(n,d)-平坦模與(n,d)-余撓模

漢 巍，李蕊彤

（1.蘭州商學(xué)院隴橋?qū)W院 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)部，甘肅 蘭州 730101；2.蘭州市西固區(qū)蘭化四校，甘肅 蘭州 730060）

本文所涉及的環(huán)皆為有單位元的結(jié)合環(huán)，所有模皆為酉模.所涉及的其它專(zhuān)業(yè)名詞和術(shù)語(yǔ)均來(lái)自于[1]與[2].

設(shè)…→P1→P0→M→0是R-模M的一個(gè)投射分解，且K0=M,K1=ker(P1→M),當(dāng)i≥2時(shí)，ki=ker(Pi-1→Pi-2).第n個(gè)核kn(n≥0)稱(chēng)為M的第n次合沖.對(duì)偶地，通過(guò)M的內(nèi)射分解可以定義M的n次上合沖.rD(R)及wD分別表示環(huán)R的右整體維數(shù)和弱整體維數(shù).pd(M),fd(M)及id(M)分別表示模M的投射維數(shù)、平坦及內(nèi)射維數(shù).

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，n為非負(fù)整數(shù)，根據(jù)Costa(1994),Chen and Ding(1996)及 Xue(1999),稱(chēng)一個(gè)左R-模P為n-表示(或P有有限n表示)，即存在一個(gè)左R-模正合列

其中每個(gè)Fi皆為有限生成、自由的左R模.明顯的，當(dāng)m≥n時(shí)，每個(gè)m-表示模是n-表示模.R叫做右n-凝聚環(huán)(Costa.1994)若每個(gè)n-表示右R-模是 (n+1)-表示.容易看出R是右0-凝聚環(huán)（1-凝聚環(huán)）當(dāng)且僅當(dāng)R是右Noetherian（凝聚），及每個(gè)n-凝聚環(huán)是m-凝聚環(huán)（m≥n）.根據(jù)Costa(1994)及Zhou(2004)R稱(chēng)為左(n,d)-環(huán)若每個(gè)n-1表示的左R模，其投射維數(shù)最大為d,其中n,d,皆為非負(fù)整數(shù).R稱(chēng)為左弱(n,d)-環(huán)若每個(gè)n-表示的左R模，其平坦維數(shù)最大為d,其中n,d皆為非負(fù)整數(shù).若R是左(n,d)-環(huán)則R為左弱(n,d)-環(huán).

設(shè)C是一個(gè)右R-模類(lèi)且M是任意右R-模.當(dāng)F∈C時(shí)，同態(tài)φ:M→F稱(chēng)為M的一個(gè)C-予包絡(luò)（Enochs,1981）是指對(duì)于 F'∈C，任意同態(tài) f:M→F',存在同態(tài) g:F→F'使得 gφ=f,而且若 F'=F,f=φ 時(shí),g僅為F的自同態(tài)，則稱(chēng)C-予包絡(luò)φ為M的C-包絡(luò).

給定一個(gè)右R-模類(lèi) L,L⊥={C|Ext1R(L,C)=0,坌L∈L},其稱(chēng)為L(zhǎng)的右正交類(lèi).⊥L={C|Ext1R(C,L)=0,坌L∈L},其稱(chēng)為L(zhǎng)的左正交類(lèi).根據(jù)Enochs and Jenda(2000，Definition 7.1.6),對(duì)于任意 C∈C,若單射α:M→C有coker(α)∈⊥C，則其稱(chēng)為M的一個(gè)特殊C-予包絡(luò)，對(duì)偶地，可以定義特殊的C-予覆蓋.

一個(gè)右R-模類(lèi)對(duì) (F,C)稱(chēng)為一個(gè)余撓理論(Enochs and Jenda 2000).若 F⊥C=C及⊥C=F.一個(gè)余撓理論(F,C)稱(chēng)為完全的.若每個(gè)右R-模有一個(gè)特殊的C-予包絡(luò),每個(gè)右R-模有一個(gè)特殊的F-予覆蓋.

