t為經(jīng)驗(yàn)型回歸方程，簡稱回歸方程，其中：β0，β1為回歸系數(shù)；ε為近似值與真值Y的偏差，稱為殘差，通常認(rèn)為ε是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。現(xiàn)將一組水文序列觀測(cè)值yi和相應(yīng)的時(shí)間值ti（ i＝1，2，…，n）代入式（1）得由序列的均值E（yi）與方差D（yi）可以由如下公式（3），公式（4）表示：

因此水文序列觀測(cè)值yi服從正態(tài)分布N（β0+β1ti，。最后運(yùn)用最小二乘法或極大似然法對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行求解后即可得到序列的回歸方程。

3 基于PⅢ分布的水文序列趨勢(shì)性分析

3.1 基于PⅢ分布回歸模型的定義

首先將PⅢ分布概率密度函數(shù)寫為

其中μ，σ，ν分別為PⅢ分布位置、尺度和形狀參數(shù)，它們和PⅢ分布的均值E（Y）、變差系數(shù)CV、偏態(tài)系數(shù)CS關(guān)系如下：

與基于正態(tài)分布的回歸模型類似，基于PⅢ分布的回歸模型也被認(rèn)為水文序列與時(shí)間之間存在相關(guān)關(guān)系

式中：yi為水文序列的實(shí)際觀測(cè)值，yi～PⅢ（b0+ b1ti，σ，ν）分布，δi為模型殘差。

3.2 模型參數(shù)求解

本文將采用最大似然法［11］求解公式（9）的未知參數(shù)為b0，b1，σ，v，令向量θ＝（b0，b1，σ，v）T。

設(shè)Y1，Y2，…，Yn為來自Y中的樣本，分布概率密度函數(shù)為），且θ∈Θ（Θ為θ的可能取值范圍），又設(shè)y1，y2，…，yn為相應(yīng)樣本Y1，Y2，…，Yn中的一個(gè)樣本值，令

這里L(fēng)（θ）為樣本的似然函數(shù)。為簡化，似然函數(shù)一般取似然函數(shù)的對(duì)數(shù)，即對(duì)數(shù)似然函數(shù)ln L（θ），若

根據(jù)上述公式，下面給出PⅢ分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)

式中：μi＝b0+b1ti（i＝1，2，…，n）；σ＝CV；v＝CS／2，然后運(yùn)用牛頓－拉普森法對(duì)參數(shù)進(jìn)行求解［12］。

3.3 模型擬合效果評(píng)價(jià)

為對(duì)比不同回歸模型的擬合效果，引入全局?jǐn)M合偏差GD和AIC準(zhǔn)則作為評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)［12］，定義分別如下：

式中：＃為模型每個(gè)有效自由度的懲罰系數(shù)，一般取2；df為模型的有效自由度。GD反映了模型的整體擬合效果，GD越小說明模型的擬合偏差越小。但為防止過度擬合，在GD的基礎(chǔ)上加上懲罰項(xiàng)＃df得到AIC準(zhǔn)則判斷值，在模型自由度不同的情況下，通過對(duì)比AIC值進(jìn)行模型優(yōu)選。

判斷模型的擬合效果，殘差的概率分布檢驗(yàn)也是重要的一方面內(nèi)容。為了便于對(duì)比不同分布類型模型殘差的分布狀況，首先根據(jù)相應(yīng)的分布類型對(duì)殘差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化處理［13］：

式中：ri為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化的殘差；Φ－1為正態(tài)分布概率函數(shù)的反函數(shù)其中F（）為相應(yīng)分布的概率函數(shù)，例如假設(shè)水文序列服從PⅢ分布，F(xiàn)（）即為PⅢ分布的概率函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化的殘差序列越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，說明模型產(chǎn)生的殘差序列越合理。然后推求模型理論殘差

最后以理論殘差Mi橫坐標(biāo)，以實(shí)際殘差ri縱坐標(biāo)，可得正態(tài)QQ圖。圖中點(diǎn)與1∶1的直線偏差越小，說明殘差的實(shí)際值與理論值越接近，模型的擬合效果越好。

