一類互聯(lián)電力系統(tǒng)的部分聯(lián)結穩(wěn)定性分析

耿彥峰， 蹇繼貴， 張炎彪

（1.忻州師范學院數(shù)學系，山西忻州034000；2.三峽大學理學院，湖北宜昌443002）

0 引 言

現(xiàn)代電力系統(tǒng)規(guī)模不斷擴大，電網(wǎng)結構日益復雜，大容量機組逐漸增多，電力系統(tǒng)已經逐步形成了以大機組、超高壓、長距離、大區(qū)聯(lián)網(wǎng)為特征的復雜大系統(tǒng). 電力系統(tǒng)的互聯(lián)，可以帶來顯著的經濟效益; 然而，電力系統(tǒng)的規(guī)模越大，引起系統(tǒng)事故的可能性也就越大. 在實際的互聯(lián)電力系統(tǒng)中，經常會出現(xiàn)由于故障或其他原因引起的結構擾動，從而導致整個電力系統(tǒng)出現(xiàn)較大的結構變化. 特別是像個別子系統(tǒng)從互聯(lián)電力系統(tǒng)上脫離又重新連接這樣的結構擾動，它會對整個大系統(tǒng)的正常運行產生非常不利的影響和后果. 因此，對互聯(lián)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析與控制，對于提高整個電力系統(tǒng)的安全性和穩(wěn)定性有十分重要的意義. 近些年來，很多學者對于此進行了廣泛的研究，并得到了許多有意義的成果[1-4]. 但是，我們有時需要考慮的是，各子系統(tǒng)的部分變量對于整個大系統(tǒng)是否具備運行的穩(wěn)定性[5-8]. 例如，假設每個電力子系統(tǒng)都包含一個水電機組和一個火電機組，如果只研究所有水電機組的聯(lián)結穩(wěn)定性，這個問題即為互聯(lián)系統(tǒng)的部分聯(lián)結穩(wěn)定性. 因此，對于互聯(lián)系統(tǒng)的部分聯(lián)結穩(wěn)定性研究，應該具有更廣泛的意義. 但是，對于這類問題的研究仍然不是很多[9-12]. 本文在已有的理論成果上，給出一個關于互聯(lián)系統(tǒng)的部分聯(lián)結穩(wěn)定性的判據(jù). 最后，給出一個實例，并進行仿真，以說明本文結果的有效性.

1 問題的描述

考慮一類由N 個區(qū)域組成的互聯(lián)電力系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含了N 個子系統(tǒng)， 每個子系統(tǒng)分別有一個水電機組和一個火電機組，為了研究互聯(lián)電力系統(tǒng)在不確定擾動下的聯(lián)結穩(wěn)定性，其數(shù)學模型可描述為：[1]

根據(jù)文獻[1]，eij=1 表示第i 個子系統(tǒng)和第j 個子系統(tǒng)完全相聯(lián)，eij=0 表示第i 個子系統(tǒng)和第j 個子系統(tǒng)完全分離， 用0＜eij＜1 表示第i 個子系統(tǒng)和第j 個子系統(tǒng)部分相聯(lián).

文中只考慮互聯(lián)矩陣E=（eij）N×N的元素eij為0＜eij＜1 的情形下系統(tǒng)（1）的部分變元的聯(lián)結穩(wěn)定性. 那么，系統(tǒng)（1）相應的孤立子系統(tǒng)為:

下面引入互聯(lián)電力系統(tǒng)的部分變元聯(lián)結穩(wěn)定性的幾個相關定義.

定義3 互聯(lián)系統(tǒng)（1）的平凡解x=0 分別稱為關于y 聯(lián)結穩(wěn)定的﹑關于y 聯(lián)結漸近穩(wěn)定的，若對于所有的E∈E，互聯(lián)系統(tǒng)（1）的平凡解x=0 分別是關于y 穩(wěn)定的﹑關于y 漸近穩(wěn)定的.

不失一般性，為了得到有關問題的結論，我們先給出如下假設:

注:假設A 意味著前r 個孤立子系統(tǒng)的平凡解xi=0 是關于yi漸近穩(wěn)定的，而r 之后的N-r 個孤立子系統(tǒng)的平凡解xi=0 關于yi可能是穩(wěn)定的， 也可能是不穩(wěn)定的.

