區(qū)間值度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理

陳桂秀，李生剛，趙 虎

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1

1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

2.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西寧 810008

區(qū)間值度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理

陳桂秀1，2，李生剛1，趙 虎1

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1

1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

2.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西寧 810008

研究了一種特殊的模糊度量ρ，稱為區(qū)間值度量。區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（如加減乘除運(yùn)算）在相關(guān)文獻(xiàn)中已有定義，對(duì)區(qū)間數(shù)的減法運(yùn)算進(jìn)行新的定義，得到相應(yīng)的不等式性質(zhì)，接著給出了區(qū)間值度量的定義；介紹了區(qū)間值度量空間中相關(guān)的定義，如收斂序列、Cauchy序列以及完備性等；討論了區(qū)間值度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理和公共不動(dòng)點(diǎn)定理。

區(qū)間值度量空間；不動(dòng)點(diǎn)定理；公共不動(dòng)點(diǎn)定理；區(qū)間數(shù)

在不確定性數(shù)學(xué)方法研究中，用區(qū)間數(shù)來刻畫事物和現(xiàn)象的本質(zhì)和特征的方法被學(xué)者稱為區(qū)間數(shù)理論。利用區(qū)間數(shù)理論來研究不確定性問題有著重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用背景。國內(nèi)對(duì)區(qū)間數(shù)的研究，主要以胡寶清、鄧聚龍、徐澤水教授，以及張興芳教授為代表，均取得了一些很好的結(jié)果。國外早在1931年，Young就開始了區(qū)間數(shù)的研究，以Moore[1-3]為代表的眾多學(xué)者繼續(xù)研究，均取得了滿意的效果。區(qū)間數(shù)理論的研究主要表現(xiàn)在區(qū)間數(shù)的排序關(guān)系和基于區(qū)間數(shù)的決策模型方面。文中主要討論了區(qū)間值度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理和公共不動(dòng)點(diǎn)定理。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[4-7]稱 R2中滿足a-≤a+的點(diǎn) a-，a+為區(qū)間數(shù)，區(qū)間數(shù)的全體記為I(R)，對(duì)任意兩個(gè)區(qū)間數(shù) a-，a+和b-，b+以及任意正實(shí)數(shù)r規(guī)定：

當(dāng)a-＞b-且a+＞b+時(shí)記 a-，a+? b-，b+（或 b-，b+?a-，a+)；當(dāng)a-=a+時(shí)，記 a-，a+=a；a-，a+≤ b-，b+當(dāng)且僅當(dāng)a-≤b-且a+≤b+。

注1.1對(duì)任意三個(gè)區(qū)間數(shù) a-，a+，b-，b+，c-，c+。若 a-，a+≤ b-，b+，則：

定義1.2設(shè) X是集合，若 ρ:X×X→I(R+)（其中R+=[0，+∞)）是一個(gè)映射。如果 ρ-=p1°ρ:X×X→[0，+∞)和ρ+=p2°ρ:X×X→[0，+∞)都是X上的度量，則稱 ρ為X上的一個(gè)區(qū)間值度量，且稱(X，ρ)為一個(gè)區(qū)間值度量空間，其中 p1:R2→R和 p2:R2→R分別是 ρ在第一坐標(biāo)和第二坐標(biāo)上的投射。

注1.2映射 ρ:X×X→I(R+)是X上的區(qū)間值度量，當(dāng)且僅當(dāng)ρ滿足下列條件：

（1）對(duì)于任意x，y∈X，ρ(x，y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（2）對(duì)于任意x，y∈X，ρ(x，y)=ρ(y，x)；

（3）對(duì)于任意 x，y，z∈X，ρ(x，y)≤ρ(x，z)⊕ρ(z，y)（這里≤是R2上的點(diǎn)式序）。

2 不動(dòng)點(diǎn)定理

定義2.1設(shè)(X，ρ)為一個(gè)區(qū)間值度量空間，{xn}是 X中的序列。

（3）如果(X，ρ)中的每個(gè)Cauchy序列均收斂，則稱 X是完備區(qū)間值度量空間。

引理2.1區(qū)間值度量空間(X，ρ)是完備的，當(dāng)且僅當(dāng)度量空間(X，ρ+)是完備的。

引理2.2設(shè)(X，ρ)是一個(gè)區(qū)間值度量空間，{xn}是X中的序列。如果對(duì)任意正整數(shù)n滿足ρ(xn+1，xn)≤kρ(xn，xn-1)，其中k∈[0，1)，則{xn}是X中的一個(gè)Cauchy序列。

