基于M/M/s模型的高速鐵路車站售票窗數(shù)量分析

孫年友

(廣州鐵路(集團(tuán))公司科研所,廣州510080)

基于M/M/s模型的高速鐵路車站售票窗數(shù)量分析

孫年友*

(廣州鐵路(集團(tuán))公司科研所,廣州510080)

揭示了高速鐵路車站旅客排隊(duì)購(gòu)票問(wèn)題的特征,發(fā)現(xiàn)其符合M/M/s模型的假設(shè)條件.基于M/M/s模型,建立了售票窗數(shù)量的分析模型.結(jié)合廣州南站調(diào)研數(shù)據(jù),計(jì)算了不同旅客到達(dá)率下的售票窗最少配置數(shù),并研究了隊(duì)列長(zhǎng)和等待時(shí)間與旅客到達(dá)率的關(guān)系.結(jié)果表明∶售票窗的最少配置數(shù)由旅客的到達(dá)率和售票窗的售票率決定.在配置最少的售票窗和0.86人/min的售票率下,隨著旅客到達(dá)率的提高,隊(duì)列長(zhǎng)和等待時(shí)間均呈現(xiàn)以6為周期的周期性變化.在每個(gè)周期內(nèi),兩個(gè)指標(biāo)均不斷增加,最終的峰值由到達(dá)率和售票率之比與售票窗最少配置數(shù)的接近程度決定.在較低的旅客到達(dá)率下,不同售票率下需要配置的最少售票窗數(shù)差別不大,而隨著到達(dá)率的提高,這種差距會(huì)逐漸擴(kuò)大.

鐵路運(yùn)輸;售票窗數(shù)量;M/M/s模型;高速鐵路車站;到達(dá)率

1 引 言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的時(shí)間價(jià)值不斷提高,快速性在旅客選擇出行方式時(shí)考慮的諸多因素中越來(lái)越重要.近年來(lái),不斷投產(chǎn)運(yùn)營(yíng)的高速鐵路為中長(zhǎng)途旅客的出行提供了又一選擇,而不斷增長(zhǎng)的客流量對(duì)車站內(nèi)售票設(shè)備的配置造成了較大壓力,部分車站售票廳內(nèi)甚至出現(xiàn)了擁堵及長(zhǎng)時(shí)間排隊(duì)現(xiàn)象.這種現(xiàn)象影響了高速鐵路快速性優(yōu)勢(shì)的充分發(fā)揮,在一定程度上降低了高速鐵路的吸引力.因此,對(duì)高速鐵路車站的售票窗數(shù)量進(jìn)行研究和分析具有重要意義.

排隊(duì)論是研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過(guò)程的重要數(shù)學(xué)理論和方法,而交通運(yùn)輸領(lǐng)域內(nèi)的很多系統(tǒng)都可以視為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng),例如,高速公路檢修區(qū)的排隊(duì)等待現(xiàn)象[1]、鐵路列車的股道分配過(guò)程[2]、城市公交的進(jìn)站停車過(guò)程[3]、地鐵車站乘客經(jīng)過(guò)樓梯和通道的疏散過(guò)程[4]等,這些問(wèn)題都可以采用排隊(duì)論進(jìn)行較好地描述和解決.針對(duì)售票窗的配置問(wèn)題,廖明軍等[5]采用元胞自動(dòng)機(jī)模型模擬了行人的排隊(duì)購(gòu)票行為,并在模型中嵌入了排隊(duì)論中的轉(zhuǎn)移概率函數(shù),這種方法能較好地分析隊(duì)列長(zhǎng)等指標(biāo)和售票窗數(shù)量的關(guān)系,但難以確定在不同的行人到達(dá)率和售票率下所應(yīng)配置的具體的售票窗數(shù)量;李季濤和孫全欣[6]建立了基于排隊(duì)論、帶有止步和中途退出的鐵路客運(yùn)站售票廳排隊(duì)系統(tǒng)的微觀仿真模型,該模型考慮到了旅客購(gòu)票過(guò)程中的行為特性,但需要大量的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支撐,而一旦獲取的數(shù)據(jù)與真實(shí)情況不符,這種考慮反而容易造成較大的誤差;李得偉等[7]基于旅客行為的微觀仿真,以北京南站為例,研究和評(píng)估了大型鐵路客運(yùn)站售票設(shè)備的配置方案,這種方法在刻畫(huà)售票設(shè)備與旅客的相互作用方面更為精細(xì),但該方法的建模過(guò)程較復(fù)雜,模型移植到其它案例的代價(jià)較高.