設(shè)n、d為兩個(gè)給定的非負(fù)整數(shù).由Zhou(2004)可知一個(gè)右R-模M稱(chēng)為 (n,d)-平坦是指于任意n-表示R-模Q,有TorRd+1(Q,M)=0.在第二部分,介紹了(n,d)-余撓的定義.一個(gè)右R-模M稱(chēng)為(n,d)-余撓是指對(duì)于任意(n,d)-平坦R-模N,有Ext1R(N,M).在討論了其兩者的基本性質(zhì)后，本文證明了(Fn,0,Cn,0)是一個(gè)余撓理論，其中Fn,0為所有(n,0)-平坦模構(gòu)成的類(lèi)，Cn,0為所有(n,0)-余撓模構(gòu)成的類(lèi).

本文第三部分運(yùn)用第二部分的結(jié)論對(duì)n-凝聚環(huán)進(jìn)行了刻畫(huà)，得到了如下結(jié)果∶R為一個(gè)右n-凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)(n,0)-余撓右R-模是(n+1,0)-余撓.

定義和一般結(jié)論

設(shè)M是一個(gè)右R-模，n、d為兩個(gè)給定的非負(fù)整數(shù).由Zhou(2004)M稱(chēng)為(n,d)-平坦模是指于任意n-表示R-模Q，有TorRd+1(Q,M)=0.顯然，當(dāng)m≤n時(shí)，每個(gè)(m,d)-平坦右R-模是(n,d)-平坦模.M是(0,0)-平坦當(dāng)且僅當(dāng)M是平坦；M是(1,d)-平坦當(dāng)且僅當(dāng)fd(M)≤d.M是(1,0)-平坦當(dāng)且僅當(dāng)M是1-平坦(Chen and Ding 1996).

定義2.1 設(shè)n、d為兩個(gè)給定的非負(fù)整數(shù)，一個(gè)右R-模M稱(chēng)為 (n,d)-余撓是指對(duì)于任意(n,d)-平坦R-模N,有Ext1R(N,M)=0.

注記2.2 明顯地，(0,0)-余撓模是余撓模.取定d，當(dāng)m

性質(zhì)2.3 設(shè){Mi}I是一個(gè)右R-模族，則

(1)茌IMi是(n,d)-平坦當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是(n,d)-平坦.

(2)∏IMi是(n,d)-余撓當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是(m,d)-余撓.

證明 (1)由Zhou(2004)Proposition2.2(1).

(2)由 Ext1R(F,∏IMi)；∏IExt1R(F,Mi)可得.

性質(zhì)2.4 設(shè)M是一個(gè)(n,d)-余撓模，則對(duì)于任意(n,d)-平坦R-模F,i>0有Ext1R(F,M).

證明 作F的投射分解，則有0→K→Pi-1→Pi-2→…→P1→P0→F→0.可見(jiàn) K平坦.則 Ext1R(M,K).由平坦為(n,d)-平坦.所以Ext1R(M,K)=0,可得ExtiR(F,M)=0.

性質(zhì)2.5 設(shè)0→A→B→C→0是一個(gè)短正合列.

(1)若C是(n,d)-平坦，B為(n+1,d)-平坦，則A為(n+1,d)-平坦.

(2)若A是(n+1,d)-余撓，B為(n,d)-余撓，則C為(n,d)-余撓.

證明 (1)取n+1-表示模P，用-茚P作用在0→A→B→C→0上.由長(zhǎng)序列引理可得…→TorRd+2(C,P)→TorRd+1(A,P)→TorRd+1(B,P)→…

下證TorRd+2(C,P)=0.

存在正合列0→K→P0→P→0，則K為n-表示.用C茚-作用其上，由長(zhǎng)序列引理可得∶…→TorRd+2(C,P0)→TorRd+1(C,P)→TorRd+1(C,K)→…，可見(jiàn)TorRd+1(A,P)=0，由此A為(n+1,d)-平坦.

(2)設(shè)M為(n,d)-平坦模，用hom(M,-)作用0→A→B→C→0上，由長(zhǎng)序列引理可得…→Ext1R(M,B)→Ext1R(M,C)→Ext2R(M,A)…，下證 Ext2R(M,A)=0

存在正合列)→K→P→M→0，由M為(n,d)-平坦模，P為投射模，可得其為為平坦，則為(n+1,d)-平坦模，則由上K為(n+1,d)-平坦模.用hom(M,-)作用其上，由長(zhǎng)序列引理得…→Ext1R(K,A)→Ext2R(M,A)→Ext2R(P,A)…，可得 Ext1R(M,C)=0,則 C為(n,d)-余撓.

