一種二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的設(shè)定方法

倪臣敏，管典安

（華僑大學(xué)廈門工學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，福建廈門 361021）

二階常系數(shù)線性微分(差分)方程的內(nèi)容，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)或者經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(微積分)中主要介紹了兩種類型的求解，即齊次的（1）和非齊次的（2），

這兩種類型的方程無論在工程應(yīng)用模型還是經(jīng)濟(jì)分析模型的建立中都有非常重要的基礎(chǔ)性作用。根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理[1]，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2）的解為y=Y+y*。其中Y為其對(duì)應(yīng)的齊次方程（1）的通解，y*為（2）的一個(gè)特解。Y易用特征方程法，快速而簡(jiǎn)便地求解。特解y*的求法較為復(fù)雜，一般是采用待定系數(shù)法[1]，即先設(shè)出y*的形式，再將其代入原方程（2），根據(jù)等式兩邊同類項(xiàng)前的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，解出待定系數(shù)。

在眾多高等數(shù)學(xué)或者微積分教材中，特解y*的設(shè)定都是經(jīng)過簡(jiǎn)單推導(dǎo)后，分類給出設(shè)定公式，如高等數(shù)學(xué)[1]中，對(duì)于于f（x）=eλxPm（x）（其中Pm（x）為m次多項(xiàng)式）的情形，給出（2）的特解形式y(tǒng)*是：

y*=xkQm（x）eλx，其中Qm（x）為m次多項(xiàng)式，

y*=xkeλx，其中為m次多項(xiàng)式。

如何用統(tǒng)一的方法，給出特解的形式，有很積極的研究意義。本文就常見高等數(shù)學(xué)教材中f（x）的兩種類型f（x）=eλxPm（x）及f（x）=eλx，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)，給出了新的特解y*的設(shè)定法，此方法統(tǒng)一了（3）和（4）兩個(gè)結(jié)論，亦適用于一二階常系數(shù)非齊次線性差分方程特解的設(shè)定求解。

1 主要內(nèi)容

1.1 對(duì)非齊次項(xiàng)的分析

考察f（x）的兩種類型，各階導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)。

（i）若f（x）=eλxPm（x），則

因Pm（x）的m+1階導(dǎo)數(shù)為0，且（eλx）（n）=λneλx，故f（x）的各階導(dǎo)數(shù)展開式中，所含同類項(xiàng)為有限項(xiàng)。如f（x）=（x2+1）e2x，f′（x）=2xe2x+2（x2+1）e2x=2（x2e2x+xe2x+e2x），繼續(xù)求f″（x），f′″（x），…。f（x）的各階導(dǎo)數(shù)所含同類只有三項(xiàng)x2e2x，xe2x和e2x，而f（x）是其中兩個(gè)同類項(xiàng)的線性組合f（x）=x2e2x+e2x。

（ii）若f（x）=eλx［P1l（x）cosωx+P2n（x）sinωx］，由于正弦和余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)的交互性，不難推導(dǎo)出f（x）的各階導(dǎo)數(shù)中所含同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是有限的。事實(shí)上，應(yīng)用歐拉公式，亦可以將此f（x）化為指數(shù)和多項(xiàng)式相乘的類型。

1.2 特解的設(shè)定方法

定理 設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y″+py′+qy=f（x）（f（x）=eλxPm（x）或f（x）=eλx對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=C1g1（x）+C2g2（x）且f（x），f′（x），f″（x）…所含同類項(xiàng)為有限項(xiàng)，則上述非齊次方程特解的待定形式為

證明僅就f（x）=eλxPm（x）且m=2時(shí)，作簡(jiǎn)要證明，其他情況略。設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y。

當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=eλx（a2x2+a1x+a0），容易求出f（x），f′（x），f″（x）…所含同類項(xiàng)為x2eλx，xeλx，eλx三項(xiàng)，故原方程的特解初步設(shè)定為y*=ax2eλx+bxeλx+ceλx=（ax2+bx+c）eλx。

（i）若y*與Y中無相同的同類項(xiàng)，則說明λ不是特征方程的特征根，由（3）y*的待定形式為：y*=ax2eλx+bxeλx+ceλx=（ax2+bx+c）eλx。

（ii）若y*與Y中有相同的同類項(xiàng)，則說明λ是特征方程的特征根，若為單根，則y*x與Y無相同的同類項(xiàng)，故特解的待定形式為x（ax2+bx+c）eλx；若為重根，則y*x與Y中仍有相同的同類項(xiàng)，y*x2與Y中無相同的同類項(xiàng)，故原方程特解的待定形式為：x2（ax2+bx+c）eλx。

顯然，上述特解形式等同于引言中（3）式給出的結(jié)論。

需要注意的是，本定理中特解形式的設(shè)定是基于非齊次項(xiàng)f（x）及其各階導(dǎo)數(shù)所含的同類項(xiàng)的有限性，其假設(shè)的關(guān)鍵是保證特解形式和對(duì)應(yīng)齊次方程的通解不含相同的同類項(xiàng)。

例1 寫出下列微分方程特解的待定形式。

（i）y″-3y′+2y=2x+3；（ii）y″-3y′+2y=xe2x；（iii）y″-3y′+2y=excos2x.

