量綱分析法

殷末之

摘要：量綱分析法（dimensional analysis）或許對國內(nèi)的理工科的大學(xué)生來說并不熟悉。然而，在劍橋大學(xué)工程系的第一堂課就是量綱分析，因為它的應(yīng)用太廣泛而且很方便。這種方法不需要任何物理概念，只通過分析各個物理量的單位，建模，利用比例就可以準(zhǔn)確地解決工程上的很多復(fù)雜的計算。

關(guān)鍵詞：量綱分析法；物理量單位；建模與比例

Dimensional Analysis – the underrated scientific method

Yin Mo-zhi

( the University of Cambridge )

Abstract：The method of dimensional analysis may sound unfamiliar to science and engineering students in China; it is widely used and highly regarded here in Cambridge. In fact, dimensional analysis the first lesson we learned in the engineering course. The magic of dimensional analysis is that you dont need to have any prior knowledge of physics. Just by analyzing the dimension of each physical quantity, building an appropriate model and using simple calculation with ratio, we will be able to solve complicated engineering problems.

Key words: Dimensional analysis； physical quantity ；model and ratio

1．引言

在劍橋大學(xué)一直流傳著這樣一個故事：在第二次世界大戰(zhàn)后，美國人一直為研發(fā)原子彈而沾沾自喜，并向他們的盟國吹噓，但又千方百計對原子彈試驗的數(shù)據(jù)保密。于是，他們在各大官方雜志上公開了原子彈試驗爆炸的蘑菇云的照片，但對其中的細(xì)節(jié)，尤其是原子彈的能量輸出閉口不談。而當(dāng)劍橋數(shù)學(xué)系的教授，杰弗里?泰勒博士看到這些照片時，他發(fā)現(xiàn)可以通過簡單的量綱分析，通過比例，來計算實際爆炸的能量輸出。他開心地把計算過程寄給時代雜志，而令他吃驚的事，第二天凌晨三點，一群表情嚴(yán)肅的美國政府官員登門拜訪，并且質(zhì)問他怎么獲得內(nèi)部信息。泰勒博士一點也不著急，把這些遠道而來的美國先生請進學(xué)院里，然后給他們上了堂量綱分析的課。

量綱分析在國內(nèi)大學(xué)不是一門重點的理工課程，但是量綱分析實際上是一種簡單而強有力的科學(xué)方法。分析一個工程問題時，可以先羅列問題中所包含的主要物理量，并通過量綱分析和換算，將含有較多物理量的方程轉(zhuǎn)化為數(shù)目較少的無量綱數(shù)組方程（dimensionless groups），然后直接通過比例進行計算，可以省卻應(yīng)用大量的任何物理定律和中間過程。正是因為量綱分析的極強的實用，這門課是劍橋工程系的本科第一年的第一堂課，整個工程學(xué)科的起點。

2．量綱分析在實際中的運用

2．1利用量綱分析簡化計算

例1：作用在一個在勻速直線飛行的飛機上的升力記為F，而F的大小取決于：

1） 飛機的航行速度v，

2） 聲速c，

3） 機翼的面積為A，

4） 空氣密度 ρ

要計算作用在一架波音747上的升力F，只需要通過量綱分析，而不需要知道具體的流體力學(xué)的公式。具體方法是制作一個1/100的波音747的模型，然后在風(fēng)洞中進行試驗。在模擬試驗中，聲速為340m/s，氣體密度為1.225kg/m3，升力為1.2kN。而實際的波音747的航行速度為252m/s，高空的聲速為298m/s，氣體密度為0.388m/s。通過以上數(shù)據(jù)，可以得到下面這個表格：

數(shù)據(jù) 符號 單位 量綱

航速 v m/s LT-1

聲速 c m/s LT-1

機翼面積 A m2 L2

氣體密度 ρ kg/m3 ML-3

升力 F N MLT-2

最后一列就是這些物理量的量綱，用M（質(zhì)量mass），L（長度length）和T（時間time）的組合來表示。比如速度是長度除以時間，其量綱即為LT-1。而升力是N，也可以表示為kgm/s2，kg是質(zhì)量，m是長度，s是時間，量綱為MLT-2。

下一步就是應(yīng)用Buckingham 定理來計算無量綱數(shù)組的數(shù)目。如表格所示，一共有5組數(shù)據(jù)，3個量綱（即M，L，T）。而無量綱數(shù)組的數(shù)目就是5-3 = 2個。而通過觀察，這兩個沒有單位的數(shù)組是{ }和{ }（可以看出兩個無量綱數(shù)組的分子與分母的量綱相同）。這兩組無量綱數(shù)組的意義在于對于實際的波音747和1/100的模型， 和 的值是相同的。于是波音747的升力為：