性質(zhì)2.6 以下對(duì)于環(huán)R及n0,dm成立.

(1)(n,d)-平坦模的第m次合沖為(n,d-m)-平坦.

(2)(n,d)-余撓模的第m次上合沖為(n,d+m)-余撓.

證明 (1)對(duì)M作投射分解0→Km→Pm-1→…→P1→P0→M→0，設(shè)Q為n-表示模，由維數(shù)轉(zhuǎn)移可得TorRd+1(M,Q)；TorRd-m+1(M,Rm)=0，所以 Km；(n,d-m)-平坦.(2)先證m=1的情況.設(shè)N為(n,d+1)-平坦，存在正合列0→K→P→N→0可見(jiàn)K為(n,d)-平坦.設(shè)M為(n,d)-余撓，存在正合列0→M→L→C→0，其中L為內(nèi)射模.用hom(N,-)作用上述正合列由長(zhǎng)序列引理可得…→Ext1R(K,M)→Ext2R(N,M)→Ext2R(P,M)→…，下證Ext2R(N,M)=0.

用hom(-,M)作用0→K→P→N→0上，由長(zhǎng)序列引理可見(jiàn)…→Ext1R(K,M)→Ext2R(N,M)→Ext2R(P,M)→…，可得Ext1R(N,C)=0，所以C為(n,d+1)-余撓.即(n,d)-余撓模的第1次上合沖為(n,d+1)-余撓.則結(jié)論由歸納可得.

性質(zhì)2.7 以下對(duì)n-凝聚環(huán)成立.

(1)對(duì)于任意m≤d，每個(gè)(n,m)-平坦模都是(n,d)-平坦模，且每個(gè)(n,d)-余撓模都是(n,m)-余撓.

(2)若M是一個(gè)(n,d)-余撓模，則ExtRj+m+1(N,M)=0，其中j≥0；m≥0,N為任意(n,m+d)-平坦模.

(3)一個(gè)右R-模M是(n,d)-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)存在正合列 0→Fd→…→F1→F0→M→0，其中 Fi為(n,0)-平坦模，i=0,1,…,d.

證明 (1)設(shè)M是(n,m)-平坦，N是n-表示模.則由R為n-凝聚環(huán)可知N的第d-m次合沖也是n-表示的.則由維數(shù)轉(zhuǎn)移法可見(jiàn)TorRm+1(M,N)；TorRm+1(M,Kd-m)，可得M是(n,d)-平坦的，因此每個(gè)(n,d)-余撓模都是(n,m)-余撓.

(2)對(duì)j作歸納.當(dāng)j=0時(shí)，即證明M是一個(gè)(n,d)-余撓，則ExtRm+1(N,M)=0，其中N為任意(n,m+d)-平坦模.由性質(zhì)2.6可見(jiàn)N的第m次合沖為(n,d)-平坦.則 ExtR1(Kd,M)；ExtRm+1(N,M)=0，則 j=0成立.下證j=1時(shí).已知存在正合列0→K→P→N→0.則由R為n-凝聚環(huán)可見(jiàn)，N為(n,m+d+1)-平坦.所以K是(n,m+d)-平坦.則 ExtRm+2(N,M)；ExtRm+1(K,M)=0（由 j=0的情況可得）.則結(jié)論由歸納可得.

(3)圯取M的投射分解.可見(jiàn)其第d次合沖為(n,0)-平坦，而每個(gè)Fi皆為投射，故為平坦，則其為(n,0)-平坦.結(jié)論成立.

坩將0→Fd→…→F1→F0→M→0打斷可得0→Fd→Fd-1→0.設(shè)P為n-表示模，用茚P作用上述正合列由長(zhǎng)序列引理可得…→Tor2R(Fd-1,P)→Tor2R(Kd-1,P)→Tor1R(Fd,P)→…由 Fd-1為(n,0)-平坦，則由(1)可知Fd-1為(n,1)-平坦，所以Tor2R(Fd-1,P)=0.由Fd為(n,0)-平坦可見(jiàn)Tor1R(Fd,P)=0.由此可見(jiàn)Tor2R(Kd-1,P)=0，有維數(shù)轉(zhuǎn)移法可見(jiàn)Tor2R(Kd-1,M)；TorRd+1(M,P)=0.則M是(n,m)-平坦.