解：容易看出（i）~（iii）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解均為Y=C1ex+C2e2x，Y中所含同類項(xiàng)為ex，e2x.

對(duì)于（i），f（x）=2x+3，f′（x）=2，f″（x）=f′″（x）=…=0,f（x）及其各階導(dǎo)數(shù)所含同類項(xiàng)為x和常數(shù)項(xiàng)，他們都和Y中所含的同類項(xiàng)不同，故（i）方程的特解的待定形式為y*=ax+b（其中a，b為任意常數(shù)）。利用引言中（3）式結(jié)論驗(yàn)證之，因f（x）=2x+3=e0x（2x+3），0不是特征方程r2-3r+2=0的根，故（i）特解的待定形式為y*=ax+b（其中a，b為任意常數(shù)）。

對(duì)于（ii），非齊次項(xiàng)f（x）=xe2x，f（x）及其各階導(dǎo)數(shù)所含同類項(xiàng)為xe2x和e2x，有與Y中所含的同類項(xiàng)相同的項(xiàng)e2x，故原方程的特解待定形式初步設(shè)定為（axe2x+be2x）x，此特解形式中所含同類項(xiàng)為x2e2x和xe2x，它們與Y中所含的同類項(xiàng)均不相同，故方程（ii）特解的待定形式設(shè)為y*=（axe2x+be2x）x（其中a，b為任意常數(shù)）。同理可用（3）式結(jié)論驗(yàn)證之。

對(duì)于（iii），非齊次項(xiàng)f（x）=excos2x，f（x）及其各階導(dǎo)數(shù)所含同類項(xiàng)為有限項(xiàng)excos2x和exsin2x，且均與ex，e2x不相同，故其特解的待定形式為y*=aexcos2x+bexsin2x（其中a，b為任意常數(shù)）。利用引言（4）式容易驗(yàn)證此結(jié)論的正確性。

從以上解題過程可以看出，本文介紹的方法使得兩種非齊次項(xiàng)的類型特解的設(shè)定得到了統(tǒng)一，而且簡(jiǎn)單直觀，為后續(xù)的方程求解提供了很大的方便。

對(duì)于非齊次項(xiàng)為定理中的兩種情況相加的情形，需根據(jù)疊加原理[1]來獲得微分方程的特解形式。

例2 求y″+y=ex+cosx的特解的待定形式。

解 考慮方程y″+y=ex和y″+y=cosx，分別求出其對(duì)應(yīng)的特解的待定形式y(tǒng)*1=aex和y*2=bcosx+csinx，由疊加原理，所求方程的特解待定形式為y*=aex+bcosx+csinx。

事實(shí)上，對(duì)于例2方程的求解，較簡(jiǎn)便的方法是：先將y*1，y*2分別代入其對(duì)應(yīng)的方程，解出待定系數(shù)a，b，c，獲得非齊次方程的一個(gè)特解，再根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理寫出其通解。

2 結(jié)論的拓展

可以驗(yàn)證文中的定理所介紹的方法同樣適用于對(duì)一二階常系數(shù)非齊次線性差分方程特解的求解。例3 求下列方程的一個(gè)特解。

（i）yx+1+yx=x·2x；（ii）yx+2+3yx+1-4yx=-2.

解（i）對(duì)應(yīng)齊次方程的通解[2]為Yx=C（-1）x。非齊次項(xiàng)為f（x）=x·2x，f（x）及其各階導(dǎo)數(shù)所含同類項(xiàng)為2x，x·2x，且均與Yx所含的同類項(xiàng)（-1）x不同，故方程（i）特解的待定形式可設(shè)為，從而b（x+1）·2x+1，將，代入方程（i）得，這就求得方程（i）的一個(gè)特解

（ii）對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Yx=C1（1）x+C2（-4）x=C1+C2（-4）x，所含同類項(xiàng)為（-4）x和常數(shù)項(xiàng)。非齊次項(xiàng)為f（x）=-2，f（x）及其各階導(dǎo)數(shù)所含同類項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，與Yx中所含的一個(gè)同類項(xiàng)相同，故其特解形式設(shè)為（此時(shí)所含同類項(xiàng)x與Yx中所含的兩個(gè)均不相同），將（x+1）代入方程（ii）得，即得方程（ii）的一個(gè)特解

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分[M].2版.北京:高等教育出版社,2009.

[3]朱德剛.二階常系數(shù)線性微分方程的特解公式[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13（3）:15-16.