本文基于排隊(duì)論中的M/M/s模型,建立了高速鐵路車站售票窗配置數(shù)量的計(jì)算模型,該模型視系統(tǒng)中的旅客具有相同的購(gòu)票行為,并遵循先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則.然后,結(jié)合廣州南站的實(shí)際調(diào)研數(shù)據(jù),計(jì)算了不同旅客到達(dá)率下售票窗的最少配置數(shù)量,分析了在配置最少售票窗的情況下,系統(tǒng)的隊(duì)列長(zhǎng)和等待時(shí)間與旅客到達(dá)率的關(guān)系,模型可以移植到其它高速鐵路車站售票窗配置數(shù)量的計(jì)算中.

2 旅客排隊(duì)購(gòu)票問(wèn)題分析

旅客排隊(duì)購(gòu)票問(wèn)題由兩個(gè)過(guò)程構(gòu)成,旅客來(lái)到車站要求購(gòu)買車票及車站售票窗售票.旅客與售票窗(包括人工售票窗口和自動(dòng)售票機(jī))構(gòu)成一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng),稱為隨機(jī)售票系統(tǒng).在這個(gè)系統(tǒng)中,缺少旅客或售票窗任何一方都不會(huì)構(gòu)成排隊(duì)系統(tǒng).系統(tǒng)中每一名旅客的購(gòu)票過(guò)程需要經(jīng)過(guò)如下步驟:旅客到達(dá)、排隊(duì)等待、購(gòu)票和離去,如圖1所示.

圖1 旅客排隊(duì)購(gòu)票過(guò)程示意圖Fig.1 The sketch process of passengers waiting in queue for buying tickets

這種排隊(duì)系統(tǒng)由3個(gè)基本部分組成:輸入過(guò)程、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則、售票機(jī)制,并且具有如下特征:

①旅客到達(dá)的間隔時(shí)間通常是相互獨(dú)立的,并且服從Poisson分布;

②排隊(duì)規(guī)則是等待制,即旅客到達(dá)時(shí),若所有售票窗均被占用,就排隊(duì)等待,旅客按照到達(dá)的先后順序接受售票;

③售票時(shí)間通常服從負(fù)指數(shù)分布;

④售票窗的數(shù)量通常為多個(gè),并且工作相互獨(dú)立.

上述特征符合M/M/s模型的假設(shè)條件[8],因此,本文采用該模型來(lái)研究和分析高速鐵路車站售票窗數(shù)量對(duì)旅客購(gòu)票的影響.同時(shí),可以認(rèn)為售票廳內(nèi)空間無(wú)限,并且一直存在購(gòu)票的旅客,該模型可以進(jìn)一步假設(shè)為M/M/s/∞/∞模型.

3 售票窗數(shù)量分析模型的構(gòu)建

旅客到達(dá)過(guò)程遵循的Poisson分布的參數(shù)為λ,即單位時(shí)間內(nèi)旅客的到達(dá)人數(shù)為λ;售票時(shí)間遵循的負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)為μ,即單位時(shí)間內(nèi)售票窗售出的票數(shù)為μ;系統(tǒng)內(nèi)有s個(gè)售票窗,各售票窗的工作相互獨(dú)立,當(dāng)系統(tǒng)中有n個(gè)旅客時(shí),整個(gè)系統(tǒng)的售票率為sμ(當(dāng)n≥s)或nμ(當(dāng)n＜s).

系統(tǒng)的售票強(qiáng)度ρ為

售票廳內(nèi)無(wú)旅客購(gòu)票,即系統(tǒng)空閑的概率P0為

系統(tǒng)中有n個(gè)旅客的概率Pn為

排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程為

式中 P1為系統(tǒng)中有1個(gè)旅客的概率;分別為系統(tǒng)中有n-1、n+1個(gè)旅客的概率.

旅客購(gòu)票需要等待的概率Pq為

系統(tǒng)中排隊(duì)等候的旅客數(shù),即平均隊(duì)列長(zhǎng)L為

旅客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間Wq為

為保證排隊(duì)系統(tǒng)持續(xù)穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn),車站售票窗開(kāi)啟數(shù)s必須滿足售票強(qiáng)度[8],即

滿足條件的最小s即車站售票窗最少配置數(shù).

4 廣州南站售票窗數(shù)量分析

廣州南站為特等客運(yùn)站,是武廣高鐵、廣珠城際及在建的貴廣高鐵、南廣高鐵、廣佛肇城際的交匯點(diǎn).站房總建筑面積達(dá)48.6萬(wàn)m2.2011年日均旅客發(fā)送量約8萬(wàn)人次,2012年增長(zhǎng)至9萬(wàn)人次,其中,到廣州南站購(gòu)票的旅客日均在3萬(wàn)人次以上.