4 基于PⅢ分布的漢口站年最小月流量趨勢(shì)性分析

漢口水文站位于長江與漢江交匯處的下游河段，上游控制面積約為149萬km2，是長江干流設(shè)站最早的水文站之一。由于近幾十年來，長江流域地區(qū)降水、蒸發(fā)條件和土地利用狀況都發(fā)生了很大變化，同時(shí)大規(guī)模的水利工程建設(shè)，尤其是具有較大調(diào)蓄能力的水庫的修建，這些方面因素都不同程度上改變了漢口站上游流域的產(chǎn)匯流條件及流域調(diào)蓄能力，使該站水文序列發(fā)生變異。秦年秀等［15］分析了1870—2000年間漢口站的多年平均流量序列，發(fā)現(xiàn)年平均流量有減少的趨勢(shì)，同時(shí)分析了各月的平均流量序列，發(fā)現(xiàn)近些年來1—4月及7月份的平均流量有增加的趨勢(shì)，其他月份有減少的趨勢(shì)。選取漢口站1952—2010年間共59 a的年最小月流量序列，運(yùn)用基于PⅢ分布的回歸模型進(jìn)行趨勢(shì)性分析，同時(shí)對(duì)比基于正態(tài)分布回歸模型的分析結(jié)果，比較兩者的優(yōu)劣。

4.1 序列初步分析

首先采用Mann-Kendall（簡稱M-K）法對(duì)序列進(jìn)行趨勢(shì)顯著性檢驗(yàn)，同時(shí)應(yīng)用基于正態(tài)分布的回歸模型對(duì)序列進(jìn)行趨勢(shì)性分析。計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 M-K檢驗(yàn)及基于正態(tài)分布趨勢(shì)性分析的計(jì)算結(jié)果Table 1 Results of M-K test and trend analysis based on normal distribution

當(dāng)顯著水平取α＝5%時(shí)，Z（1－α／2）＝1.96，由于ZMK＞Z（1－α／2），從M-K檢驗(yàn)的結(jié)果看，年最小月流量序列有比較明顯的趨勢(shì)；同樣取顯著水平α＝5%，線性趨勢(shì)臨界相關(guān)系數(shù)Rα＝0.256，而實(shí)際資料計(jì)算的相關(guān)系數(shù)R為0.480，顯然，序列的線性趨勢(shì)是存在的［11］，由于R＞0，因此年最小月流量序列具有顯著的增加趨勢(shì)，線性趨勢(shì)線見圖1。

圖1 基于正態(tài)分布的趨勢(shì)性分析Fig.1 Trend analysis based on normal distribution

4.2 一致性假設(shè)下的頻率分析

假設(shè)漢口站59 a間的年最小月流量序列滿足一致性，分別采用最大似然法估算服從正態(tài)分布和PⅢ分布時(shí)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，結(jié)果見表2。

表2 基于正態(tài)分布和PⅢ分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)最大似然估計(jì)Table 2 M aximum likelihood estimation of statistical parameters based on normal distribution and PⅢdistribution

根據(jù)計(jì)算所得統(tǒng)計(jì)參數(shù)，繪出正態(tài)分布和PⅢ分布的頻率曲線（見圖2）?；谡龖B(tài)分布的頻率曲線大部分偏離實(shí)測(cè)點(diǎn)據(jù)，而基于PⅢ分布的頻率曲線的擬合程度要明顯好于前者，因此可以認(rèn)為序列更加接近于服從PⅢ分布。

圖2 基于正態(tài)分布和PⅢ分布頻率曲線的擬合對(duì)比Fig.2 Com parison between the fitting results of the frequency curves based on normal distribution and PⅢdistribution

4.3 基于PⅢ分布的非一致性頻率分析

下面采用基于PⅢ分布的回歸模型對(duì)年最小月流量序列進(jìn)行趨勢(shì)性分析，根據(jù)最大似然法求解參數(shù)，計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 基于PⅢ分布趨勢(shì)性分析的計(jì)算結(jié)果Table 3 Results of trend analysis based on PⅢdistribution

比較表1和表3，發(fā)現(xiàn)基于PⅢ分布的回歸模型計(jì)算得到的回歸方程與基于正態(tài)分布模型計(jì)算得到的結(jié)果略有不同，截距b0有所增加，而直線的斜率b1有所減小，較原來的擬合直線平緩（見圖3）。由于全局?jǐn)M合偏差GD較基于正態(tài)分布回歸模型的GD有所減小，這說明基于PⅢ分布的回歸模型的擬合效果要優(yōu)于基于正態(tài)分布的回歸模型。盡管基于PⅢ分布的回歸模型的自由度較基于正態(tài)分布的回歸模型的自由度要多一個(gè)，但根據(jù)AIC判斷準(zhǔn)則，基于PⅢ分布的回歸模型的值仍小于后者，因此從模型的整體效果看，基于PⅢ分布的回歸模型還是要優(yōu)于基于正態(tài)分布的回歸模型。