證明 根據(jù)條件有 ρ(xn+1，xn)≤kρ(xn，xn-1)≤k2ρ(xn-1，xn-2)≤…≤knρ(x1，x0)。對(duì)任意 ε-，ε+?0，存在正整數(shù) s使得對(duì)任意正整數(shù)m，n≥s：

根據(jù)定義2.1知{xn}是X中的一個(gè)Cauchy序列。

注2.1定理2.1和定理3.1中的不動(dòng)點(diǎn)、公共不動(dòng)點(diǎn)及相關(guān)概念參考文獻(xiàn)[8-13]。

定理2.1設(shè)(X，ρ)是一個(gè)完備區(qū)間值度量空間，T:X→X 是X中的映射。則T在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，如果T滿足：

從而ρ(Tx*，x*)=0，這表明Tx*=x*，即x*是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

假設(shè)y*是T的另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則：由k3+k4+k5≠1得ρ(x*，y*)=0，則x*=y*，因此，T在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。

情形2s＞1。根據(jù)情形1知Ts在X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)x*。

由Ts(Tx*)=T(Tsx*)=Tx*知Tx*也是Ts的不動(dòng)點(diǎn)，于是Tx*=x*，即x*是T的不動(dòng)點(diǎn)。這證明了T的不動(dòng)點(diǎn)也是Ts的不動(dòng)點(diǎn)，從而T在 X中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。

本定理的證明基于引理2.2，且類似于度量空間中壓縮映射滿足（43）的情形（見文獻(xiàn)[14]），并參考了文獻(xiàn)[15]。

3 公共不動(dòng)點(diǎn)定理

定理3.1設(shè)(X，ρ)是一個(gè)完備區(qū)間值度量空間，T，S: X→X是X中的映射。則T和S在X中存在唯一公共不動(dòng)點(diǎn)，如果T和S滿足：

其中 x，y∈X， ki≥0(i=1，3，5)，2k1+2k3+k5＜1且 s和 t是兩個(gè)固定的正整數(shù)。

證明 取 x0∈X，令 x2n+1=Tx2n，x2n=Sx2n-1?？紤]如下兩種情形。

情形1s=t=1。對(duì)任意正整數(shù)n：綜合上述不等式，對(duì)于任意正整數(shù)n有 ρ(xn+1，xn)≤

從而 ρ(Tx*，x*)=0，這表明Tx*=x*，即 x*是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。進(jìn)一步：

由k1+k3≠1得Sx*=x*，這表明 x*是S的不動(dòng)點(diǎn)，從而 x*是T和S的公共不動(dòng)點(diǎn)。

假設(shè)y*是T和S的另一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)，則：

由2k3+k5≠1得 ρ(x*，y*)=0，從而x*=y*，這表明T和S具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

情形2s≠1或者t≠1。根據(jù)情形1知Ts和St具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)x*。下面要證x*也是T和S的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

由Tx*=x*得Ts(Tx*)=Ts+1x*=T(Tsx*)=Tx*，則Tx*是Ts的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而：

由k1+k3≠1得 ρ(StTx*，Tx*)=0，即 StTx*=Tx*，這表明Tx*是St的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，于是Tx*是Ts和St的公共不動(dòng)點(diǎn)。由于St具有唯一不動(dòng)點(diǎn)，所以Tx*=x*。類似有Sx*=x*，從而Ts和St的公共不動(dòng)點(diǎn)也是T和S的公共不動(dòng)點(diǎn)。

假設(shè)y*是T和S的另一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)，則根據(jù)T2y*= T(Ty*)=Ty*=y*，…，Tsy*=y*和 S2y*=S(Sy*)=Sy*=y*，…，Sty*=y*，證明了 y*也是Ts和St的公共不動(dòng)點(diǎn)，從而T、S 和Ts、St在X中具有相同的公共不動(dòng)點(diǎn)集。