（ ）實際=（ ）模型

= 2.9MN

可以看到以上計算沒有運用任何物理定律，這也正是量綱分析的魅力所在：通過建模，用最直接的方法，最簡單的計算解決復(fù)雜的問題。

2．2利用量綱分析實驗為實際工程問題建模

再舉一個我在實驗室做的量綱分析的試驗：對于三角堰，可以利用量綱分析來計算水流速度。下圖是實驗室里的堤壩的模型：將水抽上中間的玻璃管道后，水會通過V字型的堰口（如圖2所示）流向右邊的水庫（如圖3所示），而通過測量水庫內(nèi)儲水的高度變化，便可以測量水流速度。

圖1 圖2

圖3

首先列舉可能和水流速度有關(guān)的物理量：

數(shù)據(jù) 符號 單位 量綱

水流速度 Q m3s-1 L3T-1

上游水深 d m L

三角堰的高度 h0 m L

上游水深與三角堰的高度差 h m L

流體密度 ρ kgm-3 ML-3

流體黏性 μ kgm-1s-1 ML-1T-1

流體表面張力 б kgs-2 MT-2

三角堰角度 Ф 度 ---

重力加速度 g ms-2 LT-2

通過觀察表格，可以看出來要計算的Q的量綱只包括L和T，因此，可以先猜測Q的大小只和量綱包括L和T的物理量有關(guān)。而h = d - h0（如圖4所示），應(yīng)該只有高度差對流量有影響。因此影響Q的只有h，Ф，g。當(dāng)然這只是猜測，需要進行試驗來證實猜測是否成立。

現(xiàn)在只有4個數(shù)據(jù)，2個量綱（即L和T），應(yīng)用Buckingham定理，無量綱數(shù)組的數(shù)目為4-2 = 2個。而通過

觀察，這兩個沒有單位的數(shù)組是{ }和 Ф。

下表是在實驗室進行試驗時的數(shù)據(jù)：通過調(diào)節(jié)上游的水深，已達到控制變量的效果。

三角堰的高度 h0 = 108.3mm

儲水箱的橫截面A = 2715cm2

通過觀察表格的最后一列數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)無量綱數(shù)組的值基本是保持不變的。只是在上游水深與三角堰的高度差較小時這個值誤差較大，這是因為高度差小的時候水流的表面張力作

用力變大，因此導(dǎo)致誤差。然后，可以確定無量綱數(shù)組 在多數(shù)情況下是恒定的，即Q的大小只和h，g和

Ф有關(guān)。這個試驗的意義是可以利用量綱分析，來估算現(xiàn)實生活中的一個幾何相似的三角堰的水流速度（如圖4，圖5，圖6）。只需要測量h的值，便可以估算Q的值了。

圖4圖5

圖6 圖7

2．3利用量綱分析巧妙解決已知條件不夠的問題

利用量綱分析解決不可思議的謎團的故事，還遠遠不止于此。再舉一個我的教授，休?亨特博士，的例子：他利用量綱分析計算了二戰(zhàn)時英國皇家空軍在1943年5月對德國魯爾區(qū)水壩使用的彈跳炸彈所使用的火藥量并且重現(xiàn)了整個原本被歷史遺忘的過程。

圖7就是彈跳炸彈的工作原理，炸彈在水上彈跳數(shù)次并最終擊中大壩。休?亨特博士在康河上制作了一個只有10米的相似的大壩，并且僅僅通過量綱分析計算了1943年所使用的炸彈的質(zhì)量。為了證明他的計算的正確性，他還親自租了架古老的滑翔機，綁上炸彈，并在加拿大的英屬哥倫比亞的一條河上空60英尺丟下炸彈，成功地摧毀了一個他自己建造的130英尺寬的大壩。

讀到這里，相信大家也明白當(dāng)時泰勒教授是如何解決原子彈的能量輸出的問題了。他僅僅利用美國人發(fā)表的原子彈爆炸的照片作為模型，利用蘑菇云升起的高度和直徑，揭開了奧秘。

3．結(jié)束語

可以看出來，量綱分析可以廣泛地應(yīng)用在工程的各個領(lǐng)域。然而國內(nèi)大學(xué)里關(guān)于量綱分析似乎沒有怎么涉及，這個被忽略的方法有時候是最簡單而巧妙的方法。

參考文獻

[1] 圖4來源于互聯(lián)網(wǎng)

www.flyforums.co.uk/166723-post37.html:

[2] 圖5來源于互聯(lián)網(wǎng)www.hydrocad.net/weir2.htm

[3] 圖6來源于互聯(lián)網(wǎng)

www.hubbardbrook.org/w6_tour/weir-stop/weirwork.htm

[4] 圖7來源于互聯(lián)網(wǎng)

www.chm.bris.ac.uk/webprojects2001/moorcraft.htm

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【文章編號】1627-6868（2013）03-0026-03