圖3 基于PⅢ分布的趨勢(shì)性分析Fig.3 Trend analysis based on PⅢdistribution

模型擬合產(chǎn)生的殘差序列的分布狀況可以反映原序列是否符合相應(yīng)的分布。為便于比較，將2種模型產(chǎn)生的殘差序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化處理，然后分別計(jì)算殘差序列的均值、方差和偏態(tài)系數(shù)（見表4）。2種模型正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列的均值和方差都非常接近，且基本接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)（均值為0，方差為1）。但是在偏態(tài)系數(shù)方面，基于正態(tài)分布的回歸模型產(chǎn)生的殘差仍具有相當(dāng)大的偏度，而基于PⅢ的回歸模型產(chǎn)生的殘差的偏度已經(jīng)很小，基本接近于0，可以認(rèn)定殘差序列符合正態(tài)分布。

表4 基于正態(tài)分布和PⅢ分布回歸模型的殘差分析表Table 4 Residual analysis for the regression models based on normal distribution and PⅢdistribution

正態(tài)QQ圖可以比較直觀地反映正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列分布狀況，2種模型的正態(tài)QQ圖見圖4?；谡龖B(tài)分布回歸模型的實(shí)際殘差與理論殘差之間出現(xiàn)了較明顯的偏差，中部大部分點(diǎn)偏離了理論直線；基于PⅢ分布回歸模型的殘差除兩端的少數(shù)點(diǎn)之外，大部分點(diǎn)與理論直線幾乎重合，因此從殘差分析方面來看，基于PⅢ分布的回歸模型的擬合效果還是好于基于正態(tài)分布的回歸模型。

圖4 回歸模型的正態(tài)QQ圖Fig.4 Normal QQ plots of regression models

綜上所述，無論從模型的AIC判斷準(zhǔn)則還是殘差分析，在漢口站年最小月流量序列的趨勢(shì)性分析中，基于PⅢ分布的回歸模型要明顯優(yōu)于基于正態(tài)分布的回歸模型。

4.4 基于二次多項(xiàng)式回歸的趨勢(shì)性分析

對(duì)于較長的水文序列，其整體的趨勢(shì)變化可能表現(xiàn)為增加或減少，但是各時(shí)間段趨勢(shì)變化往往又不是單一的，如果用一元一次方程來描述整個(gè)序列的變化，勢(shì)必會(huì)造成在某些時(shí)間段內(nèi)會(huì)出現(xiàn)偏差。從5年滑動(dòng)平均過程線（圖2）來看，整個(gè)序列并不是完全一致地呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，在前期甚至出現(xiàn)了遞減的趨勢(shì)。為靈活地描述各個(gè)時(shí)段的趨勢(shì)變化特征，下面引入二次多項(xiàng)式來反映整個(gè)序列的變化過程，具體計(jì)算與上類似，只是在均值中加入二次項(xiàng)t2，增加一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)b2，建立回歸方程y＝b0+ b1t+b2t2+δ′。計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 基于二次多項(xiàng)式回歸的趨勢(shì)性分析計(jì)算結(jié)果Table 5 Results of trend analysis based on quadric polynom ial regression

對(duì)比表3和表5中的計(jì)算結(jié)果可以看出，GD和AIC判斷準(zhǔn)則值都明顯減少；擬合過程線基本上反映出了不同時(shí)段序列趨勢(shì)變化的特征（見圖5）；同時(shí)比較圖6中實(shí)際點(diǎn)在不同概率（5%，25%，50%，75%和95%）分位曲線之間的分布狀況，二次多項(xiàng)式回歸模型的分布狀況較一次回歸模型也更為合理，這說明在描述序列趨勢(shì)變化方面二次多項(xiàng)式回歸模型的效果要優(yōu)于一次回歸模型。

圖5 基于二次回歸模型的趨勢(shì)性分析Fig.5 Trend analysis based on quadric polynom ial regression

5 結(jié) 語

在變化環(huán)境下，對(duì)水文時(shí)間序列的非一致性研究變得非常重要。經(jīng)典線性回歸模型在傳統(tǒng)的水文序列趨勢(shì)性分析中有廣泛的應(yīng)用，該模型假定水文變量服從正態(tài)分布，這與我國現(xiàn)行的水文頻率分析計(jì)算中推薦選用的PⅢ型頻率分布并不相符。本文中重點(diǎn)介紹了基于PⅢ分布的回歸模型，并且用該模型對(duì)漢口水文站59 a間的年最小月流量序列進(jìn)行了趨勢(shì)性分析。無論從模型的AIC判斷準(zhǔn)則還是殘差分析，基于PⅢ分布的回歸模型在漢口站年最小月流量序列的趨勢(shì)性分析中要明顯優(yōu)于基于正態(tài)分布的回歸模型。因此，基于PⅢ分布的回歸模型比基于正態(tài)分布的回歸模型能夠更好地反映序列的分布特征。研究還發(fā)現(xiàn)，引入二次多項(xiàng)式來描述較長序列的趨勢(shì)變化，能夠更加靈活地描述水文序列趨勢(shì)的變化特征。