性質(zhì)2.8 設(shè)R為環(huán)，則(Fn,0,Cn,0)是一個(gè)余撓理論.

證明 只需證任意F∈⊥Cn,0，F(xiàn)為(n,0)-平坦.

任取n-表示模Q，下證Q*為(n,0)-余撓.任取(n,0)-平坦 M，則 Ext1R(M,Q*)；(Tor1R(Q,M))*.由 M為(n,0)-平坦，可得 Tor1R(Q,M)=0,則 Ext1R(M,Q*)=0,故Q*為(n,0)-余撓.

由 Q*為(n,0)-余撓，可得 Ext1R(F,Q*)，故 Ext1R(F,Q*)；(ExtR1(Q,F))*，故 Tor1R(Q,F)=0，證畢.

3 主要結(jié)果

根據(jù)Mao and Ding(2004)Theorem4.1可知:R是一個(gè)右n-凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)(n,0)-投射右R-模是(n+1,0)-投射.相似地，以下定理考慮(n,0)-余撓模與(n+1,0)-余撓模的關(guān)系對(duì)n-凝聚環(huán)進(jìn)行刻畫(huà).

定理3.1 以下對(duì)環(huán)R及n≥1等價(jià)

(1)R為n-凝聚環(huán).

(2)每個(gè)(n+1,0)-平坦右R-模是(n,0)-平坦.

(3)每個(gè)(m,0)-平坦右R-模是(n,0)-平坦，其中m≥0.

(4)每個(gè)(n,0)-余撓右R-模是(n+1,0)-余撓.

(5)對(duì)于一個(gè)短正合列0→A→B→C→0若B,C為(n,0)-平坦，則A為(n,0)-平坦.

證明 (1)圯(3)圯(2)顯然.(4)圯(2)由性質(zhì) 2.6可得.

(5)圯(1)由 Mao and Ding(2006)Theorem4.1可知要證R為n-凝聚環(huán)，只需證對(duì)于0→A→B→C→0，若A,B為(n,0)-內(nèi)射，則C為(n,0)-內(nèi)射即可.取正合列0→A→B→C→0，其中A,B為(n,0)-內(nèi)射，則 0→C*→B*→A*→0成立.由 A,B為(n,0)-內(nèi)射，根據(jù)Zhou(2004)Proposition2.3可知A*,B*為(n,0)-平坦.由(5)可知C*為(n,0)-平坦，故C為(n,0)-內(nèi)射.所以R為n-凝聚環(huán).

(2)圯(5)由性質(zhì)2.5(1)可知由于B是(n+1,0)-平坦，則A是(n+1,0)-平坦，則由(2)A是(n,0)-平坦.

推論3.2 以下對(duì)環(huán)R及n≥1等價(jià)

(1)R為右凝聚環(huán).

(2)每個(gè)(2,0)-平坦右R-模是(1,0)-平坦.

(3)每個(gè)(1,0)-余撓右R-模是(2,0)-余撓.

(4)對(duì)于一個(gè)短正合列0→A→B→C→0若B,C為(1,0)-平坦，則A為(1,0)-平坦.

〔1〕Anderson,F.W.,Fuller,K.R.(1992)Rings and Categories of Modules.2nd ed.New York:Spring-Verlag.

〔2〕佟文廷.同調(diào)代數(shù)引論.北京：高等教育出版社，1998.

〔3〕Enochs,E.E.,Jenda,O.M.G.(2000)Relative Homological Algebra.Berlin-New York:W alter de Gruyter.

〔4〕Dexu Zhou(2004)On Coherent R ings and Rings Comm.Algebre.32(2004):2425-2441.

〔5〕Mao,L.X.,Ding,N.Q.(2006)Relative projective modules and Relative injective modules Comm.Algebre.34(2006):2403-2418.

〔6〕Chen,J.,Ding,N.(1996)On coherent rings Comm.Algebre.24(1996):3211-3216.

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