根據(jù)調(diào)查,廣州南站旅客在自動(dòng)售票機(jī)上的平均購(gòu)票時(shí)間為80 s,自動(dòng)售票機(jī)的平均售票率為0.75人/min;旅客在人工售票窗口上的平均購(gòu)票時(shí)間為70 s,人工售票窗口的平均售票率為0.86人/min.

本文的平均售票率μ取0.86人/min,廣州南站不同旅客到達(dá)率λ下的最少售票窗配置數(shù)s如表1所示,表1同時(shí)給出了在旅客到達(dá)率為λ、售票窗數(shù)量為s的情況下,整個(gè)購(gòu)票系統(tǒng)的隊(duì)列長(zhǎng)和旅客的等待時(shí)間.

表1 不同旅客到達(dá)率和售票窗最少配置數(shù)下的隊(duì)列長(zhǎng)和等待時(shí)間Table 1 Queue length and waiting time with varied arrival rates and minimum ticket windows

從表1可以查詢不同旅客到達(dá)率下售票廳應(yīng)開(kāi)啟的售票窗數(shù),售票窗是自動(dòng)售票機(jī)和人工售票窗的總和.從表1可以看出,雖然設(shè)置最少售票窗數(shù)可以保證整個(gè)購(gòu)票過(guò)程的持續(xù)穩(wěn)定進(jìn)行,但是到達(dá)率和售票率之商,即λ/μ,越接近于s,系統(tǒng)的平均隊(duì)列長(zhǎng)和旅客的平均等待時(shí)間越長(zhǎng),如旅客到達(dá)率λ=6人/min、售票率μ=0.86人/min、s=7時(shí), λ/μ≈6.9767,接近于s,隊(duì)列長(zhǎng)達(dá)到了297.00,旅客平均等待時(shí)間達(dá)到了49.50 min;而當(dāng)旅客到達(dá)速率λ=12人/min、售票率μ=0.86人/min、s=14時(shí),λ/μ≈13.953 5,相對(duì)于上一種情形下距離s略遠(yuǎn),隊(duì)列長(zhǎng)也有所下降,為295.65,旅客平均等待時(shí)間下降為24.64 min.

在售票率μ取0.86人/min并在設(shè)置最小售票窗數(shù)的情況下,系統(tǒng)的平均隊(duì)列長(zhǎng)和旅客的平均等待時(shí)間隨旅客到達(dá)率的變化規(guī)律如圖2所示.

圖2 隊(duì)列長(zhǎng)(a)和等待時(shí)間(b)隨旅客到達(dá)率的變化規(guī)律Fig.2 The influence of passengers'arrival rate on queue length(a)and waiting time(b)

從圖2可以看出,隨著旅客到達(dá)率的增加,系統(tǒng)的平均隊(duì)列長(zhǎng)和旅客的平均等待時(shí)間均呈現(xiàn)周期性的變化規(guī)律.

圖2(a)中,周期為6,從1人/min開(kāi)始,在每個(gè)變化周期內(nèi),系統(tǒng)的平均隊(duì)列長(zhǎng)隨著旅客到達(dá)率的升高而增加,每個(gè)周期內(nèi)的最低點(diǎn)為λ/μ(到達(dá)率和售票率之商)距離s(最小售票窗數(shù))最遠(yuǎn)的點(diǎn),最高點(diǎn)為λ/μ最接近于s的點(diǎn).在每個(gè)周期內(nèi),前5個(gè)到達(dá)率下的平均隊(duì)列長(zhǎng)均低于后續(xù)周期內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),而每個(gè)周期的峰值也略有降低,這主要是由于λ/μ距離s的遠(yuǎn)近造成的.另外,隨著旅客到達(dá)率的升高,雖然在一個(gè)周期內(nèi),系統(tǒng)總體隊(duì)列長(zhǎng)的峰值降幅不大,但由于售票窗數(shù)是增加的,平均每隊(duì)的隊(duì)列長(zhǎng)降低較為顯著.

圖2(b)中,周期也為6,在每個(gè)周期內(nèi),旅客的平均等待時(shí)間隨著旅客到達(dá)率的增加而增加,但是每個(gè)周期內(nèi)旅客平均等待時(shí)間的峰值衰減較為明顯,這主要也是由λ/μ與s的相對(duì)大小造成的,每個(gè)周期內(nèi)的前5個(gè)點(diǎn)相對(duì)于后續(xù)周期內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)變化不大.