圖6 概率分位曲線Fig.6 Centiles curves

在水文序列的趨勢(shì)性分析中，本文作者只考慮均值隨時(shí)間的變化，但水文序列的趨勢(shì)性變化也可能是表現(xiàn)在方差和偏態(tài)系數(shù)方面，在今后的非一致性水文序列分析中考慮多種統(tǒng)計(jì)參數(shù)的時(shí)變將是研究的重要內(nèi)容之一。

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（編輯：趙衛(wèi)兵）

長江科學(xué)院派員赴貴州福建進(jìn)行石漠化、紅壤流失治理現(xiàn)狀與技術(shù)應(yīng)用考察

2013年5月28日至6月1日，長江科學(xué)院水土保持所、農(nóng)業(yè)水利所所長張平倉率孫蓓、孫佳佳參加了由水利部科技推廣中心組織的貴州石漠化和福建紅壤流失治理現(xiàn)狀與技術(shù)應(yīng)用考察。考察團(tuán)由水利部科技推廣中心肖新民處長率領(lǐng)，參加人員包括水利部科技推廣中心張冠華博士、許文盛博士，中國科學(xué)院南京土壤所梁音教授，廈門理工學(xué)院傅海燕副教授及江蘇艾特克環(huán)境工程設(shè)計(jì)研究院、深圳市微潤灌溉技術(shù)有限公司、北京亞盟達(dá)生態(tài)技術(shù)有限公司、深圳市天源新能源有限公司、北京德科創(chuàng)源科技有限責(zé)任公司、北京水創(chuàng)新能科技有限公司等高新科技企業(yè)代表。貴州省水利廳、長汀縣人民政府的領(lǐng)導(dǎo)和技術(shù)人員熱情接待了考察團(tuán)一行。

考察團(tuán)查勘了貴州長順典型喀斯特地貌、石漠化以及治理現(xiàn)狀，并與水利廳水保處、貴州省水科院的領(lǐng)導(dǎo)及專家進(jìn)行了交流座談；查勘了福建長汀紅壤流失及崩崗發(fā)育的現(xiàn)狀和治理，并與長汀縣領(lǐng)導(dǎo)及相關(guān)技術(shù)人員進(jìn)行了交流座談。

在座談中，各高新科技企業(yè)專家針對(duì)當(dāng)?shù)氐孛埠蛥^(qū)域特征，特別是季節(jié)性干旱和嚴(yán)重水土流失情況交流了W-OH高新復(fù)合材料應(yīng)用技術(shù)、微潤灌溉技術(shù)、工程護(hù)岸生態(tài)治理技術(shù)、新能源提水技術(shù)等高新技術(shù)，地方領(lǐng)導(dǎo)及技術(shù)人員對(duì)各項(xiàng)技術(shù)給予了充分肯定與高度評(píng)價(jià)，并與考察團(tuán)專家共同商討了將各項(xiàng)技術(shù)應(yīng)用于當(dāng)?shù)厮帘３止ぷ鞯膽?yīng)用前景和治理模式。

（摘自：長江水利科技網(wǎng)）

Trend Analysis on the Annual M inimum M onthly Runoff Series of Yangtze River at Hankou Hydrological Station Based on Pearson Type IIIProbability Distribution

JIANG Cong，XIONG Li-hua
（State Key Laboratory ofWater Resources and Hydropower Engineering Sciences，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

It is very important to research the inconsistency（or nonstationarity）of hydrological time series under changing circumstance.Classical regression models，which are widely used in traditional hydrological trend analysis，are based on the assumption that the hydrological variables follow the normal distribution.However，this assumption does not consist with the practical findings in China thatmost hydrological random variables follow the Pearson type III（PⅢ）distribution.In this paper，the regression model based on the assumption of the PⅢdistribution is introduced to analyze the trend of annualminimum monthly runoff series of the Yangtze River at Hankou hydrological station observed over the period of 1952-2010.It is found that the regression model based on the PⅢdistribution ismore effective than the regressionmodel based on the normal distribution in fitting the trend of hydrological series.Furthermore，themore flexible polynomial is used to analyze the trend of the hydrological series.

trend analysis；regressionmodel；normal distribution；PⅢdistribution；annualminimum monthly runoff

TV121.2

A

1001－5485（2013）07－0016－06

10.3969／j.issn.1001－5485.2013.07.004

2012－06－29；

2012－08－06

國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目（51190094）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51079098）

江 聰（1989－），男，河北寧晉人，碩士研究生，主要從事水文水資源方面的研究，（電話）13659831242（電子信箱）jc1207＠whu.edu.cn。