本定理的證明基于引理2.2，且類似于度量空間中壓縮映射滿足（169）的情形（見文獻(xiàn)[14]），并參考了文獻(xiàn)[15]。

4 結(jié)束語

關(guān)于區(qū)間數(shù)理論的研究與應(yīng)用得到了廣泛關(guān)注，本文研究了區(qū)間值度量空間中一個(gè)自映射的不動(dòng)點(diǎn)定理和兩個(gè)自映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理。

[1]Moore R E.Interval analysis[M].New Jersey：Prentice Hall，1996.

[2]Moore R E.The automatic analysis and control of error in digital computation based on the use of interval number[M].[S.l.]：John Wiley&Sons，Inc，1965.

[3]Moore R E.Automatic local coordinate transformations to reduce the growth of error bounds in interval computation of solutions of ordinary differential equations[M].[S.l.]：John Wiley &Sons，Inc，1965.

[4]劉旺金，何家儒.模糊數(shù)學(xué)導(dǎo)論[M].成都：四川大學(xué)出版社，1992.

[5]胡啟洲，張衛(wèi)華.區(qū)間數(shù)理論的研究及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[6]陳啟浩.模糊值及其在模糊推理中的應(yīng)用[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[7]Chakraborty C，Chakraborty D，Yue Y L，A theoretical development on a fuzzy distance measure for fuzzy numbers[J]. Mathematical and Computer Modelling，2006，43：254-261.

[8]Istratescu V I.Fixed point theory[M].Dordrecht，Holland：D Reidel Publishing Company，1981.

[9]Agarwal R P，Meehan M，O'Regan D.Fixed point theory and applications[M].[S.l.]：Cambridge University Press，2001.

[10]Berinde V.A common fixed point theorem for compatible quasi contractive self mappings in metric spaces[J].Applied Mathematics and Computation，2009，213：348-354.

[11]Suzuki T.A new type of fixed point theorem in metric spaces[J]. Nonlinear Analysis，2009，71：5313-5317.

[12]Agarwal R P，Khamsi M A.Extension of Caristi's fixed point theorem to vector valued metric spaces[J].Nonlinear Analysis，2011，74：141-145.

[13]Samet B.Common fixed point theorems involving two pairs of weakly compatible mappings in K-metric spaces[J].Applied Mathematics Letters，2011，24：1245-1250.

[14]Rhoades B E.A comparison of various definitions of contractive mappings[J].Transactions of the American Mathematical Society，1977，226：257-290.

[15]Paula C，Jaime C，Silva E.A complete comparison of 25 contraction conditions[J].Nonlinear Analysis，Theory，Methods and Applications，1997，30：471-476.

1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062,China

2.Department of Mathematics,Qinghai Normal University,Xining 810008,China

This paper studies a special kind of fuzzy metricρ,called interval-valued metric.The operations of interval number （such as addition subtraction multiplication divition）are given in related references,the subtraction operation of interval number is redefined,and the corresponding inequality properties are obtained.Then the definition of interval-valued metric is given. Some related conception in interval-valued metric space are introduced,such as convergent sequence,Cauchy sequence and completeness etc,and the fixed point theorem and common fixed point theorem in interval-valued metric space are presented.

interval-valued metric spaces;fixed point theorem;common fixed point theorem;interval number

A

O189

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0057

CHEN Guixiu,LI Shenggang,ZHAO Hu.Fixed point theorems in interval-valued metric spaces.Computer Engineering and Applications,2013,49（7）：20-23.

國家自然科學(xué)基金（No.11071151）；陜西省自然科學(xué)基金（No.2010JM1005）。

陳桂秀（1972—），女，博士生，主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)與擬陣?yán)碚撗芯?；李生剛?959—），男，教授，博導(dǎo)，主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)與擬陣?yán)碚撗芯浚悔w虎（1981—），男，博士生，主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)與模糊代數(shù)的研究。E-mail：cgx0510@163.com

2012-10-09

2012-12-10

1002-8331（2013）07-0020-04

CNKI出版日期：2012-12-26 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121226.1416.007.html