一般來(lái)說(shuō),旅客購(gòu)票時(shí)占用售票窗的時(shí)間越少,需要配置的售票窗也越少.根據(jù)調(diào)查,廣州南站中,廣深港和廣珠城際售票窗的平均售票時(shí)間較短,約45 s,即μ=1.33人/min,而京廣線售票窗的平均售票時(shí)間較長(zhǎng),約80 s,即μ=0.75人/min.本文分別取μ為0.75、0.86、1.00、1.20、1.33人/min時(shí),售票窗的最少配置數(shù)與旅客到達(dá)率的關(guān)系如圖3所示.

從圖3可以看出,隨著旅客到達(dá)率的增長(zhǎng),不同售票率下的售票窗最少配置數(shù)均是增長(zhǎng)的.當(dāng)μ=1.00人/min時(shí),旅客的到達(dá)率每增加1人/min,需要配置的最少售票窗數(shù)便增加1個(gè);當(dāng)μ＞1.00人/min時(shí),售票窗最少配置數(shù)的增長(zhǎng)低于旅客到達(dá)率的增長(zhǎng);而當(dāng)μ＜1.00人/min時(shí),售票窗最少配置數(shù)的增長(zhǎng)會(huì)高于旅客到達(dá)率的增長(zhǎng).在較低的旅客到達(dá)率(λ＜5人/min)下,不同售票率下的售票窗最少配置數(shù)的差距不大,隨著旅客到達(dá)率的提高,這種差距逐漸擴(kuò)大.

圖3 售票窗最少配置數(shù)與旅客到達(dá)速率的關(guān)系Fig.3 The relationship between the minimum ticket windows and passengers'arrival rate

5 研究結(jié)論

高速鐵路車站旅客排隊(duì)購(gòu)票問(wèn)題符合M/M/s模型的特征,因此,本文采用M/M/s模型來(lái)研究高速鐵路車站售票窗數(shù)量的配置問(wèn)題.通過(guò)結(jié)合廣州南站的實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù),本文得到的主要結(jié)論如下.

售票窗的最少配置數(shù)是由旅客的到達(dá)率和售票窗的售票率決定的.在配置最少的售票窗和售票率為0.86人/min的情況下,廣州南站排隊(duì)購(gòu)票系統(tǒng)的隊(duì)列長(zhǎng)和旅客平均等待時(shí)間隨著旅客到達(dá)率呈周期性的規(guī)律變化,變化周期為6,每個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)指標(biāo)均是增長(zhǎng)的,峰值的大小由到達(dá)率和售票率之商與最少售票窗數(shù)的接近程度決定.

當(dāng)售票率高于1人/min時(shí),最少售票窗數(shù)的增長(zhǎng)低于旅客到達(dá)率的增長(zhǎng);當(dāng)售票率低于1人/min時(shí),最少售票窗數(shù)的增長(zhǎng)高于旅客到達(dá)率的增長(zhǎng).在較低的旅客到達(dá)率下,不同售票率下的售票窗最少配置數(shù)的差距不大,隨著旅客到達(dá)率的提高,這種差距會(huì)逐漸擴(kuò)大.

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Quantities of Ticket Windows in High-speed Railway Stations Based on M/M/s Model

SUN Nian-you
(Guangzhou Railway(Group)Corporation Science&Technology Research Institute,Guangzhou 510080,China)

The characteristics of passengers waiting in queue for buying tickets in high-speed railway stations are revealed and these characteristics meet the assumptions of M/M/s model.Based on M/M/s model,an analysis model on quantity of ticket windows is established.The minimum ticket windows are calculated under varied passengers'arrival rates according to the investigation data in Guangzhou South Station.The relationship between queue length,waiting time and arrival rate is also discussed.The results demonstrate that the minimum ticket windows are determined by passengers'arrival rate and ticket windows' selling rate.The queue length and waiting time are both in a cycle increase with the rise of arrival rate when configuring the minimum ticket windows and selling 0.86 tickets per window and minute.The cycle period is 6 and the final peak is decided by the approximation of the division between arrival rate and selling rate to the minimum ticket windows.The difference in the configuration of minimum ticket window with varied selling rate is insignificant under lower arrival rate,but it will extend with the increase of arrival rate.

railway transportation;quantity of ticket windows;M/M/s model;high-speed railway station;arrival rate

U293.2+2

: A

U293.2+2

A

1009-6744(2013)05-0174-05

2013-02-19

2013-05-25錄用日期:2013-06-18

孫年友(1962-),男,湖南耒陽(yáng)人,高級(jí)工程師,碩士.

*通訊作者:sunconn@163.com