2 主要結果

定理1 對于互聯(lián)系統(tǒng)（1），若有以下條件成立:

（1）孤立子系統(tǒng)（2）滿足假設A;

（2）存在一個常矩陣A=（aij）N×N，使得下式成立:

則系統(tǒng)（1）的平凡解x=0 是關于y 聯(lián)結漸近穩(wěn)定的.

證 明 對于互聯(lián)系統(tǒng)（1）構造Lyapunov 函數(shù):

由條件（1）可知，V 函數(shù)關于y 是正定的.那么有，

因此，對于整個互聯(lián)系統(tǒng)有，

3 數(shù)值仿真

考慮具有如下形式的互聯(lián)電力系統(tǒng)，其包含兩個子系統(tǒng).

其中，

將系統(tǒng)（3）寫成下面兩個子系統(tǒng):

子系統(tǒng)（4）、（5）的孤立子系統(tǒng)分別為:

圖1 部分變量y 的狀態(tài)仿真

圖2 部分變量z 的狀態(tài)仿真

4 結 論

本文基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論以及互聯(lián)大系統(tǒng)的關聯(lián)性質，主要討論了一類互聯(lián)電力大系統(tǒng)的部分變元聯(lián)結穩(wěn)定性，建立了判別此類系統(tǒng)的部分變元聯(lián)結漸近穩(wěn)定性的充分條件.并給出一個包含兩個子系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)，第一個孤立子系統(tǒng)是關于穩(wěn)定的，而第二個是關于不穩(wěn)定的，并進行了實例仿真，仿真結果說明了結論的有效性. 此外，本文的結果也可以推廣到互聯(lián)矩陣的元素為時變的情形，只需對條件和結論做一些相應的改變即可. 對于具有函數(shù)型的關聯(lián)因子的情形，應該具有更廣泛的研究意義，在以后研究工作中，仍需給予更多的關注.

[1] Siljak D D.Large-scale dynamic systems: stability and structure[M].New York: North-Holland, 1978.

[2] 譚 文，張 敏，李志攀. 分數(shù)階互聯(lián)電力系統(tǒng)混沌振蕩及其同步控制[J]. 湖南科技大學學報:自然科學版，2011，26(2):74-78.

[3] Li X H, Wu L J. Partial robust connective stability analysis for a class of interconnected power systems [C]//Control and Decision Conference, 2008. CCDC 2008. Chinese. IEEE, 2008: 4450-4454.

[4] Ruan S G. Connective stability of discontinuous large scale systems [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,1991, 160(2): 480-484.

[5] 陳宇環(huán)，易稱福，張小紅. 基于Lyapunov 穩(wěn)定性定理的混沌同步研究與應用[J]. 江西理工大學學報，2006，27(3):34-37.

[6] 鄧小飛，年曉紅，潘 歡. 多個線性時滯系統(tǒng)的關聯(lián)穩(wěn)定與協(xié)調控制[J]. 控制理論與應用: 2010，27(11): 1504-1510.

[7] Nian X H, Cao L. BMI approach to the interconnected stability and cooperative control of linear systems [J]. Acta Automatic Sinica, 2008, 34(4): 438-444.

[8] 李小華，井元偉，陳雪波. 一類互聯(lián)電力系統(tǒng)的魯棒聯(lián)結穩(wěn)定性分析[J]. 控制與決策，2005，20(3): 271-279.

[9] Wang Q, Chen X B. Asymptotic equivalent analysis for LTI overlapping large- scale systems and their subsystems [J]. Lecture Notesin Computer Science, 2010(6146): 196-203.

[10] Stipanovic D M, Siljak D D. Connective stability of discontinuous interconnected systems via parameter dependent Lyapunov functions[C]//American Control Conference, 2001. Proceedings of the 2001. IEEE, 2001, 6: 4189-4196.

[11] Moreau L. Stability of multiagent systems with time-dependent communication links [J]. Automatic Control, IEEE Transactions on, 2005, 50(2): 169-182.

[12] Jian J G,Wang G H, Wang B X. Connective stability analysis for a class of interconnected power large-scale systems with respect to partial variables[J]. Complex Systems and Applications—Modeling,Control and Simulations, 2007, 14(2): 575-579.

[13] 廖曉昕. 穩(wěn)定性的數(shù)學理論及應用[M]. 武漢: 華中科技大學出版社，2001.